邵宏宏

(上海市上海大學(xué)附屬中學(xué) 200444)

1 引言

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2018(3)(4)(5)連載李尚志教授《核心素養(yǎng)怎樣考》一文.認(rèn)真學(xué)習(xí)研讀后頗有感受，正如文中所說“會(huì)做數(shù)學(xué)題不一定說明核心素養(yǎng)高，但核心素養(yǎng)必須通過解決數(shù)學(xué)問題來體現(xiàn).那就要看做什么樣的數(shù)學(xué)題，是怎么做出來的.”[1]恰逢高考結(jié)束，自己也試水2018年的上海高考數(shù)學(xué)卷，結(jié)合學(xué)習(xí)李教授的文章別有一番體會(huì).

2 背景

新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁；運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題[4].通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問題；能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò)；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強(qiáng)交流能力.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí)；形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題；通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升獲取有價(jià)值信息并進(jìn)行定量分析的意識(shí)和能力；適應(yīng)數(shù)字化學(xué)習(xí)的需要，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)，形成通過數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.核心素養(yǎng)指導(dǎo)、引領(lǐng)、輻射學(xué)科課程教學(xué)，彰顯學(xué)科教學(xué)的育人價(jià)值，使之自覺為人的終身發(fā)展服務(wù)，“教學(xué)”升華為“教育”.高考作為對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平評(píng)價(jià)的重要環(huán)節(jié)，既承擔(dān)著為國(guó)家選拔人才重任又是落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的“指揮棒”.高考怎樣落實(shí)對(duì)核心素養(yǎng)的考查也是一線教師時(shí)刻關(guān)注的.

3 幾道高考題解答及教學(xué)反思

上海市作為全國(guó)高考改革的排頭兵，數(shù)學(xué)試卷廣為關(guān)注，課程標(biāo)準(zhǔn)中所提出的“核心素養(yǎng)”落實(shí)到試卷中的程度也不斷深入.

解由題意，可得

?a2pq=2p+q=36pq?a=6.

教學(xué)反思：這道題重點(diǎn)考察了“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).考察的角度主要包括：①理解運(yùn)算對(duì)象;②掌握運(yùn)算法則;③探究運(yùn)算思路;④設(shè)計(jì)運(yùn)算程式求得運(yùn)算結(jié)果.

這道題從學(xué)生的反饋看，普遍感覺容易上手，對(duì)函數(shù)方程思想的考察顯而易見，但具體操作時(shí)往往難以求解.這說明命題老師精心設(shè)計(jì)的題直指學(xué)生痛點(diǎn)“如何探究運(yùn)算思路和設(shè)計(jì)運(yùn)算程序求解”，這樣的素養(yǎng)不是強(qiáng)化一下立即就能掌握的，而是要通過平時(shí)教學(xué)有意識(shí)的滲透培養(yǎng)的.例如：?jiǎn)栴}“設(shè)a>0且a≠1，比較loga2a與loga3a的大小”(《高級(jí)中學(xué)課本數(shù)學(xué)練習(xí)部分高一第二學(xué)期》[5])，教學(xué)中往往簡(jiǎn)單的討論底數(shù)01兩種情況解決問題.問題解決了卻忽略對(duì)運(yùn)算思路探究和設(shè)計(jì)運(yùn)算程式的過程，從而失去了一次培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的機(jī)會(huì).碰到類似但要求更高的問題“已知a>0且a≠1，0

解法一

解法二

解法三

顯然A，B在直線l1的上方，

教學(xué)反思：這道題考察了“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“數(shù)學(xué)建?！薄斑壿嬐评怼焙汀爸庇^想象”多種核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).考察時(shí)主要包括:①發(fā)現(xiàn)和提出問題;②建立和求解模型;③檢驗(yàn)和完善模型;④分析和解決問題.

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比，一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.考察的角度主要包括:①發(fā)現(xiàn)和提出命題;②掌握推理的基本形式;③探索和表述論證的過程;④構(gòu)建命題體系;⑤交流探索.

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括:①利用圖形描述數(shù)學(xué)問題;②利用圖形理解數(shù)學(xué)問題;③利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問題;④構(gòu)建數(shù)學(xué)問題直觀模型.

這道題入口很寬，從學(xué)生的反饋看，能讀出題目中有圓的方程和點(diǎn)到直線距離這些知識(shí)，比預(yù)期的壓軸題要簡(jiǎn)單一些，但上手做題還是有許多同學(xué)覺得討論復(fù)雜運(yùn)算量大.我想這也與平時(shí)教學(xué)中重視技能培養(yǎng)不重視素養(yǎng)培養(yǎng)有一定的聯(lián)系.例如：“過點(diǎn)P(2,1)作直線l，分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn).當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程.”(《高級(jí)中學(xué)課本數(shù)學(xué)練習(xí)部分高二第二學(xué)期》[7])這道題目通常會(huì)設(shè)斜率k，借助截距計(jì)算出OA、OB，用基本不等式解決.其實(shí)題目處理完后，學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P其實(shí)就是線段AB的中點(diǎn)，大部分學(xué)生也不會(huì)深究，教師往往忽略這稍縱即逝的培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理的機(jī)會(huì).

k∈[1,12]，k∈N對(duì)于任意的k∈[1,12]，k∈N，只需檢驗(yàn)x軸坐標(biāo)是否相等就可以了，本題可以帶入檢驗(yàn).

也可以借助不等式

教學(xué)反思：這道題考察了“直觀想象”和“數(shù)學(xué)抽象”的核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng). 主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征. 考察數(shù)學(xué)抽象主要是:①形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;②形成數(shù)學(xué)命題與模型;③形成數(shù)學(xué)方法與思想;④形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

從學(xué)生實(shí)際解答看，有許多學(xué)生對(duì)于題意不理解，認(rèn)為f(1)的取值與函數(shù)沒有關(guān)系，從而無法解題.這也說明在函數(shù)概念的教學(xué)中相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)并沒有積淀下來，只是通過解題落實(shí)對(duì)概念的理解，這樣一旦碰到像本題這樣陌生的題目立刻就無處下手.我認(rèn)為教學(xué)實(shí)踐中本題可以與以下兩個(gè)問題構(gòu)成一組變式，以利于更好的培養(yǎng)學(xué)生的“直觀想象”和“數(shù)學(xué)抽象”的核心素養(yǎng).

問題1：“下列圖形中，能作為某個(gè)函數(shù)的圖象的只能是( )” (《高級(jí)中學(xué)課本數(shù)學(xué)練習(xí)部分高一第一學(xué)期》[8])

A

B

C

D

4 結(jié)語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年級(jí))》指出在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生應(yīng)發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[4].通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識(shí)；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.正如李教授在文中所說，考試不是目的，只是手段，目的是將你引入下一個(gè)門[3].我們的教育就是為了向?qū)W生展示知識(shí)的大廈中一扇一扇門，希望他們自己有興趣進(jìn)門探索奧妙.