向繼平

摘要：CASIO fx-5800P是測(cè)繪與土木工程領(lǐng)域廣泛使用的計(jì)算器，特別適合現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算。本文通過(guò)比較分析，選取基于線元的Gauss-Legendre數(shù)學(xué)模型，結(jié)合CASIO fx-5800P計(jì)算器的特點(diǎn)，通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)用的公路坐標(biāo)計(jì)算程序，提高現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算的工作效率和精度。

關(guān)鍵詞：Gauss-Legendre；線元；程序；矩陣；坐標(biāo)計(jì)算

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）33-0241-03

在公路測(cè)量工作中，要經(jīng)常對(duì)線路的中樁、邊樁、結(jié)構(gòu)物位置進(jìn)行實(shí)地放樣，這就需要在現(xiàn)場(chǎng)實(shí)時(shí)快速地獲取放樣點(diǎn)的坐標(biāo)。我國(guó)現(xiàn)行《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定，公路平面線形由直線、圓曲線和緩和曲線（回旋線）三種要素組成。在現(xiàn)代高速公路上，有時(shí)緩和曲線所占的比例超過(guò)了直線和圓曲線，成為平面線形的主要組成部分。緩和曲線的計(jì)算復(fù)雜，尤其是非完整緩和曲線，計(jì)算器編程計(jì)算是解決公路坐標(biāo)現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算的有效手段。

1 數(shù)學(xué)模型的選擇

公路坐標(biāo)計(jì)算的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)模型的選擇。傳統(tǒng)的計(jì)算采用交點(diǎn)法，它針對(duì)組成公路平面線形的直線、圓曲線和緩和曲線采用不同的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算時(shí)要先建立各個(gè)計(jì)算單元（直線、圓曲線、緩和曲線）的相對(duì)坐標(biāo)系，再根據(jù)點(diǎn)的樁號(hào)確定其所在的計(jì)算單元，采用對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式求出該點(diǎn)在相對(duì)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，然后轉(zhuǎn)換為公路統(tǒng)一坐標(biāo)系的坐標(biāo)，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。

線元法將組成公路平面線形的直線、圓曲線和緩和曲線均看作獨(dú)立的單元——線元。直線可以看作是曲率半徑為∞的曲線，圓曲線為曲率半徑為定值的曲線，緩和曲線為曲率半徑漸變的曲線，因此，公路中線可以看成是由曲線構(gòu)成的。曲線元上任一點(diǎn)的曲率都隨弧長(zhǎng)作線性變化，基于這一共性推導(dǎo)出的任意點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算積分通式——Gauss-Legendre公式可作為公路坐標(biāo)計(jì)算的通用數(shù)學(xué)模型，該公式與點(diǎn)所在的位置無(wú)關(guān)。5節(jié)點(diǎn)Gauss-Legendre公式用于各種情況的緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算時(shí)，能滿足計(jì)算誤差小于1mm的精度要求，且其公式符合循環(huán)結(jié)構(gòu)程序的特征。因此，設(shè)計(jì)公路坐標(biāo)計(jì)算程序時(shí)，應(yīng)基于線元法建立數(shù)學(xué)模型，并采用5節(jié)點(diǎn)Gauss-Legendre公式進(jìn)行計(jì)算。

2 坐標(biāo)計(jì)算的通用公式

如圖1所示，P是線元SE上的任意中樁。線元起點(diǎn)S的樁號(hào)為ZS、曲率半徑為RS、坐標(biāo)為（xS， yS）、切線方位角為αS；線元終點(diǎn)E的樁號(hào)為ZE、曲率半徑為RE；中樁P的樁號(hào)ZP。當(dāng)曲線左偏時(shí)，RS和RE取負(fù)（-）；當(dāng)曲線右偏時(shí)，RS和RE取正（+）。

3 數(shù)據(jù)存儲(chǔ)設(shè)計(jì)

數(shù)據(jù)存儲(chǔ)設(shè)計(jì)是程序設(shè)計(jì)的核心工作之一。在公路坐標(biāo)計(jì)算中，5節(jié)點(diǎn)Gauss-Legendre通用公式的10個(gè)計(jì)算參數(shù)（A1～A5、V1～V5）和7個(gè)線元參數(shù)（包括線元起點(diǎn)的樁號(hào)、曲率半徑、坐標(biāo)x、y和切線方位角；線元終點(diǎn)的樁號(hào)和曲率半徑）的使用頻次高，其精度直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度，因此必須存儲(chǔ)在一個(gè)固定、可靠的位置。

計(jì)算參數(shù)的使用具有一定的規(guī)律性，如計(jì)算時(shí)A1對(duì)應(yīng)V1、A2對(duì)應(yīng)V2、……、A5對(duì)應(yīng)V5，因此宜采用額外變量來(lái)存儲(chǔ)這些參數(shù)。程序設(shè)計(jì)時(shí)，可采用10個(gè)額外變量Z[1]～Z[10]分別存儲(chǔ)這10個(gè)計(jì)算參數(shù)，具體分配方案見(jiàn)圖2。

線元參數(shù)的存儲(chǔ)可采用三種形式：額外變量、統(tǒng)計(jì)串列、矩陣。存儲(chǔ)一個(gè)線元的參數(shù)至少需要7個(gè)額外變量，n個(gè)線元組成的路線需要7n個(gè)額外變量。CASIO fx-5800P計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)串列每行只能存儲(chǔ)3個(gè)數(shù)，存儲(chǔ)一個(gè)線元的參數(shù)至少需占用3行。無(wú)論是采用額外變量，還是采用統(tǒng)計(jì)串列，線元參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系不直觀，用戶查看時(shí)容易造成困擾。CASIO fx-5800P計(jì)算器的矩陣每行可以存儲(chǔ)10個(gè)數(shù)據(jù)，一行即可存放一個(gè)線元的全部參數(shù)，線元之間、線元參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系簡(jiǎn)單明了。若程序計(jì)算時(shí)指定將線元參數(shù)存放在矩陣Mat A中，程序運(yùn)行結(jié)束后，可在COMP模式下，通過(guò)賦值命令將Mat A賦值給其他矩陣（如賦值給Mat F可執(zhí)行命令Mat A→Mat F）。賦值完成后，在進(jìn)行公路坐標(biāo)計(jì)算前，只需將其對(duì)應(yīng)的線元參數(shù)矩陣賦值給Mat A即可直接進(jìn)行計(jì)算，無(wú)須重新輸入線元參數(shù)，可有效地提高計(jì)算效率。CASIO fx-5800P計(jì)算器有多個(gè)矩陣，因此一個(gè)計(jì)算器中可以存放多個(gè)路線的數(shù)據(jù)。由上述分析可知，公路坐標(biāo)計(jì)算程序宜采用矩陣存儲(chǔ)線元參數(shù)，n個(gè)線元時(shí)的存儲(chǔ)分配方案見(jiàn)圖3。

4 線元參數(shù)輸入設(shè)計(jì)

4.1 輸入方式的選擇

線元參數(shù)輸入可采用三種方式：①直接創(chuàng)建，即在程序運(yùn)行前，使用矩陣編輯器直接將線元參數(shù)輸入到矩陣中；②基于數(shù)據(jù)庫(kù)子程序，即先按規(guī)定的語(yǔ)句格式（語(yǔ)句中包含線元參數(shù)）建立數(shù)據(jù)庫(kù)子程序，通過(guò)調(diào)用子程序，自動(dòng)建立線元參數(shù)矩陣；③基于線元參數(shù)子程序，即先編寫(xiě)一個(gè)線元參數(shù)輸入子程序，通過(guò)調(diào)用子程序，直接從鍵盤輸入線元參數(shù)，程序自動(dòng)建立線元參數(shù)矩陣。第一種方式用戶不但要熟悉矩陣編輯器，而且要事先獲得各個(gè)參數(shù)。第二種方式要根據(jù)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)修改數(shù)據(jù)庫(kù)子程序的相關(guān)語(yǔ)句，用戶需要具備一定的程序設(shè)計(jì)能力。第三種方式對(duì)用戶的要求最低，只需要根據(jù)提示信息輸入相應(yīng)參數(shù)即可。為了提高程序的易用性，程序設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)采用第三種方式。

4.2 輸入項(xiàng)的選取

程序應(yīng)通過(guò)控制輸入數(shù)據(jù)的數(shù)量來(lái)減少輸入錯(cuò)誤，提高效率。設(shè)計(jì)程序時(shí)，要確定好線元參數(shù)輸入的最小子集，凡能通過(guò)計(jì)算得到的參數(shù)，應(yīng)采用程序自動(dòng)計(jì)算的方式獲得，以減少參數(shù)輸入，降低出錯(cuò)概率。

公路是由若干首尾相連的線元組合而成，其線形連續(xù)是保證車輛安全行駛的基本要求。線形連續(xù)是指線元實(shí)體的起終點(diǎn)位置和切線方位角是連續(xù)的，即上一線元的終點(diǎn)是下一線元的起點(diǎn)，上一線元終點(diǎn)的切線方位角是下一線元起點(diǎn)的切線方位角。利用這一特性，在選取輸入項(xiàng)時(shí)，只需將計(jì)算路段第1個(gè)線元起點(diǎn)的坐標(biāo)和切線方位角、全部線元起點(diǎn)和終點(diǎn)的樁號(hào)及曲率半徑作為線元參數(shù)輸入的最小子集。

4.3 子程序的功能設(shè)計(jì)

在輸入線元參數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤在所難免，若每次出錯(cuò)后都要將全部參數(shù)重新輸入一遍，會(huì)嚴(yán)重影響用戶的使用體驗(yàn)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，可將線元參數(shù)子程序設(shè)計(jì)成新建路線（NEW）、數(shù)據(jù)更新（UPDATE）兩個(gè)子功能，若個(gè)別線元的參數(shù)輸入錯(cuò)誤（或設(shè)計(jì)變更），可先用矩陣編輯器直接修改Mat A中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，然后選擇“數(shù)據(jù)更新”功能，讓程序根據(jù)正確數(shù)據(jù)重新計(jì)算線元參數(shù)，并自動(dòng)更新Mat A的數(shù)據(jù)。

4.4 子程序的主要代碼

5 公路坐標(biāo)計(jì)算程序設(shè)計(jì)

公路坐標(biāo)計(jì)算包括中樁計(jì)算和邊樁計(jì)算，前者要計(jì)算指定中樁的坐標(biāo)和切線方位角，后者要計(jì)算對(duì)應(yīng)邊樁的坐標(biāo)。

計(jì)算中樁坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)先根據(jù)樁號(hào)確定其是否在Mat A所對(duì)應(yīng)的路線區(qū)間上。若不在，應(yīng)給出相應(yīng)的提示信息；若在，則確定中樁所在的線元，然后調(diào)用該線元的參數(shù)計(jì)算中樁的坐標(biāo)和切線方位角。中樁計(jì)算子程序（文件名為“ZZJS”）的主要代碼如下：

6 結(jié)語(yǔ)

利用CASIO fx-5800P計(jì)算器以Gauss-Legendre公式為數(shù)學(xué)模型，采用矩陣存儲(chǔ)線元參數(shù)，可精確的計(jì)算公路任意樁號(hào)的中樁和邊樁坐標(biāo)。本文的程序充分發(fā)揮了程序的自動(dòng)計(jì)算功能，用戶只需輸入少量的線元參數(shù)，大量的參數(shù)由程序自動(dòng)生成，程序可自動(dòng)判斷樁號(hào)的合法性，健壯性好，設(shè)計(jì)的輸入和輸出界面友好，用戶使用非常方便。程序適用于各種類型的平曲線計(jì)算，若路線出現(xiàn)斷鏈，可以斷鏈處為分界點(diǎn)，將路線分為多個(gè)路段進(jìn)行處理。

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【通聯(lián)編輯：光文玲】