陳冠峰

1 問題提出

新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個(gè)部分內(nèi)容”，要求學(xué)生通過高中階段學(xué)習(xí)，掌握“四基”，發(fā)展“四能”，如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，當(dāng)前的教育界主要聚焦兩個(gè)方面問題：一是如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)到日常教學(xué)，二是如何對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行評(píng)價(jià).針對(duì)第二個(gè)問題，《課標(biāo)》提出，要構(gòu)建基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架，包括三個(gè)維度的內(nèi)容，如圖1所示：

在第二個(gè)維度中，提出了“情境一問題”的教學(xué).所謂“情境一問題”數(shù)學(xué)教學(xué)，指的是教師創(chuàng)設(shè)一定的數(shù)學(xué)情境，提出問題，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，提煉數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，形成數(shù)學(xué)思維品質(zhì).數(shù)學(xué)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的驅(qū)動(dòng)力之一，也是課堂評(píng)價(jià)的重要形式，通過課堂評(píng)價(jià)，能幫助教師在了解學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握情況的基礎(chǔ)上，及時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)手段和方法，從而實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的共同提高，對(duì)落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)研究具有重大現(xiàn)實(shí)意義.本文以高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2《定積分概念》-節(jié)為例，談?wù)勅绾螛?gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，從而有效地發(fā)揮課堂評(píng)價(jià)作用.

2 課堂案例

2.1 引入

問題情境1我們已經(jīng)知道三角形面積的求解方法，同樣，長(zhǎng)方形（正方形）、平行四邊形以及多邊形的性質(zhì)，使我們對(duì)于這些圖形的面積都賦予了確定的含義.另外，我們也知道了一種由曲線圍成的圖形——圓的面積計(jì)算方法，但是，到目前為止，我們對(duì)由曲線所圍成的其他圖形面積求解方法，還知之甚少，比如弓形.同學(xué)們考慮考慮，有什么合適的方法用來(lái)求解弓形的面積？

點(diǎn)評(píng)“問題情境l”的創(chuàng)設(shè)，是從最基本的平面圖形之一——三角形展開的，隨后立刻把本節(jié)課的研究目標(biāo)鎖定在“面積”上，而且是帶有“曲線”圖形的面積.開門見山的同時(shí)，也讓學(xué)生了解，不管多么復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，都是從最基本的概念出發(fā)的，這也是邏輯推理的基本形式.

問題情境2 早在古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)家就開始研究這一方面問題.公元前三世紀(jì)，全能科學(xué)家阿基米德利用窮竭法推算出了弓形的面積，如圖2，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)一下他的工作是如何開展的？

點(diǎn)評(píng)從AC，BC的中點(diǎn)K，L作平行于弓形所在圓直徑（線段MC所在直線）的直線，交弓形于P，Q兩點(diǎn)，則弓形與MBC之間的部分，可以由AAPC和ABQC的面積“近似代替”.

同理，取線段AP， CP， CQ，BQ的中點(diǎn)，分別作平行于MC的直線，分別交弓形于四個(gè)點(diǎn)，又可得到四個(gè)小三角形，空白部分的面積就可以再由四個(gè)小三角形的面積“近似代替”.如此繼續(xù)，阿基米德實(shí)現(xiàn)了對(duì)弓形的“分割”，用這些三角形的面積之和“逼近”弓形的面積，并“近似代替”，此乃“窮竭法”思想.

通過富有濃厚數(shù)學(xué)味道的數(shù)學(xué)文化情境構(gòu)建，適當(dāng)借助信息技術(shù)手段，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，還可以在課后交流探究“窮竭法”在其他圖形中的應(yīng)用，讓學(xué)生在具體情境中感悟數(shù)學(xué)本質(zhì).

2.2 探究發(fā)現(xiàn)

教師給出“曲邊梯形”的概念后，并以拋物線y= x²，直線x=l以及x軸所圍成的平面圖形為例（如圖3）.

問題情境3 借鑒阿基米德“窮竭法”思想，我們?nèi)绾瓮ㄟ^“近似代替”，求這個(gè)曲面梯形的面積？

探究1：如何分割？用怎樣的“直邊圖形”近似代替？有幾種方案？

探究2：哪種方案更合理？如何求分割后直邊圖形的面積之和？

點(diǎn)評(píng) 這是本節(jié)課的重點(diǎn)，可以采取學(xué)生分組交流討論的形式，小組匯報(bào)近似代替的方案（矩形過剩估計(jì)、矩形不足估計(jì)、梯形估計(jì)），教師要引導(dǎo)學(xué)生比較三種方案的優(yōu)劣，選擇便于計(jì)算的兩種方案：過剩估計(jì)和不足估計(jì)，并再次分組，讓學(xué)生嘗試求出面積之和.

在小組交流展示過程中，教師要根據(jù)學(xué)生提出的方案，評(píng)價(jià)學(xué)生知識(shí)掌握情況，對(duì)于不恰當(dāng)?shù)乃悸?，要進(jìn)行及時(shí)地校正，并注意引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，交流和表達(dá)自己的觀點(diǎn).

問題情境4如何表示分割越來(lái)越細(xì)，直邊圖形越來(lái)越多時(shí)它們的面積之和？隨著分割越來(lái)越細(xì)，采用過剩求和與不足求和所得到的結(jié)果呈現(xiàn)怎樣的變化和聯(lián)系？

點(diǎn)評(píng) 這是本節(jié)課的難點(diǎn)，即極限的思想，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一事實(shí)：不足估計(jì)值和過剩估計(jì)值隨著n的增大，越來(lái)越接近同一個(gè)常數(shù)，隨后，教師應(yīng)該指出，正是因?yàn)檫@兩種逼近方式得到同樣的常數(shù)，才初步證明了曲邊梯形面積的存在，當(dāng)然，這種理論上的證明，高中階段不做要求，是高等數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容.

由于“極限”是高中階段難點(diǎn)概念之一，各小組對(duì)于“問題情境4”得出的結(jié)論，直接反映出組內(nèi)學(xué)生對(duì)于“極限”思想的認(rèn)知程度，因此，教師要積極主動(dòng)地對(duì)小組結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，適時(shí)對(duì)求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟：“分割——近似代替——求和——取極限”進(jìn)行總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)，提高教學(xué)有效性，當(dāng)然，“極限”這個(gè)概念，對(duì)于高中生而言，確實(shí)較難理解，課堂上教師也可以結(jié)合信息技術(shù)手段，演示“近似代替”的過程，以此來(lái)輔助教學(xué).

3 教學(xué)反思

在利用“情境一問題”課堂教學(xué)評(píng)價(jià)時(shí)，需要注意以下幾個(gè)問題：

3.1“情境-問題”的創(chuàng)設(shè)，需要文化融合

數(shù)學(xué)是有歷史積淀的，數(shù)學(xué)也是在不斷發(fā)展的，本節(jié)課以阿基米德的“窮竭法”這一數(shù)學(xué)文化背景作為引入，一方面是讓學(xué)生通過類比，更好地體會(huì)曲邊梯形面積的求解策略;另一方面，更重要的是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)中極限思想的起源和背景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，形成正確的數(shù)學(xué)觀.

3.2“情境-問題”的解決，需要師生協(xié)作

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下，學(xué)生的課堂主體地位更加突出，圍繞著“情境一問題”的探討，學(xué)生是解決問題的主角，教師是組織者和協(xié)作者;同時(shí)，課堂上要注重學(xué)生知識(shí)的形成過程，在學(xué)生探求問題的同時(shí)，構(gòu)建知識(shí)體系，提升核心素養(yǎng);另外，在問題解決過程中，也應(yīng)該重視信息技術(shù)的運(yùn)用，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué).

3.3 “情境一問題”的評(píng)價(jià)，需要講究策略

課堂教學(xué)評(píng)價(jià)具有導(dǎo)向、激勵(lì)、診斷、改進(jìn)、反饋等功能，“情境一問題”的評(píng)價(jià)，應(yīng)當(dāng)更注重診斷和改進(jìn)的功能，同時(shí)，應(yīng)該把握以學(xué)生為中心的原則和發(fā)展性的原則，采取不同的評(píng)價(jià)方法，如紙質(zhì)評(píng)價(jià)、口頭評(píng)價(jià)、課堂觀察、信息數(shù)據(jù)收集等方法，教師要兼顧學(xué)生整體學(xué)習(xí)情況和個(gè)體學(xué)習(xí)進(jìn)展，在關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)技能掌握的同時(shí)，更多地關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核小素養(yǎng)的發(fā)展.

總之，本節(jié)課以“曲邊梯形面積的求解”為主線，圍繞四個(gè)情境問題的提出展開教學(xué)，學(xué)生通過情境問題的探知，構(gòu)建知識(shí)體系，教師通過情境問題的解決方案，適時(shí)評(píng)價(jià)課堂教學(xué)，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，從而有針對(duì)性地開展教學(xué)活動(dòng)，在充分提高課堂教學(xué)有效性的同時(shí)，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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