陳清江 杜麗英

摘 要：矩陣方程是未知數(shù)組成矩陣的方程。常見的矩陣方程有三種 ， ， 當(dāng)矩陣 是可逆方陣時(shí)，用逆矩陣法或初等變換法得出矩陣方程的解，但是當(dāng)矩陣 不是方陣或不可逆時(shí)，這些矩陣方程是否存在解，如何求解。本文提出元素法與廣義逆矩陣法求解矩陣方程。當(dāng)矩陣 不可逆時(shí)，運(yùn)用元素法將矩陣方程轉(zhuǎn)換為線性方程組來求解。當(dāng)矩陣 不是方陣時(shí)，給出求解矩陣方程的廣義逆矩陣法。最后，給出滿足初始條件的矩陣微分方程的求解公式以及滿足不同初始條件的矩陣微分方程解的關(guān)系式。

關(guān)鍵詞：矩陣方程 廣義逆矩陣 矩陣值函數(shù) 矩陣微分方程

一、引言

研究矩陣方程問題不僅具有重要的理論意義而且在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、參數(shù)識別、固體力學(xué)、動(dòng)態(tài)分析、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、分子光譜學(xué)、自動(dòng)控制理論、振動(dòng)理論、非線性規(guī)劃、等領(lǐng)域都具有重要應(yīng)用，譬如在工業(yè)控制系統(tǒng)中，不同的輸入將在不同的環(huán)境下對應(yīng)不同的輸出，這個(gè)時(shí)候需要用狀態(tài)方程來表示，從數(shù)學(xué)表達(dá)式上看狀態(tài)方程就是矩陣方程；在電路中用“節(jié)點(diǎn)分析法”書寫電路方程時(shí)采用公式化的矩陣方程。這些工程領(lǐng)域的問題促進(jìn)了矩陣方程求解理論的發(fā)展，使得矩陣方程求解問題成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究課題之一。