馬自茹，魏明英，李運遷

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854；2.中國航天科工集團(tuán)有限公司 第二研究院，北京 100854；3.空天防御創(chuàng)新中心，北京 100854)

0 引言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，彈道導(dǎo)彈無疑是威脅最大的一種武器，所以對彈道導(dǎo)彈的高精度攔截就顯得尤為重要。彈道導(dǎo)彈的飛行一般分為3個階段，主動段，中段和末段。主動段攔截，從攔截效果上來看是最理想的，但是需要克服的困難也很多，需要的外界條件很難達(dá)到，所以現(xiàn)代的防空導(dǎo)彈，都以中段或末段攔截為目標(biāo)。無論是中段攔截還是末段攔截，都普遍采用復(fù)合制導(dǎo)的方式，整個制導(dǎo)過程分為初制導(dǎo)，中制導(dǎo)和末制導(dǎo)。其中，中制導(dǎo)需要達(dá)到的制導(dǎo)目標(biāo)是最復(fù)雜的，需要滿足的約束是最多樣化的。

一般來說，末制導(dǎo)的初始條件就是中制導(dǎo)的制導(dǎo)目標(biāo)[1]。為了保證中末制導(dǎo)可靠地交班，保證最終命中目標(biāo)，對中制導(dǎo)段提出3方面的要求：①控制導(dǎo)引頭測量軸指向目標(biāo)，其控制誤差不應(yīng)超出彈上測量裝置的視場范圍；②導(dǎo)彈與目標(biāo)的距離應(yīng)在導(dǎo)引頭的測量范圍之內(nèi)；③導(dǎo)彈的速度應(yīng)滿足末制導(dǎo)的初始要求。除此之外，在實際中，對于中制導(dǎo)還有著很多其他的要求。首先，現(xiàn)在的防空導(dǎo)彈，多是主動飛行與被動飛行相結(jié)合，并且使用攔截器直接碰撞的攔截方式，這就要求導(dǎo)彈在飛行的過程中保留足夠的動能，要求控制能量盡可能小。此外，對于一些靜不穩(wěn)定度比較大的導(dǎo)彈，當(dāng)攻角比較大，過載比較大的時候，容易使姿態(tài)徹底失控，所以對于這類導(dǎo)彈，要求整個飛行過程中的過載盡可能的小。傳統(tǒng)中制導(dǎo)常采用比例導(dǎo)引的方法，這種方法在制導(dǎo)精度上可以滿足要求，但是無法引入更多的約束，其過載曲線往往峰值較大，變化劇烈，相應(yīng)的，控制能量損失也很大。

目前，很多中外論文都將最優(yōu)控制理論應(yīng)用于中制導(dǎo)律的解算當(dāng)中。文獻(xiàn)[2]基于E-Guidance理論[3]，給出了一種最優(yōu)制導(dǎo)律，實現(xiàn)將導(dǎo)彈從初始狀態(tài)控制到預(yù)測的末位置，滿足最終速度傾角約束，同時滿足使導(dǎo)彈速度最大的優(yōu)化目的。但是這種方法得到的結(jié)果，形式復(fù)雜，而且很難直接應(yīng)用到實際的仿真程序中。文獻(xiàn)[4-5]采用最速上升法求解2點邊值問題，但是直接求解2點邊值問題計算量大，難以在彈上實時完成，文獻(xiàn)[5]設(shè)計了一種帶角度約束的制導(dǎo)律，但是并沒有考慮導(dǎo)彈速度的變化率，對于主動段飛行的導(dǎo)彈來說，速度變化率是不可忽略的一個因素。文獻(xiàn)[6]所要解決的問題與本文是類似的，同樣是在中制導(dǎo)末端滿足速度的角度約束，但是對于控制量的約束，僅僅限于在指標(biāo)函數(shù)中使控制能量最小，而沒有做更多的改進(jìn)，在仿真驗證中，這種導(dǎo)引律的實際過載在飛行前期較大。文獻(xiàn)[7-14]雖然研究對象不同，但是在解算方法上都是類似的，但是在建立的指標(biāo)函數(shù)中，控制量的權(quán)重依然是1或者常數(shù)，這就使得在解算出控制量算法后，無法再對控制量的大小進(jìn)行調(diào)整。文獻(xiàn)[15]給出了一種使用時變控制量權(quán)重的高斯偽譜法，說明時變的控制量權(quán)重的可行性。

本文研究的問題是，在導(dǎo)彈飛行的主動段，考慮導(dǎo)彈速度變化率，將導(dǎo)彈控制到預(yù)測點，使末位置誤差盡可能小，同時滿足末速度傾角約束，滿足視線角變化率趨向于0，并且導(dǎo)彈過載更小。為了滿足以上約束，本文將所有約束條件統(tǒng)籌到一個指標(biāo)函數(shù)當(dāng)中，通過極小值原理解算控制量的解析形式。為了使飛行中的過載更有可控性，變化更平緩，整體更小，采用在指標(biāo)函數(shù)中加入可變控制量權(quán)重的辦法，這種方法得到的制導(dǎo)律，可以通過調(diào)節(jié)控制量計算式中的參數(shù)來實現(xiàn)對不同階段過載大小的控制。分別給出了離散式和解析式算法的推導(dǎo)過程。

1 導(dǎo)彈運動模型

建立導(dǎo)彈的運動模型。將導(dǎo)彈的運動分解為橫向和縱向，先研究縱向平面的運動，如圖1所示。圖1的坐標(biāo)系，是以導(dǎo)彈和目標(biāo)點連線所在的平面為坐標(biāo)系的Oxy平面，而在實際的仿真模型中，這個坐標(biāo)系不是標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系之一，所以要進(jìn)行坐標(biāo)變換。圖1中，M0為導(dǎo)彈的初始位置;Mf為導(dǎo)彈的飛行目標(biāo)點;v0為導(dǎo)彈的初速度;vf為導(dǎo)彈的末速度;θ0為導(dǎo)彈的初始速度傾角;θf為導(dǎo)彈的末狀態(tài)速度傾角，也是控制目標(biāo);q為導(dǎo)彈到目標(biāo)點的視線角;R為相對距離。則，在縱向平面內(nèi)，導(dǎo)彈飛向目標(biāo)點的運動模型為

(1)

2 最優(yōu)制導(dǎo)律

2.1 狀態(tài)方程和指標(biāo)函數(shù)的建立與解算

θ(t)=q(t),

(2)

所以，在末位置時，如果滿足

q(t)-θ(tf)=0,

(3)

則同時滿足

θ(t)-θ(tf)=0.

(4)

(5)

是一種很理想的交班情況。

對于一個最優(yōu)控制問題，建立狀態(tài)方程是很關(guān)鍵的步驟，需要把約束條件涉及的變量設(shè)為狀態(tài)變量，決定了使用最優(yōu)理論解算的目標(biāo)，同時也決定了解算過程的繁復(fù)程度以及是否能夠得到解析解。有一些簡單的狀態(tài)方程類型是可以得到解析解的，雙積分系統(tǒng)就是其中之一，這里在建立狀態(tài)方程時，建成了雙積分系統(tǒng)的形式。

對式(1)中間等式求導(dǎo)運算：

(6)

式(6)結(jié)合式(1)可得

(7)

根據(jù)之前敘述的約束條件，取狀態(tài)量為式(8)形式

(8)

則有系統(tǒng)狀態(tài)方程式

(9)

根據(jù)前文分析，為了在接下來的解算中，更容易得到解析解，這里通過引入偽控制量的辦法，將系統(tǒng)形式寫成雙積分系統(tǒng)。令

(10)

則有新系統(tǒng)

(11)

考慮約束條件，列寫指標(biāo)函數(shù)。這里要考慮的約束有，系統(tǒng)2個狀態(tài)變量的末狀態(tài)，控制量盡可能地小。所以有指標(biāo)函數(shù)式

(12)

直接將控制能量的比重r陣取為1。而c1，c2的取值由末狀態(tài)約束決定。

對于這種雙積分系統(tǒng)，針對式(12)形式的指標(biāo)函數(shù)，利用極小值原理可以得到解析解，這個過程已經(jīng)為人們熟知[6]，這里不做詳細(xì)介紹，直接給出結(jié)果。

(13)

約束要求，x1(tf)=0，x2(tf)=0，則c1和c2→∞，則式(13)可轉(zhuǎn)化為

(14)

(15)

2.2 最優(yōu)導(dǎo)引律的改進(jìn)，可變權(quán)系數(shù)的指標(biāo)方程解算

一般的二次型指標(biāo)函數(shù)形式為

(16)

u(t)=-r-1(t)BT(t)K(t)X(t),

(17)

式中：r與u(t)為求逆關(guān)系。總之，當(dāng)r取比較大的值時，也就是說，控制量在指標(biāo)函數(shù)中所占比重較大，而求解的目標(biāo)是使指標(biāo)函數(shù)取極小，則控制量的值會比較小。

使用最優(yōu)導(dǎo)引律的彈道，前期過載大，變化劇烈，后期過載小，變化平緩，希望能對其改進(jìn)，實現(xiàn)前期和后期的一種平衡，對前期進(jìn)行抑制，而后期則進(jìn)行放大。這就要求改變r的形式，使前期控制量在指標(biāo)函數(shù)中的比重較大，后期在指標(biāo)函數(shù)中的比重較小。設(shè)新的指標(biāo)函數(shù)為

(18)

這里r由常數(shù)陣改成了時變陣，已經(jīng)不適合于上文中給出過的解的形式，需要另行推導(dǎo)。有2種方法可以解決這個問題，一個是離散的方法，另一個是根據(jù)極小值原理直接推導(dǎo)。前者推導(dǎo)容易實現(xiàn)，但是在應(yīng)用中要求的計算量大，后者推導(dǎo)難度大，但是在應(yīng)用中要求的計算量較小。

下面給出，針對系統(tǒng)(11)和指標(biāo)函數(shù)式(18)，利用極小值原理的解析解解算過程。將式(16)寫成

(19)

根據(jù)式(19)和系統(tǒng)方程，漢密爾頓方程為

(20)

根據(jù)極小值原理，寫出橫截條件，終值條件和控制方程

(21)

觀察控制量的形式，發(fā)現(xiàn)欲求控制量，必須先求λ2。這里有的是，λ2的一階導(dǎo)數(shù)和末值，理論上肯定可以求解，直接解算的結(jié)果中會包含x1(tf)，x2(tf)2個量。

(22)

式(22)可得

λ2(t)=λ2(tf)+c1tg(t)x1(tf)=

c2x2(tf)+c1tgx1(tf),

(23)

代入控制量的表達(dá)式

u(t)=-tg(t)-nc2x2(tf)-tg(t)-n+1c1x1(tf).

(24)

(25)

由式(25)可算得

(26)

因為

(27)

所以積分可得

(28)

根據(jù)式(27)和(28)可以解算x1(tf)，x2(tf)，如果直接解算，由于每項的系數(shù)很復(fù)雜，容易出錯，這里將其設(shè)為

(29)

根據(jù)式(27)，(28)，(29)可以計算得到

(30)

前文敘述，約束要求2個狀態(tài)末值為0，所以取c1和c2→∞。將式(30)代入式(24)可得

(31)

因為在建立指標(biāo)函數(shù)的時候，用的是r(t)=tg(t)n，這樣雖然解算過程稍微復(fù)雜一些，但是卻具有普適性，n的取值不同，可以達(dá)到不同的優(yōu)化目的。當(dāng)n>0的時候，前期控制量在指標(biāo)函數(shù)中的比重大，后期小，這樣可以實現(xiàn)使前期過載較小，后期過載較大的優(yōu)化目的，而當(dāng)n<0時正相反，可以實現(xiàn)前期過載較大，迅速縮小與控制目標(biāo)的偏差，而后期則過載較小，這也是具有應(yīng)用意義的，比如，對于一些直接針對目標(biāo)的制導(dǎo)問題，越到飛行后期，需要過載的大小對目標(biāo)的機動的反映就越明顯，所以希望在飛行前期盡快縮小偏差，而后期的過載盡可能小。

3 仿真驗證

仿真程序考慮全彈氣動力、萬有引力、發(fā)動機推力、控制系統(tǒng)包含、制導(dǎo)部分、控制部分、導(dǎo)航部分。其中，本文推導(dǎo)的制導(dǎo)律主要編入制導(dǎo)部分。在導(dǎo)航基準(zhǔn)坐標(biāo)系中，初制導(dǎo)結(jié)束時，即主動段中制導(dǎo)開始時的狀態(tài)為已知，即位置，速度，彈道傾角和彈道偏角皆已知，控制目標(biāo)為，預(yù)測點xf，yf，zf，以及彈道傾角和彈道偏角的期望值。

主要針對彈道傾角，即縱向進(jìn)行制導(dǎo)控制。注意，在前文中建立的導(dǎo)彈運動模型，是將導(dǎo)彈的縱向運動平面放置在Oxy平面內(nèi)，這種坐標(biāo)系并不是常用的幾種坐標(biāo)系定義，所以需要在導(dǎo)航坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行坐標(biāo)系變換，將導(dǎo)航基準(zhǔn)坐標(biāo)系的Oxy面轉(zhuǎn)到導(dǎo)彈縱向運動的平面內(nèi)，即繞y軸轉(zhuǎn)一個彈道偏角即可。

分別針對原有制導(dǎo)律(theoriginal)，最優(yōu)制導(dǎo)律(qtheta)和可變權(quán)系數(shù)制導(dǎo)律進(jìn)行仿真驗證。主要關(guān)心的數(shù)據(jù)為，彈道傾角終值與目標(biāo)值的差，導(dǎo)彈y向過載大小，彈目視線角變化率的歸零快慢，位置誤差。

3.1 彈道傾角變化

將原有制導(dǎo)律，最優(yōu)制導(dǎo)律和可變權(quán)系數(shù)制導(dǎo)律的2種情況的彈道傾角變化曲線繪制在圖2中，根據(jù)曲線可以發(fā)現(xiàn)，原有制導(dǎo)律的快速性較差。而當(dāng)n取正值或者負(fù)值時，可變權(quán)系數(shù)制導(dǎo)律的曲線分別在最優(yōu)制導(dǎo)律的上側(cè)和下側(cè)，這也印證了前文的理論推測。

幾種制導(dǎo)律的彈道傾角末值與期望值的偏差如表1所示，單位為rad。

表1 制導(dǎo)律的彈道傾角末值與期望Table 1 Trajectory inclination terminal value and expectation of guidance law rad

可以發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)導(dǎo)引律的精度最佳，其誤差在0.004以內(nèi)。

3.2 過載變化

將這些導(dǎo)引律的過載變化曲線分成2組進(jìn)行對比，第1組對比theoriginal和qtheta，意在分析最優(yōu)方法解算出導(dǎo)引律與其他方法的不同，第2組為包含qtheta和可變權(quán)系數(shù)導(dǎo)引律，這是對最優(yōu)導(dǎo)引律的改進(jìn)，意在表現(xiàn)改進(jìn)的效果。

第1組如圖3所示，發(fā)現(xiàn)原本的導(dǎo)引律，過載峰值大，變化劇烈，而且后期存在連續(xù)抖動，對于一些靜不穩(wěn)定度大的導(dǎo)彈，這種過載曲線是很不理想的。以最優(yōu)理論推導(dǎo)出的導(dǎo)引律，如前面所預(yù)測的那樣，前期峰值大，變化劇烈，但是后期較小且變化平穩(wěn)，這種導(dǎo)引律是精度最高的。

第2組如圖4所示，這一組主要是用來分析對最優(yōu)導(dǎo)引律的改進(jìn)效果，其他曲線都與qtheta進(jìn)行對比分析?？勺儥?quán)系數(shù)的方法推得的導(dǎo)引律是比較理想的，這里分別取n=1和n=-1，試驗證明，當(dāng)n=1時，前期的過載得到了抑制，后期由于在程序里使用限幅模塊，即當(dāng)精度達(dá)到要求之后，就領(lǐng)導(dǎo)引律計算結(jié)果為0，所以在這里體現(xiàn)的并不明顯。n=-1的導(dǎo)引律在前期過載較大，變化劇烈，但是從圖1中可以看出，這樣的大過載增加了快速性，使傾角很快的就達(dá)到了目標(biāo)值附近。但是付出一倍多的過載增大是不值得的。

4 結(jié)束語

本文針對復(fù)合制導(dǎo)中的主動段中制導(dǎo)，將導(dǎo)彈導(dǎo)引至目標(biāo)點并滿足角度約束的問題，考慮導(dǎo)彈的速度變化率，建立了導(dǎo)彈的運動模型。根據(jù)給出的約束條件選擇狀態(tài)變量建立了系統(tǒng)狀態(tài)方程。使用最優(yōu)理論推導(dǎo)了導(dǎo)引律，仿真試驗證明，使用最優(yōu)理論的導(dǎo)引律精度最高，過載大小和變化的劇烈程度均優(yōu)于原有導(dǎo)引律，而且在推導(dǎo)過程中加入的約束都滿足。試驗證明，最優(yōu)理論是解決多約束中制導(dǎo)問題的有力工具。

而后對最優(yōu)導(dǎo)引律提出了改進(jìn)方案，可變權(quán)系數(shù)法，需要重新用極小值原理推導(dǎo)算法，給出了離散法和解析法2個結(jié)果。仿真試驗證明，可變權(quán)系數(shù)的方法達(dá)到了預(yù)期的效果，當(dāng)n取不同值時，其對控制量有不同的限制，這種方法和思路在其他中制導(dǎo)過程和末制導(dǎo)中也會有很大的發(fā)展空間，本文證明了這種想法的正確性。