劉騏瑋,馬彥恒,李根,董健

(陸軍工程大學 石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050003)

0 引言

信號波達角(direction of arrival, DOA)估計在雷達探測，信號分選，空間定位等領域有著廣泛的應用。經典的子空間類方法首次實現了超分辨測向，例如多重信號分類法[1](multiple signal classification，MUSIC)、旋轉不變子空間法[2](estimation of signal parameters via rotational invariance technique，ESPRIT)等，但存在快拍數不足或存在相干信號源的情況時，信號子空間和噪聲子空間的相干性較大，這類方法在此種情況下性能下降較快。

近年來，壓縮感知理論結合陣列信號處理受到了廣泛的重視。由于信號在空域上具有稀疏性，滿足了稀疏重建理論的基本條件，利用隨機采樣矩陣便可以達到用較低采樣率恢復和重建信號的目的。比較典型的算法有基于匹配追蹤的算法，基于L1范數的凸松弛約束約束算法[3-4]，還有基于稀疏貝葉斯學習的估計算法[5]。匹配追蹤算法運行速度快，但是精度較差；凸松弛約束約束算法利用稀疏解求解問題，精度較高，但是運算量較大；基于稀疏貝葉斯學習的算法在魯棒性上、適應性上較強，但是計算量較大。

根據壓縮感知[6]理論，在DOA估計之前，需要建立過完備字典，其中的每一個元素稱為原子。在做DOA估計時，只會輸出每個原子的值，而當信號不位于原子網格上時，把這個信號稱為離格信號。離格信號的出現會導致原有的經典壓縮感知算法性能嚴重下降。文獻[7]提出了在對導向矢量泰勒分解的基礎上，利用交替下降的最小二乘法實現重建。但是利用到混合范數約束，計算量較大。文獻[8]研究了在誤差模型下的稀疏譜擬合(sparse spectral fitting with modeling uncertainty，SSFMU)，同樣存在計算量大的問題。文獻[9-11]在貝葉斯推理的基礎上降低了計算量，但近似誤差的存在限制了算法的精度。

為解決上述理論存在的問題，本文基于壓縮感知理論提出了一種基于導向矢量正交分解的離格信號DOA估計算法。算法對接收數據協(xié)方差矩陣進行KR(Khatri-Rao)積變換[12-13]并構建稀疏重構模型，同時基于信號導向矢量與其一階導函數矢量間的正交性構建了新的離格信號導向矢量模型，算法先通過稀疏重建找到距離離格信號最近的原子然后采用最小二乘法對離格信號的網格偏離量進行估計。在構建稀疏重建模型時，利用ILSSE(iterative least-squares subspace estimation)算法[14]精確估計噪聲協(xié)方差矩陣，提高了稀疏重建的精度。

1 信號模型

假設有M個陣元的均勻線陣，為了消除方位模糊，陣元間距d=λ/2。有遠場窄帶信號K(K

X(t)=A(θ)S(t)+N(t),t=1,2，…,N，

(1)

由陣列輸出數據可以得到協(xié)方差矩陣為

R=E[X(t)·XH(t)]=A(θ)·Rss·AH(θ)+O，

(2)

Rss=E[S(t)·SH(t)]=diag(σs)，

(3)

y=vec(R)=[A*(θ)⊙A(θ)]σs+vec(O)=

GB(θ)σs+vec(O)，

(4)

式中:⊙表示Khatri-Rao積，即

GB(θ)=A*(θ)⊙A(θ)=
(a*(θ1)?a(θ1),…,a*(θK)?a(θK))，

(5)

式中：?表示Kronecker積;G∈C(M2×(2M-1))為選擇矩陣，表示為

G= [vec(JM-1),…,vec(J1),vec(J0),

(6)

(7)

并且B(θ)=(b(θ1),b(θ2),…,b(θK))∈C(2M-1)×K，b(θk)為2M-1維的導向矢量，可以寫為

(8)

1.1 稀疏重建模型

令uk=sinθk，入射角的范圍為θk∈[-90°,90°],可知任意入射角θk對應唯一的正弦值uk，可知uk∈[-1,1]。因此過完備字典在正弦空間[-1,1]上進行等間隔劃分也可以估計θk，相同的原子個數下，相比在角度域[-90°,90°]范圍內進行等間隔劃分，正弦空間均勻網格劃分對在角度域[-45°,45°]范圍內有更多的原子數量，因此在該范圍內對信號DOA的估計精度也更高。把值域為[-1,1]正弦空間等間隔劃分為Q份，即u=(u1,u2,…,uQ)，Q?M,式(4)可以被改寫為

y=GB(u)r+vec(O),

(9)

(10)

利用稀疏重建理論時，O的估計精度和β的取值對稀疏矢量r的估計都有著重要的影響。

1.2 噪聲協(xié)方差矩陣的估計

(11)

加性噪聲白噪聲N(t)的協(xié)方差矩陣通常采用式(12)估計：

(12)

按以下步驟進行迭代循環(huán)：

(4)k=k+1；

(5) 當|f(k+1)-f(k)|≤γ迭代停止，輸出O。

其中D′{·}表示僅保留對角線元素，其余元素為0。

ILSSE算法迭代次數通常到達10次時即可收斂，因此額外增加的運算量相較式(10)進行稀疏重建要少的多。采用ILSSE算法能得到更加精確的噪聲協(xié)方差矩陣，從而提高式(10)進行稀疏重建的精度。

1.3 誤差門限的選取

Δy～AsN(0M2,1,W)，

(13)

(14)

式中：Asχ2(M2)為具有M2個自由度的漸近卡方分布，因此可以將式(10)的凸優(yōu)化問題轉化為最小L1范數問題：

(15)

2 離格信號DOA估計

2.1 離格信號模型

(16)

式中：

(17)

可以看出向量b(ukl)和向量c(ukl)具有完全相同的基，因此b(ukl)和jδkc(ukl)是完全正交的，因此離格信號的導向矢量可以作如圖1所示正交分解。

式(16)修正為

(18)

式中：αk為離格信號導向矢量在臨近原子b(ukl)向量上的投影分量。

根據式(9)，離格信號的協(xié)方差模型可以表示為

y=G[B(u)diag(α)+C(u)diag(δ)]r+vec(O),

(19)

式中:δ=(δ1,δ2,…,δQ)T，α=(α1,α2,…,αQ)T，C(u)=(jc(u1),jc(u2)…,jc(uQ))。

基于式(19)的稀疏重建是一個非凸優(yōu)化問題，很難直接求解，下面給出一種基于最小二乘估計的分步求解方法。

2.2 網格偏離量求解

由于b(ukl)和jc(ukl)是正交的，b(ukl)向量上的系數diag(α)r可通過最小二乘法求解，即

diag(α)r=[GB′]+[y-vec(O)],

(20)

式中：[·]+表示“[·]”的廣義逆矩陣；α=(α1l,α2l,…,αKl)T。

網格偏離量δ在已知diag(α)r的基礎上，通過最小二乘法求解，即

δ=[GC′diag(diag(α)r)]+·
[y-GB′diag(α)r-vec(O)]，

(21)

式中：C′=(jc(u1l),jc(u2l)…,jc(uKl))，r=(r1l,r2l…,rKl)T，δ=(δ1l,δ2l,…,δKl)T。

K個離格信號在正弦空間DOA的估計值為

(22)

式中：u=(u1l,u2l,…,uKl)。

2.3 算法運算量分析

為直觀表現算法性能，本文選用經典的L1-SVD[3]算法和具有代表性的離格信號DOA估計算法OGSBI[9]算法進行對比。L1-SVD算法運用CVX凸優(yōu)化工具箱進行重建每次迭代的運算量約為O(K3Q3)，OGSBI算法每次迭代的運算量為O(MQ2)，本文所提算法中，ILSSE算法迭代次數一般不超過10次，運算量相對稀疏重建而言可以忽略，稀疏重建時每次迭代的運算量約為O(Q3)，介于L1-SVD算法和OGSBI算法之間。

3 仿真分析

本節(jié)通過Matlab仿真對本文所提算法進行仿真分析，選用L1-SVD算法和OGSBI算法進行比較。仿真采用陣元數為10，陣元間距為半個波長的均勻直線陣，噪聲為0均值的加性高斯白噪聲。前3個仿真中，過完備字典在正弦空間劃分的網格間距均為0.01，同時所有仿真中離格信號的DOA均為正弦空間的入射角。為衡量算法對離格信號DOA的估計性能，選用均方根誤差(RMSE)作為評價指標，其中仿真2到仿真4的均方根誤差取以10為底的對數表示。

均方根誤差的定義如下：

(23)

仿真1噪聲協(xié)方差矩陣估計方法對非離格信號DOA稀疏重建精度的影響。

2個非相關入射信號的DOA分別為0.14和0.46，信噪比從-5 dB步進到5 dB，步進長度為2 dB，快拍數為300，分別采用MinE和ILSSE 2種方法估計噪聲協(xié)方差矩陣O，并根據式(15)進行稀疏重建，蒙特卡羅仿真次數為500。統(tǒng)計分析DOA估計的RMSE結果如圖2所示。

圖2表明，噪聲協(xié)方差矩陣的估計方法對式(10)稀疏重建的精度由較大的影響。采用ILSSE方法估計的DOA更準確，極大地提高了基于KR積變換的稀疏重建算法在低信噪比下的估計精度。

仿真2不同信噪比下的離格信號DOA估計精度分析。

2個非相關離格信號的DOA分別為0.143和0.587，信噪比從-5 dB步進到51 dB，步進長度為4 dB，快拍數為300，每個信噪比下進行500次蒙特卡羅仿真，統(tǒng)計分析L1-SVD,OGSBI和本文所提算法在不同信噪比下DOA估計的RMSE如圖3所示。

從圖3中可以看出3種算法的RMSE曲線都隨著信噪比的增加而降低，但由于離格信號的DOA不位于預先劃分的原子網格上，因此L1-SVD算法在信噪比達到10 dB時RMSE曲線就不在下降，此時仍存在較大的估計誤差，因此L1-SVD算法并不適用于對離格信號的估計。本文算法和OGSBI算法RMSE曲線可以隨著信噪比的增大而持續(xù)下降，在高信噪比下對離格信號DOA有較高的估計精度。OGSBI算法由于在求解網格偏離量時采用了近似算法來降低運算復雜度，在高信噪比下存在固定的估計偏差，當信噪比增大到一定程度時，RMSE曲線不再下降。相較OGSBI算法，本文所提算法在不同的信噪比下均有更高估計精度和更小的固定估計偏差。

仿真3不同快拍下的離格信號DOA估計精度分析。

2個非相關離格信號的DOA分別為0.143和0.587，信噪比固定為10 dB，快拍數從100步進到500，步進長度為100，每個快拍數下進行500次蒙特卡羅仿真，統(tǒng)計分析L1-SVD，OGSBI和本文所提算法在不同信噪比下DOA估計的RMSE如圖4所示。

圖4表明，由于存在網格誤差，L1-SVD算法的RMSE曲線不隨快拍數的增加而降低。OGSBI算法和本文所提算法的估計精度均隨著快拍數的增加而提高，從曲線的下降速度來看，本文所提算法下降更快，在固定的信噪比下可以用更少的快拍數達到最高估計精度。

仿真4不同網格間距下的離格信號DOA估計精度分析。

仿真時，過完備字典在正弦空間的網格間距Δdg從0.01步進到0.05，步長為0.01，信噪比固定為20 dB，快拍數為300。為使信號在不同的網格間距下有相同的網格偏離量，設定每個網格間距下的信號DOA分別為0.3Δdg和0.6+0.7Δdg。每個網格間距下做500次蒙特卡羅實驗得到仿真結果如圖5所示。

從圖5中可以看出，隨著網格間距的增大，L1-SVD算法和OGSBI算法的RMSE曲線明顯升高，DOA估計性能迅速下降，而本文所提算法在網格間距較大時仍能保持較高的估計精度，因此本文算法更適用于粗網格劃分下的離格信號DOA估計。

4 結束語

本文提出了一種基于導向矢量正交分解的離格信號DOA估計算法，算法對接收數據的協(xié)方差矩陣進行KR積變換，并利用ILSSE算法精確估計噪聲協(xié)方差矩陣，提高了稀疏重構的精度。仿真結果表明，在不同信噪比下本文所提算法對離格信號DOA都有較高的估計精度，同時在網格間距較大時仍能保持較高的估計精度。因此，在不損失估計精度的前提下，可以通過增大網格間距的方式來降低本文算法的運算量。