北京市第八十中學(xué) (100102)

孫世林

2018年北京高考文科20題是一道解析幾何考題，綜合性強(qiáng)，能力要求高，全面深入地考查了解析幾何的知識本質(zhì)，同時(shí)也很好地體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算的考查；在高考中考生雖然解題思路較為清晰，但考生卻普遍失分較多，究其原因主要是數(shù)學(xué)運(yùn)算的問題，解析幾何的知識本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，所以運(yùn)算能力成為了解決解析幾何問題的必備能力，下面通過2018年北京高考文科20題解法的探究，談?wù)勗诮忸}過程中如何把握代數(shù)運(yùn)算，完善解題過程.

一、考題再現(xiàn)

圖1

(1)求橢圓M的方程；

(2)若k=1，求|AB|的最大值；

二、解法探究

點(diǎn)評：解析幾何綜合問題常為在運(yùn)動(dòng)變化過程中探究某些不變的性質(zhì)與規(guī)律，對于這類運(yùn)動(dòng)變化問題，解題時(shí)要深入探究產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化的根源，從產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化的根源入手，自然快捷地解決此類問題.另外，解析幾何較歐氏幾何，最大的優(yōu)勢是把“運(yùn)動(dòng)變化引入幾何”，實(shí)現(xiàn)了“用坐標(biāo)刻畫運(yùn)動(dòng)”；這種用代數(shù)手段來研究幾何問題的偉大構(gòu)想就是解析幾何的本質(zhì)，所以代數(shù)運(yùn)算是解決解析幾何問題必須經(jīng)歷的過程，并且有的代數(shù)運(yùn)算是相當(dāng)繁瑣的，所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要有意識強(qiáng)化代數(shù)運(yùn)算，提高我們的計(jì)算能力.

分析2：在第三問中，可以理解為從點(diǎn)P(-2,0)作兩條直線分別與橢圓M依次交于C、A和D、B，求點(diǎn)C、D、Q共線時(shí)AB所在直線l的斜率，所以過點(diǎn)P(-2,0)作兩條直線是本題中的運(yùn)動(dòng)變化的根源，因此解決本題從PA、PB入手，設(shè)PA所在直線方程為y=k1(x+2)，PB所在直線方程為y=k2(x+2)，借助C、D、Q共線，尋求點(diǎn)A、B坐標(biāo)的關(guān)系，從而求出直線AB的斜率.

解法2：(1)(2)略.

(1+3k1)x2+12k1x+12k1-3=0，則x1+x3=

點(diǎn)評：解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題，在解題過程中，首先要將文字信息、圖形條件進(jìn)行對比互補(bǔ)，用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系，將已知的幾何條件表示成代數(shù)形式，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡拇鷶?shù)運(yùn)算得出代數(shù)結(jié)果，最后通過分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義解決幾何問題，在這個(gè)過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉(zhuǎn)換，但無論怎么轉(zhuǎn)化代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果的正確與否直接關(guān)系解題的成敗，所以重視代數(shù)計(jì)算，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之計(jì)算能力的培養(yǎng)是解析幾何教學(xué)中必須引起重視的重要環(huán)節(jié)．

分析3：對于“直線與圓錐曲線的綜合問題”，通常將直線方程和曲線方程進(jìn)行聯(lián)立，消元后得到一個(gè)一元二次方程，再結(jié)合韋達(dá)定理、根的判別式等來處理相關(guān)問題，這似乎成為了解決圓錐曲線綜合問題“通用”的解題策略，其本質(zhì)就是相關(guān)“點(diǎn)”是直線與圓錐曲線的“公共點(diǎn)”，從而轉(zhuǎn)化為方程組的解，借助方程組的解來探究題目中的幾何關(guān)系；但這種“通用”的解題策略有時(shí)會(huì)有較為繁瑣的解題過程，深入思考此種方法，可以直接將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線或直線方程，再借助“點(diǎn)坐標(biāo)”這一代數(shù)形式下的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)對題目中幾何關(guān)系的探究，避免了解方程組的繁瑣，從而簡化運(yùn)算.

解法3：(1)(2)略.

點(diǎn)評：此種解法避開了解決圓錐曲線綜合問題“通用”的“聯(lián)立方程、消元、韋達(dá)定理、根的判別式”解題策略，由于題目中相關(guān)的點(diǎn)是橢圓和直線的公共點(diǎn)，此種解法充分抓住了這些點(diǎn)的坐標(biāo)滿足相應(yīng)的方程的特點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為這些點(diǎn)坐標(biāo)間滿足的關(guān)系，在尋求這些坐標(biāo)間的“相關(guān)聯(lián)之處”，從而解決此題；此法很好地體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)，即“用坐標(biāo)刻畫運(yùn)動(dòng)，用代數(shù)方法來研究幾何問題”.

三、反思

圓錐曲線是一個(gè)幾何圖形，圓錐曲線問題中包含了一系列的幾何關(guān)系，怎樣才能更好地研究這些幾何圖形中的幾何關(guān)系，數(shù)學(xué)中引入了“解析法”，其核心是用代數(shù)的方法研究幾何.在解決解析幾何問題時(shí)，要借助平面直角坐標(biāo)系，將平面內(nèi)的“點(diǎn)”與“數(shù)對”之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，要深入探究用什么樣的代數(shù)形式表示題目中的幾何關(guān)系，再通過對代數(shù)關(guān)系的研究，實(shí)現(xiàn)研究幾何圖形性質(zhì)的目的．

學(xué)習(xí)解析幾何的攔路虎之一就是代數(shù)變換的繁瑣、冗長，需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力.解題過程中，許多學(xué)生都是因?yàn)椴荒茼樌M(jìn)行代數(shù)變換而導(dǎo)致失敗.而高中數(shù)學(xué)課程中明確提出應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一，其中運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理能力就是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，考綱中也明確提出了考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力的具體要求.因此，教師不要將計(jì)算結(jié)果直接給出，在課堂上和復(fù)習(xí)中應(yīng)舍得花時(shí)間和學(xué)生同甘共苦經(jīng)歷計(jì)算的過程，向?qū)W生闡述每一步計(jì)算的算理，提醒學(xué)生注意每一個(gè)計(jì)算細(xì)節(jié)，區(qū)分不同參數(shù)的地位作用，教給學(xué)生重要的代數(shù)變換方法和必備的計(jì)算技巧，運(yùn)算能力的提高是一個(gè)長久且螺旋式上升的過程，教師要注重對學(xué)生進(jìn)行算法、算理的引導(dǎo)，教師要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際有意識的設(shè)計(jì)一些開放性問題讓學(xué)生去探究，培養(yǎng)學(xué)生耐心細(xì)致的運(yùn)算習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的意志力，教育學(xué)生要有信心、耐心、信心和恒心，同時(shí)引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)有關(guān)“形”的特征盡量減少運(yùn)算，充分利用定義、形的特征簡化運(yùn)算，相信學(xué)生的運(yùn)算能力一定能提升，使得學(xué)生解決解析幾何問題更加得心應(yīng)手.

解析幾何中涉及直線與圓錐曲線的綜合問題一直是高考、高校自主招生及各類競賽的熱點(diǎn)、難點(diǎn)、重點(diǎn)，尤其面對繁瑣的步驟及復(fù)雜的計(jì)算，往往令學(xué)生束手無策，甚至產(chǎn)生畏懼心理.在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生往往真奔主題，強(qiáng)行求解，這樣不僅花費(fèi)了大量寶貴時(shí)間，而且往往因?yàn)樽帜付?、步驟繁、計(jì)算量大導(dǎo)致精神緊張、體力透支、推理出錯(cuò)，出現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生半途而廢甚至無功而返的尷尬局面.上述解法探究，重點(diǎn)在如何恰當(dāng)利用題目中的幾何條件、如何優(yōu)化解題過程、怎樣細(xì)化代數(shù)運(yùn)算的探究，特別是代數(shù)運(yùn)算的關(guān)鍵環(huán)節(jié)的處理做了深入細(xì)致的分析，希望能給同學(xué)們的解題帶來幫助.