江西省瑞金第一中學(xué) (342500)

謝小平 楊祖華 許麗美

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽已經(jīng)落下帷幕，筆者有幸參加了今年贛州市的閱卷工作，發(fā)現(xiàn)這道平面幾何題很值得研究與思考.

題目如圖1,ΔABC的內(nèi)心為I,D,E,F分別是邊BC,AC,AB的中點(diǎn)，證明：直線DI平分ΔDEF的周長.

讓我們先來看命題者提供的解題思路：

圖1

證明：作出ΔABC的內(nèi)切圓⊙I分別切BC,AC,AB于H,R,K,連接HI并延長交⊙I于O,過O作BC的平行線分別交AC,AB于M,N,連接AO并延長交BC于G,設(shè)AG交EF于S.

又D,E,F分別是邊BC,AC,AB的中點(diǎn),∴AB=2DE,AC=2DF,BD=CD,BG=2FS,CG=2ES,∴2DE+2FS=2DF+2ES,∴DE+FS=DF+ES.

從命題者提供的參考答案容易看出，命題者的思路應(yīng)該是來源于旁切圓的性質(zhì)，即AO會平分ΔANM的周長，從而推導(dǎo)出一系列的等分周長的性質(zhì)，進(jìn)而得到此題的證明.但在實(shí)際的閱卷過程中，使用這種方法進(jìn)行證明的學(xué)生是鳳毛麟角，大部分學(xué)生利用的是內(nèi)心、角平分線的性質(zhì)和相似三角形的關(guān)系進(jìn)行證明,以下三種解法是在改卷過程中學(xué)生給出的解答.

圖2

圖3

對ΔARQ及D,I,P′三點(diǎn)由梅涅芳斯定理,有

合.即P為ΔAEF內(nèi)切圓在EF上的切點(diǎn),∴PE+AF=PF+AE,又AF=DE,AE=DF,∴DE+EP=DF+FP,即直線DI平分ΔDEF的周長.

圖4

由于命題者在試題的圖形繪制中，隱去了三角形的內(nèi)切圓，所以，幾乎沒有考生嚴(yán)格按照命題者給出的標(biāo)答證題.但從以上考生的幾種證法可以看出，其證明過程都優(yōu)于命題者，“教學(xué)相長”我們應(yīng)該遵循這一教學(xué)規(guī)律.