蘇 磊，葉 丹,2*

(1.東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819；2.東北大學(xué) 流程工業(yè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽(yáng) 110819)

模糊集概念是由Zadeh教授于1965年首次提出[1]，經(jīng)過(guò)半個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，有關(guān)模糊集的研究獲得了豐碩的成果.在提出模糊理論后的幾年里，控制領(lǐng)域的學(xué)者們并沒(méi)有找到合適的方法將其運(yùn)用到工程實(shí)踐中，直到1974年Mamdani分析了模糊邏輯在鍋爐和蒸汽機(jī)控制中的應(yīng)用問(wèn)題[2]，模糊控制理論才開始被廣大學(xué)者熟知和探討.值得一提的是，Mamdani提出的模糊控制方法雖然在實(shí)際應(yīng)用中能夠達(dá)到滿意的控制性能，但美中不足的是該方法一直無(wú)法驗(yàn)證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.究其原因是Mamdani的方法是基于啟發(fā)式規(guī)則的語(yǔ)義表達(dá)，缺乏堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)進(jìn)行控制器性能分析[3-4].為了解決這一難題，日本學(xué)者Takagi和Sugeno于1985年提出了基于模型的模糊控制方法[5]，即T-S模糊模型.T-S模糊模型是由模糊隸屬度函數(shù)光滑連接多個(gè)線性狀態(tài)方程產(chǎn)生的一個(gè)全局模型，在任意的凸緊集內(nèi)，T-S模糊模型能夠以任意精度逼近任意光滑非線性函數(shù).因此，T-S模糊模型能夠用來(lái)描述非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程.T-S模糊模型實(shí)質(zhì)上是非線性模型，但對(duì)應(yīng)的每條規(guī)則又是線性模型，這種特征便于人們進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制問(wèn)題研究.近幾十年來(lái)，T-S模糊模型已成為研究熱點(diǎn)，并且成為非線性系統(tǒng)控制的重要方法.

另一方面，日趨復(fù)雜的自動(dòng)控制系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間的工作中，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)不可避免出現(xiàn)隨機(jī)跳變/切換的情況，如飛機(jī)控制系統(tǒng)、大規(guī)模的制造系統(tǒng)等大系統(tǒng)，其多個(gè)工作模式間的隨機(jī)切換，某個(gè)子系統(tǒng)的突發(fā)故障及外部環(huán)境造成的信息傳輸中斷等[6].物聯(lián)網(wǎng)、云處理及太空科技中的自動(dòng)控制裝置高度依賴繁重的信息處理，因處理信息的環(huán)境不同而出現(xiàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)的隨機(jī)突變[7]，這種結(jié)構(gòu)或參數(shù)的隨機(jī)突變大大影響了系統(tǒng)控制的效果和品質(zhì).針對(duì)這一現(xiàn)象，Krasovskii 和 Lidsskii 建立了最早的 Markov 跳變模型[8]，該模型提出后得到了研究人員的極大關(guān)注，研究成果涉及控制理論的方方面面，同時(shí)成功應(yīng)用于多個(gè)工程控制領(lǐng)域[9].

近年來(lái)，不少學(xué)者對(duì)T-S模糊系統(tǒng)中存在系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)發(fā)生跳變及模糊規(guī)則中前置變量發(fā)生突變的現(xiàn)象感興趣，這也提升了T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的研究，這些研究取得了大量有意義的結(jié)果[10-11].

1 T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的控制問(wèn)題研究現(xiàn)狀

T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)不是Markov跳變系統(tǒng)與T-S模糊模型簡(jiǎn)單的結(jié)合.實(shí)際上，T-S模糊Markov系統(tǒng)所面臨的，不僅有子系統(tǒng)個(gè)數(shù)和系統(tǒng)維度的增加，也有模糊規(guī)則與Markov跳變過(guò)程的互相耦合問(wèn)題.例如，由于跳變現(xiàn)象的存在，控制器與系統(tǒng)的模糊規(guī)則不能同步，若再同時(shí)出現(xiàn)系統(tǒng)模態(tài)與控制器模態(tài)異步情況，面臨的問(wèn)題更復(fù)雜.此外，當(dāng)轉(zhuǎn)移概率和模糊隸屬度函數(shù)未知時(shí)，相應(yīng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題也同樣不易解決.近年來(lái)關(guān)于T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的控制綜合問(wèn)題得到了廣泛關(guān)注[12-13]，相關(guān)研究主要集中在以下問(wèn)題：轉(zhuǎn)移概率是否已知、模糊隸屬度函數(shù)是否匹配及模糊規(guī)則與Markov切換之間是否耦合.

1.1 T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率問(wèn)題

在T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)中，各子模態(tài)(子系統(tǒng))間的隨機(jī)切換是由轉(zhuǎn)移概率決定的.因此，從T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)本身出發(fā)的研究多是圍繞轉(zhuǎn)移概率開展的.早期，人們討論T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)時(shí)，通常假設(shè)其轉(zhuǎn)移概率是完全可知或可測(cè)的，在此假設(shè)下做出了許多開創(chuàng)性的工作.但隨后有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，實(shí)際應(yīng)用時(shí)轉(zhuǎn)移概率信息很難完全獲得.因此，在轉(zhuǎn)移概率信息完全可知情況下得到的結(jié)果不再適用.

在假設(shè)轉(zhuǎn)移概率完全已知的條件下，He等[14]針對(duì)T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一個(gè)基于觀測(cè)器狀態(tài)的反饋控制器，并在系統(tǒng)存在時(shí)滯的情況下實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間鎮(zhèn)定和H∞控制.Wang等[15]考慮T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)存在的隨機(jī)跳變不確定和時(shí)滯，利用時(shí)滯分割和線性矩陣不等式技術(shù)，設(shè)計(jì)出了相應(yīng)的控制器.針對(duì)更一般的轉(zhuǎn)移概率未知但有界的情況，He等[16]研究了T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)基于L2-L∞控制性能指標(biāo)的隨機(jī)控制問(wèn)題.Kim[17]針對(duì)T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)中不完備的轉(zhuǎn)移概率情況，引入松弛矩陣技術(shù)并結(jié)合轉(zhuǎn)移概率特殊結(jié)構(gòu)，解決了轉(zhuǎn)移概率未知時(shí)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題.但需要指出的是，上述研究主要是基于處理轉(zhuǎn)移概率非完全可知情況下的方法.從“系統(tǒng)結(jié)構(gòu)-控制性能”觀點(diǎn)來(lái)看，對(duì)具有可變或未知轉(zhuǎn)移概率的跳變系統(tǒng)，是否可以通過(guò)設(shè)計(jì)其轉(zhuǎn)移概率結(jié)構(gòu)來(lái)提升控制性能？為了解決這一問(wèn)題，Bolzern等[18]借助切換系統(tǒng)的研究方法，提出了跳變/切換系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(也稱雙切換系統(tǒng)結(jié)構(gòu))，即有限個(gè)子模態(tài)(系統(tǒng))間的隨機(jī)跳變是由動(dòng)態(tài)Markov切換法則和確定型切換信號(hào)組成，并通過(guò)采用外部監(jiān)測(cè)器選擇確定型切換信號(hào)，實(shí)現(xiàn)有限個(gè)子模態(tài)(系統(tǒng))在分段常函數(shù)Markov轉(zhuǎn)移概率下的控制分析與設(shè)計(jì).需要指出的，鮮有文獻(xiàn)研究T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)中分段轉(zhuǎn)移概率的結(jié)構(gòu)，因此弱化分段轉(zhuǎn)移概率限制、考慮實(shí)際應(yīng)用效果的控制綜合方法是該領(lǐng)域?qū)W者值得探索的一個(gè)方向.

1.2 T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的模糊隸屬度函數(shù)問(wèn)題

研究T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的控制問(wèn)題時(shí)，模糊隸屬度函數(shù)的選取是當(dāng)前的研究熱點(diǎn)之一.按隸屬度函數(shù)分類，T-S模糊模型可分為一型T-S模糊模型[1](隸屬度函數(shù)完全已知)和二型T-S模糊模型[19](隸屬度函數(shù)未知但上下界已知).

針對(duì)一型T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的控制問(wèn)題，一般采用并行分布補(bǔ)償技術(shù)(parallel distributed compensator, 簡(jiǎn)稱PDC)，其主要思想就是模糊控制器與模糊系統(tǒng)分享相同的前置隸屬度函數(shù).Sheng等[20]利用線性矩陣不等式技術(shù)，克服了以往求解非線性哈密頓雅克比不等式的困難，并利用PDC技術(shù)設(shè)計(jì)出了相應(yīng)的控制器.Zhang等[21]采用輸入輸出方法，針對(duì)T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)中存在丟包和時(shí)變時(shí)滯的情況，設(shè)計(jì)了基于PDC技術(shù)的H∞模糊跳變控制器.隨著研究的深入，后來(lái)的學(xué)者發(fā)現(xiàn)一型T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)中模糊權(quán)重包含不確定信息時(shí)，PDC技術(shù)失效.針對(duì)這一問(wèn)題， Hou等[22]在處理離散時(shí)間T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)事件觸發(fā)可靠控制的問(wèn)題上，設(shè)計(jì)了異步模糊跳變控制器.

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，精確的隸屬度信息往往很難獲得.基于此，Zedeh[19]于1975年提出了二型模糊集的概念，其隸屬度是在一型模糊隸屬度函數(shù)基礎(chǔ)上再次模糊化.因此，二型模糊集很大程度上增加了設(shè)計(jì)的自由度，應(yīng)對(duì)高度不確定情況時(shí)，具有更好的效果[23-26].Li等[23]采用二型T-S模糊模型對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)參數(shù)不確定性進(jìn)行建模，并在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出了基于觀測(cè)器的模糊控制器.Zhao等[25]不僅利用二型T-S模糊模型處理了系統(tǒng)參數(shù)不確定性，還提出了一個(gè)新型的二型模糊切換控制器設(shè)計(jì)方法，并充分利用隸屬度函數(shù)的上下界信息，降低了設(shè)計(jì)控制器時(shí)的保守性.目前基于一型T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的控制問(wèn)題研究較多，而二型T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的控制問(wèn)題仍是空白，有待進(jìn)一步研究.

1.3 T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的模糊規(guī)則與切換規(guī)則耦合問(wèn)題

在T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)中，當(dāng)轉(zhuǎn)移概率和模糊規(guī)則間存在耦合時(shí)，相應(yīng)的控制問(wèn)題將會(huì)變得更為復(fù)雜，該耦合出現(xiàn)于模糊規(guī)則前置變量函數(shù)的隨機(jī)跳變和李雅普諾夫函數(shù)選取中.

針對(duì)模糊規(guī)則前置變量中存在的跳變現(xiàn)象，Zhang等[27]研究了離散時(shí)間T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)控制，處理了轉(zhuǎn)移概率部分已知的情況.Lu等[28]不僅考慮了上述情況，還解決了系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中可能出現(xiàn)的隨機(jī)丟包問(wèn)題.需要指出的是，上述文獻(xiàn)僅僅針對(duì)T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)基于PDC技術(shù)的控制器設(shè)計(jì)，如何設(shè)計(jì)一個(gè)異步模糊控制器值得進(jìn)一步研究.針對(duì)李雅普諾夫函數(shù)選取問(wèn)題，為了降低控制器設(shè)計(jì)的保守性，Tao等[29]針對(duì)離散時(shí)間T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)設(shè)計(jì)可靠控制器時(shí)，選取了既依賴于系統(tǒng)模態(tài)又依賴于系統(tǒng)模糊規(guī)則的李雅普諾夫泛函.He等[30]通過(guò)選取一個(gè)模態(tài)依賴的模糊李雅普諾夫泛函，解決了連續(xù)時(shí)間T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的H∞控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，并通過(guò)引入松弛矩陣降低了設(shè)計(jì)的保守性.目前，在T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)中，有關(guān)模糊規(guī)則與切換規(guī)則耦合問(wèn)題的研究相對(duì)較少，有待進(jìn)一步探討.

2 T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)控制問(wèn)題面臨的挑戰(zhàn)

T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)經(jīng)歷了幾十年的發(fā)展，不僅在理論上得到了深化，在應(yīng)用中也取得了豐碩的成果.但是，隨著研究的深入，一些之前研究中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)或者沒(méi)有引起重視的問(wèn)題日益浮出水面，其相關(guān)問(wèn)題如下：

(1) 絕大部分的研究工作主要關(guān)注整數(shù)階系統(tǒng)，而分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在很多情況下能更好地描述現(xiàn)實(shí)中無(wú)法用整數(shù)階系統(tǒng)來(lái)描述的自然現(xiàn)象.因此，研究分?jǐn)?shù)階T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的控制問(wèn)題非常有意義.

(2) 針對(duì)T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)控制問(wèn)題大部分集中在轉(zhuǎn)移概率、模糊隸屬度函數(shù)及保守性降低等方面，對(duì)于控制器自身飽和、輸入受限及數(shù)據(jù)量化等問(wèn)題很少關(guān)注.因此，設(shè)計(jì)控制器時(shí)兼顧飽和、輸入受限及數(shù)據(jù)量化等，也是面臨的一個(gè)挑戰(zhàn).

(3) 針對(duì)T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的是狀態(tài)反饋控制器，鮮有輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方案發(fā)表.在實(shí)際控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)往往不能通過(guò)測(cè)量獲得，但通過(guò)測(cè)量能夠直接獲得系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，因此針對(duì)T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的輸出反饋控制器值得研究.

3 結(jié)束語(yǔ)

筆者對(duì)現(xiàn)有的T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了綜述.首先，介紹了T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)的研究背景；其次，從3個(gè)方面分析了T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)控制策略的研究現(xiàn)狀；最后，對(duì)現(xiàn)有T-S模糊Markov跳變系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)中存在的問(wèn)題進(jìn)行了總結(jié)和展望.

參考文獻(xiàn)：

[1] ZADEH L A. Information and control[J]. Fuzzy Sets,1965,8(3):338-353.

[2] MAMDANI E H. Application of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant[J]. Proceedings of the Institution of Electrical Engineers,1974,121(12):1585-1588.

[3] FENG G. A survey on analysis and design of model-based fuzzy control systems[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2006,14(5):676-697.

[4] 肖建, 趙濤. T-S模糊控制綜述與展望[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào),2016,51(3):462-474.

[5] TAKAGI T, SUGENO M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics,1985(1):116-132.

[6] BOUKAS E K. Stochastic switching systems: analysis and design[M]. New York: Springer Science & Business Media,2007.

[7] 吳森堂. 結(jié)構(gòu)隨機(jī)跳變系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2007.

[8] KRASSOVSKII N N, LIDSKII E A. Analytical design of controllers in system with random attributes I, II, III[J]. Automation Remote Contr,1961,22:1021-1025.

[9] BOUKAS E K, LIU Z K . Deterministic and stochastic time-delay systems[M]. New York: Springer Science & Business Media,2012.

[10] WU H N, CAI K Y. Mode-independent robust stabilization for uncertain Markovian jump nonlinear systems via fuzzy control[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B (Cybernetics),2005,36(3):509-519.

[11] DONG J X, YANG G H. Fuzzy controller design for Markovian jump nonlinear systems[J]. International Journal of Control, Automation, and Systems,2007,5(6):712-717.

[12] ZHANG Y S, XU S Y, ZHANG B Y. Robust output feedback stabilization for uncertain discrete-time fuzzy Markovian jump systems with time-varying delays[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2009,17(2):411-420.

[13] SHEN M Q, YE D. Improved fuzzy control design for nonlinear Markovian-jump systems with incomplete transition descriptions[J]. Fuzzy Sets and Systems,2013,217:80-95.

[14] HE S P, LIU F. Finite-timeH∞fuzzy control of nonlinear jump systems with time delays via dynamic observer-based state feedback[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2012,20(4):605-614.

[15] WANG J W, WU H N, GUO L, et al. RobustH∞fuzzy control for uncertain nonlinear Markovian jump systems with time-varying delay[J]. Fuzzy Sets and Systems,2013,212:41-61.

[16] HE S P, LIU F.L2-L∞fuzzy control of jump systems with bounded transition probabilities[J]. Systems Engineering and Electronics,2011,33(3):594-599.

[17] KIM S H. Control synthesis of Markovian jump fuzzy systems based on a relaxation scheme for incomplete transition probability descriptions[J]. Nonlinear Dynamics,2014,78(1):691-701.

[18] BOLZERN P, COLANERI P, DE NICOLAO G. Markov jump linear systems with switching transition rates: mean square stability with dwell-time[J]. Automatica,2010,46(6):1081-1088.

[19] ZADEH L A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning[J]. Information Sciences,1975,8(3):199-249.

[20] SHENG L, GAO M, ZHANG W H. Dissipative control for Markov jump non-linear stochastic systems based on T-S fuzzy model[J]. International Journal of Systems Science,2014,45(5):1213-1224.

[21] ZHANG L X, NING Z P, SHI P. Input-output approach to control for fuzzy Markov jump systems with time-varying delays and uncertain packet dropout rate[J]. IEEE Transactions on Cybernetics,2015,45(11):2449-2460.

[22] HOU L Y, CHENG J, QI W H. Event-triggered reliable control for fuzzy Markovian jump systems with mismatched membership functions[J]. ISA Transactions,2017,66:96-104.

[23] LI H Y, WU C W, YIN S, et al. Observer-based fuzzy control for nonlinear networked systems under unmeasurable premise variables[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2016,24(5):1233-1245.

[24] AKBARZADEH T M R, HOSSEINI S A, NAGHIBI-SISTANI M B. Stable indirect adaptive interval type-2fuzzy sliding-based control and synchronization of two different chaotic systems[J]. Applied Soft Computing,2017,55:576-587.

[25] ZHAO T, XIAO J. State feedback control for interval type-2Takagi-Sugeno fuzzy systems via interval type-2regional switching fuzzy controllers[J]. International Journal of Systems Science,2015,46(15):2756-2769.

[26] ANTAO R. Type-2fuzzy logic: uncertain systems’ modeling and control[M]. Singapore: Springer Nature,2017.

[27] ZHANG L X, YANG T, WU F. Control for discrete-time fuzzy Markov jump systems with mode-dependent antecedent parts[C]//Industrial Electronics (ISIE), IEEE23rd International Symposium,2014:2306-2311.

[28] LU Q G, ZHANG L X, ZHANG Q R, et al. Stability analysis and controller design for a class of T-S fuzzy Markov jump system with uncertain expectation of packet dropouts[C]//American Control Conference (ACC), IEEE,2013:6400-6405.

[29] TAO J, LU R Q, SHI P, et al. Dissipativity-based reliable control for fuzzy Markov jump systems with actuator faults[J]. IEEE Transactions on Cybernetics,2017,47(9):2377-2388.

[30] HE T Q, CHEN J, LIU F.H∞control for fuzzy Markovian jump systems based on fuzzy Lyapunov function[C]//Control Conference (CCC),36th Chinese, IEEE,2017:4162-4168.