王松子，簡偉明，王 翔

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)精密機(jī)械與精密儀器系，安徽合肥230026）

1 引 言

微透鏡及其陣列在眾多應(yīng)用光學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而非球面微透鏡能夠有效地減小像差和光能損失，提高成像質(zhì)量，可以有效地簡化光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。在紅外光學(xué)系統(tǒng)中非球面的應(yīng)用可有效彌補(bǔ)透過紅外波段材料少而產(chǎn)生象差校正特別是色差校正困難的不足［1］；在面向醫(yī)學(xué)醫(yī)療與工業(yè)檢測領(lǐng)域的熱成像系統(tǒng)，以及激光束整形等，非球面透鏡有利于紅外透鏡設(shè)計(jì)到衍射極限，有效地解決復(fù)雜的光束整型和寬波段范圍內(nèi)的消色差，并能使得光學(xué)系統(tǒng)更小和更輕［2-3］。為此，可實(shí)現(xiàn)面形有效調(diào)控的制造方法就成為了非球面微透鏡及其陣列研究的熱點(diǎn)之一［4-5］。目前，非球面微透鏡的制造方法主要包括飛秒激光雙光子聚合加工［6］，注塑成型［7］，玻璃模壓成型［8］以及單點(diǎn)金剛石數(shù)控車削［9］等，但是，相關(guān)的方法存在著制造效率低、模具要求高且易產(chǎn)生氣泡裂紋，以及裝備和工藝復(fù)雜等諸多有待進(jìn)一步完善的問題。

對(duì)于直接制造聚合物微小透鏡的熱熔融法［10］和液滴法［11］，具有無需模具、流程簡單、成本低廉等優(yōu)點(diǎn)，在球面微透鏡及其陣列的制造中已得到了廣泛的研究和應(yīng)用。

對(duì)于液滴法來說，其基本成形原理是利用微小液滴在表面張力作用下，在固體上鋪展形成球冠的現(xiàn)象來獲得平凸形、表面光潔微透鏡及陣列；在其成形過程中，通常因其體積較小而忽略體積力（重力）的影響，其形貌主要由表面張力作用而呈現(xiàn)為球面面形。

但是，當(dāng)液滴體積較大時(shí)，實(shí)際成形過程中，體積力對(duì)液滴穩(wěn)態(tài)面形的形狀有著直接的影響，且體積力與表面張力的作用的合力方向不同，將使液滴形貌呈現(xiàn)為不同的非球面趨勢。為此，本文利用流體動(dòng)力學(xué)的基本原理，通過對(duì)正置于固體基底和倒置于固體基底上的液滴形貌演變的考察，將垂懸液滴引入到非球面透鏡制作中，通過不同體積力對(duì)液滴的穩(wěn)態(tài)非球面形貌的影響分析，結(jié)合紫外光固化技術(shù)來制作非球面微透鏡，并通過對(duì)非球面面形與光學(xué)性能的測量，來實(shí)現(xiàn)不同面形非球面微透鏡的制作。

2 倒置液滴法制作非球面微小透鏡的原理方法

2.1 水平固體基底上液滴的面形演化趨勢

放置在固體基底上的液滴，在表面張力作用下將在固體表面鋪展為球冠形，如圖1（a）所示。當(dāng)面形穩(wěn)定時(shí)，其在液、固、氣三相交界處滿足式（1）所示的 Young方程［12］：

其中，θ為液滴與固體基底的接觸角；γSL為固-液表面張力系數(shù)；γSG為固-氣表面張力系數(shù)；γLG為液-氣表面張力系數(shù)。

圖1 固體基底上液滴的面形演化趨勢Fig.1 The evolving process of the profile of the droplet on a solid substrate

固體基底上液滴的形貌除了受到表面張力作用影響之外，還受到自身體積力（重力）的作用。表面張力使得液滴形狀呈現(xiàn)為球形，而重力則使得液滴呈現(xiàn)非球面化，且體積越大，重力作用越明顯，液滴的面形也將越偏離球面。如圖1（b），正置液滴在重力作用下，面形將隨體積增大由球面變?yōu)楸馄降姆乔蛎妫ㄓ奢喞?→輪廓2），甚至變?yōu)轫敳克絻啥藞A弧的面形（輪廓3）。而對(duì)于倒置液滴，如圖1（c）所示，在重力作用下，體積小可忽略時(shí)仍呈現(xiàn)為球形（輪廓1），隨著體積增大，面形向凸形的非球面方向發(fā)展（輪廓2），當(dāng)體積繼續(xù)增大將會(huì)出現(xiàn)類似滴珠而滴落（如輪廓3）。

通常描述透鏡面形輪廓的二次曲面可如式（2）所示［13］：

其中，r，z分別為徑向坐標(biāo)和矢高方向坐標(biāo)；R為頂點(diǎn)曲率半徑；K為非球面系數(shù)。

按K值不同可將二次曲面分為扁橢球面（K＞0）、球面（K=0）、凸橢球面（-1 ＜K＜0）、拋物面（K=-1）和雙曲面（K＜-1）。

為此，利用倒置的垂懸液滴可以通過選取合適的體積，來得到有利于減小球差的非球面系數(shù)小于零的微小透鏡。

2.2 兩相流模型求解液滴的面形演化

對(duì)于在固體基底上的液滴，其面形演化屬于液、氣兩相流問題，利用COMSOL的層流兩相流模塊（Laminar Two-Phase Flow，Moving Mesh Interface）可以建立兩個(gè)互不混溶的層流體流動(dòng)模型，結(jié)合移動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)應(yīng)用，可以跟蹤流體界面的位置變化。

通常用于高分子材料作為直接制作微透鏡的材料—光固膠，可認(rèn)為是不可壓縮的牛頓流體，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，液滴流體滿足Navier-Stokes方程［14］：

其中，ρ是流體的密度；u是液滴內(nèi)部各點(diǎn)的速度矢量；g是重力加速度；P是流體各點(diǎn)的壓強(qiáng)；μ是流體的動(dòng)力學(xué)粘度。

液滴流體的流動(dòng)除了服從N-S方程外，其還滿足質(zhì)量守恒定律，服從連續(xù)性方程：

N-S方程和連續(xù)性方程是表述液滴流動(dòng)的微分方程，求解這兩個(gè)偏微分方程，可以了解對(duì)液滴內(nèi)部在表面張力和體積力共同作用下的壓力分布，以及液滴的流動(dòng)情況，進(jìn)而得到不同情況液滴相對(duì)穩(wěn)態(tài)下的面形。

為了求解固體基底上的軸對(duì)稱液滴的變化，如圖2所示設(shè)置求解域及邊界條件，設(shè)置液滴矢高方向?yàn)閷?duì)稱軸（Z軸），液滴與固體基底接觸底邊為徑向軸（r軸），而液滴與空氣的交界面（即液滴形貌輪廓）定義為邊界2，并在固-液-氣三相接觸點(diǎn)3處設(shè)置液滴與基底的接觸角，且假設(shè)此接觸角在液滴變形過程中始終保持為恒定值；為此，即可將由Z軸、r軸和液滴輪廓2所包圍的可自由變形的液滴流體（區(qū)域1）作為求解的物理解區(qū)域；并假設(shè)其初始形狀為液滴不受體積力影響時(shí)在對(duì)應(yīng)接觸角下形成的球冠形狀；其后在區(qū)域1內(nèi)添加體積力，其方向?yàn)樨?fù)表示為正置于固體基底上方的固著液滴，體積力方向?yàn)檎龝r(shí)，可以用來計(jì)算懸垂液滴的形貌變化。

圖2 液滴兩相流計(jì)算幾何模型Fig.2 The geometry model of the two-phase flow model

圖3 （a）（b）分別為體積 V=1 μL和 V=10 μL的正置液滴的面形演化過程，其中圖I為零時(shí)刻的速度-壓力分布圖，圖中帶箭頭細(xì)實(shí)線表示液滴流動(dòng)的速度與方向，（線段長度表示速度的大?。?，等壓線圖總體顯示為不均勻的同心圓狀分布（圖例的壓力標(biāo)尺數(shù)值不同，是因?yàn)閺澢好鎺淼母郊訅毫?，液面曲率半徑越小其附加壓力越大?5］，故圖3（a）的小體積液滴內(nèi)部壓力顯示大于大體積液滴圖3（b）的內(nèi)部壓力）。氣液界面處壓力較小，液滴內(nèi)部壓力較大，且在對(duì)稱軸原點(diǎn)處壓力最大，故液體將由對(duì)稱軸向三相接觸線方向流動(dòng)，且小體積液滴（圖3（a-I）相比較大體積力作用圖（3（b-I），表現(xiàn)出較小的流動(dòng)速度；液滴矢高減小，頂點(diǎn)曲率半徑與底徑將增大，且在t=0.5 s時(shí)取得相對(duì)穩(wěn)態(tài)（圖3II）穩(wěn)態(tài)時(shí)，等壓線也演化為相對(duì)均勻的層狀分布。

圖3 不同體積正置液滴面形變化的速度-壓力分布Fig.3 The distributions of velocity and pressure of sessile droplets at different volumes

利用MATLAB分別對(duì)圖3（a）（b）所示液滴穩(wěn)態(tài)面形輪廓（圖II）進(jìn)行擬合，有：體積V=1μL時(shí)面形的非球面系數(shù)K=0.24，底徑D=2.28 mm，矢高h(yuǎn)=0.46 mm，高徑比比初始球面面形減小3%；體積V=10μL的圖（b）的面形非球面系數(shù) K=1.37，底徑D=4.97 mm，矢高 h=0.96 mm，高徑比比初始球面面形減小了7%。

由此可知，隨著液滴體積的增大，體積力使得液滴向非球面系數(shù)K＞0的扁橢球演變，且體積越大非球面系數(shù)K也越大，高徑比越小，即液滴面形將逐漸坍塌為扁橢球面，甚至變得如圖1（b）-3所示的平坦面形。

圖4（a）（b）為倒置液滴在表面力和體積力共同作用下的速度-壓力分布。其中圖4（a）為液滴體積為5μL，從初始時(shí)刻至穩(wěn)態(tài)過程的速度-壓力分布變化，由圖可知，在零時(shí)刻的液滴內(nèi)部等壓線分布和氣液界面上的速度分布（帶箭頭細(xì)實(shí)線）如圖4（a-I）所示，壓力分布呈現(xiàn)為不均勻的同心圓狀分布，在不同高度上，對(duì)稱軸處的壓力較小，氣液界面處壓力較大；在氣液界面上的頂點(diǎn)處為壓力較小的奇點(diǎn)，液體將向?qū)ΨQ軸和頂點(diǎn)下方流動(dòng)；圖4（a-II）和圖4（a-III）分別為 t=0.005 s和 t=0.5 s時(shí)對(duì)應(yīng)的速度-壓力分布，可見等壓線逐漸由同心圓狀分布演化為相對(duì)均勻的層狀分布，且頂點(diǎn)處的壓力較高，靠近基底處壓力較低。當(dāng)t=0.5 s時(shí)液滴內(nèi)部速度基本為零，從而得到相對(duì)穩(wěn)定的面形。同時(shí)，由圖 4（a-I、II、III）中表示液滴氣液界面上流動(dòng)速度大小與方向的帶箭頭細(xì)實(shí)線同樣可以看出，液滴在對(duì)稱軸附近液體向下的流速較大，靠近基底部分液體水平流向?qū)ΨQ軸方向的流速較?。磺以诔跏紩r(shí)刻圖4（a-I）具有較大流速，其后逐漸減小圖4（a-II）直至等到穩(wěn)態(tài)圖 4（a-III）。

圖4 不同體積垂懸液滴面形演化的速度-壓力分布Fig.4 A two-phase flow model for liquid drop surface evolution

圖4 （b）為體積力較大（V=15 μL）時(shí)倒置液滴的從初始時(shí)刻至穩(wěn)態(tài)過程變化的速度-壓力分布。其速度和壓力的變化趨勢與圖4（a）所示體積為5μL垂懸液滴相同；但是，較大體積液滴（圖4（b-I）相對(duì)較小體積液滴（圖4（a-I）具有較大的流動(dòng)速度，即表明在相同時(shí)間內(nèi)，體積力較大時(shí)（圖4（b-I）流動(dòng)越快，如圖 4（b-II）相對(duì)圖 4（a-II）呈現(xiàn)的流速較小。

同樣利用MATLAB分別對(duì)圖4（a）（b）所示垂懸液滴穩(wěn)態(tài)面形輪廓（圖4III）擬合可以得到相應(yīng)的面形參數(shù)：較小體積的圖4（a）的非球面系數(shù)K=-0.55，底徑 D=3.77 mm，矢高 h=0.833 mm；較大體積的圖4（b）的非球面系數(shù)K=-1.03，底徑D=5.40 mm，矢高h(yuǎn)=1.25 mm。

由不同體積倒置液滴穩(wěn)態(tài)面形輪廓擬合結(jié)果可知，液滴體積力使得液滴向非球面系數(shù)K＜0的凸橢球演變，且體積越大非球面系數(shù)K也越小，其面形從初始時(shí)刻的球面向凸橢球面、拋物面（K=-1），甚至是向雙曲面方向拉伸。

3 微小透鏡制作實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置與制作方法

液滴法制作微小透鏡實(shí)驗(yàn)的主要流程為：基底制備，液滴的按需滴定和紫外光原位固化?；字苽涫菍?duì)基底材料表面的清洗得到具有一定親水性的表面（使得光固膠液滴在其上具有小于90°的接觸角）；不同體積的液滴可利用移液器來實(shí)現(xiàn)按需滴定；在液滴形態(tài)穩(wěn)定后，利用紫外光的均勻曝光固化即可得到固態(tài)的非球面微透鏡。再利用CCD即可得到微小透鏡面形輪廓。實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置原理圖Fig.5 Schematic diagram of experimental setup

實(shí)驗(yàn)所用的紫外光固化膠為臺(tái)灣德淵公司的1551M2 膠，黏度為 0.45 Pa·s，密度為 1050 kg/m3，表面張力γ=0.032 N/m，折射率n=1.48。具有瞬時(shí)固化，固化收縮率小，價(jià)格低廉，流動(dòng)性好等優(yōu)點(diǎn)。所采用的基底為普通硅酸鹽玻璃，對(duì)未經(jīng)固化1551 M2光固膠在其上的接觸角，利用θ/2法進(jìn)行測量，其接觸角θ=45°。液滴定量滴定由活塞式單道可調(diào)移液器（Dragonlab公司，7855型）完成，其量程范圍為0.5～10μL，最小滴定量0.1μL，一致性誤差小于2%。

液滴輪廓測量模塊由紅光LED背光源，連續(xù)可調(diào)焦物鏡（1×～7×）和CCD組成，位于三維移動(dòng)平臺(tái)上的液滴輪廓在CCD上清晰成像，經(jīng)圖像采集卡傳輸給計(jì)算機(jī)，便可利用MATLAB進(jìn)行圖像處理來得到實(shí)際固化后液滴的形貌。

3.2 微小透鏡制作與輪廓測量

在利用前文的COMSOL層流兩相流模型計(jì)算的基礎(chǔ)上，選取合適的液滴體積：正置液滴時(shí)不出現(xiàn)頂部水平的面形（如圖1（b）的輪廓3），倒置時(shí)不出現(xiàn)如圖1（c）輪廓3所示的類似滴珠的面形。并利用搭建的實(shí)驗(yàn)裝置來進(jìn)行不同體積的微小透鏡的制作實(shí)驗(yàn)和測量，多組實(shí)現(xiàn)的部分結(jié)果如圖6所示，其中圖6（a）為正置液滴不同體積光固膠液滴固化后透鏡的輪廓，液滴體積分別是 V=1.65μL；2.35 μL；4.26 μL；6.80μL；圖6（b）為不同體積下倒置液滴的非球面透鏡輪廓圖，液滴體積分別為V=1.50 μL；2.47 μL；4.66 μL；7.70 μL。 實(shí)驗(yàn)中雖然使用具有較高精度的移液器，但是由于光刻膠粘度和操作等，故上述所列的液滴體積為滴定后利用CCD成像擬合積分計(jì)算所得到的實(shí)際滴定的液滴體積。進(jìn)一步可利用MATLAB對(duì)圖6中微小透鏡圖像進(jìn)行輪廓提取等處理，可得到透鏡的面形輪廓數(shù)據(jù)。再利用描述透鏡的圓錐曲線公式（2）對(duì)液滴輪廓進(jìn)行擬合，即可以獲取液滴透鏡的底徑和矢高，以及面形輪廓的非球面系數(shù)。

圖6 正置和倒置液滴制作的透鏡輪廓圖Fig.6 The droplet profiles on silicate glass substrates

圖6 所示的正置液滴和倒置液滴固化所得的透鏡非球面系數(shù)K與體積V之間的關(guān)系分別如圖7（a）（b）所示，圖中散點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)值，實(shí)線為相同實(shí)驗(yàn)條件下，包含實(shí)驗(yàn)體積在內(nèi)的一定體積區(qū)間下的COMSOL理論計(jì)算擬合所得的結(jié)果。由圖7可知，計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有很好的一致性；圖7（a）所示的正置液滴，體積較小時(shí)其面型接近球面，當(dāng)體積增大液滴快速偏離球面，體積V=6.80μL時(shí)，非球面系數(shù)K=0.9；對(duì)于倒置液滴，隨著體積的增大，K值向負(fù)方向變化，變化相對(duì)稍緩慢（如V=7.70μL時(shí)，K=-0.7），但總體上仍是向數(shù)值較大的負(fù)方向變化。其主要是因?yàn)檎靡旱伪砻鎻埩Φ暮狭εc體積力方向相同，使得液滴變扁平化的速度更快，而倒置液滴的體積力與表面張力的合力方向相反，表面張力削弱了體積力對(duì)液滴向下“拉長”的作用。

圖7 液滴透鏡的非球面系數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比圖Fig.7 The comparison diagram between the theoretical and experimental data of the conic coefficient of the droplet lenses

3.3 透鏡參數(shù)及光學(xué)性能

基于圖6所示不同體積實(shí)驗(yàn)所得平凸型非球面微小透鏡，其底徑和對(duì)應(yīng)的焦距分別如圖8（a）、（b）所示，圖中散點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)測量值，實(shí)線和虛線為計(jì)算擬合后所得的結(jié)果；虛線為正置液滴對(duì)應(yīng)透鏡的參數(shù)，實(shí)線為倒置液滴所得透鏡的參數(shù)。總體上，測量值與理論值具有較好的一致性變化趨勢，隨著體積的增大，透鏡的底徑增大，但是倒置液滴所得透鏡底徑的增大相對(duì)較為緩慢，且體積較大時(shí)較為顯著，其是在體積不變的情況下，較大體積力的作用，液滴被向下“拉伸”，矢高增加，減小了底徑隨體積增加的變化量。對(duì)于圖8（b）的焦距與體積的關(guān)系，由于正置液滴在較大體積力作用下，被“壓扁”時(shí)的頂點(diǎn)曲率半徑的增大顯著。而倒置液滴所得透鏡的焦距，由于液滴被較大體積力向下“拉伸”使得頂點(diǎn)曲率半徑（f=R/（n-1））顯著減??；但是，由于液滴在表面張力作用下，其面形為球面時(shí)，由球缺體積公式： （V=R3（2-3cosθ+cos3θ）） 知，其頂點(diǎn)曲率半徑與體積關(guān)系為R∝V1/3，如圖中點(diǎn)劃線所示的球面輪廓焦距-體積曲線，隨體積的增大，焦距f增大的速度逐漸減小。對(duì)于由表面張力和體積力共同作用的倒置液滴，雖然體積力向下“拉伸”使頂點(diǎn)曲率半徑減小，但體積與焦距的關(guān)系總體上仍表現(xiàn)出平緩增長的趨勢。

圖8 液滴透鏡的參數(shù)與體積的關(guān)系Fig.8 The relationship between the parameters and the volumes of the droplet lenses

圖9 （a）、（b）為體積較小實(shí)驗(yàn)所得透鏡的實(shí)物圖和聚焦光斑測量圖，圖中正置和倒置液滴的i、ii所示透鏡分別對(duì)應(yīng)圖6所示的I、II透鏡輪廓；圖9（b）為對(duì)應(yīng)的聚焦光斑，正置液滴透鏡i、ii的聚焦光斑RMS值分別為11.2μm、9.51μm；倒置液滴透鏡i、ii的聚焦光斑RMS值分別為7.2μm、5.2μm；在相近體積下，倒置液滴透鏡的聚焦光斑RMS值分別下降了36%和45%。表明倒置液滴所得的非球面系數(shù)K＜0的凸橢圓面形透鏡具有更小的球差。

圖10（a）、（b）為體積較大時(shí)，實(shí)驗(yàn)所得液滴透鏡的實(shí)物圖和成像測量圖，圖中iii、iv分別對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)輪廓測量圖6中III、IV號(hào)液滴透鏡輪廓。由圖（b）的成像圖可見，倒置液滴所得非球面透鏡的成像具有更為清晰的邊緣，其成像效果明顯優(yōu)于相近體積下正置液滴的成像效果（如圖10（b-I））。從而顯示出倒置液滴所得K＜0的非球面透鏡具有更好的綜合光學(xué)性能。

圖9 液滴透鏡及聚焦光斑Fig.9 Droplet lenses and the focal spots

圖10 液滴透鏡及成像圖Fig.10 Droplet lenses and the imaging

4 結(jié) 論

本文針對(duì)利用液滴法制作非球面微小透鏡，基于流體動(dòng)力學(xué)的液氣兩相流理論，并利用COMSOL建立層流液滴流動(dòng)模型，計(jì)算描述了固體水平基底上的固著液滴和垂懸液滴在表面力和體積力共同作用下的液滴流動(dòng)速度和壓力分布，給出了不同體積力作用下正置和倒置液滴的面形演化趨勢；結(jié)果表明，與正置液滴相比，倒置液滴法可以用來制作有利于提高透鏡光學(xué)性能的、非球面系數(shù)K值均為負(fù)值的非球面微小透鏡；并從仿真與實(shí)驗(yàn)兩方面考察了接觸角一定時(shí)，不同體積力對(duì)液滴面形輪廓幾何參數(shù)的影響，結(jié)果具有很好的一致性。結(jié)果表明，正置液滴得到的是K＞0的扁橢球面形透鏡，倒置液滴的非球面系數(shù)K＜0，且體積越大其數(shù)值越小，并具有更小的底徑和焦距；進(jìn)一步的透鏡成像實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相近體積下利用倒置液滴法制作的微小透鏡比正置液滴透鏡具有更好的聚焦性能與成像能力，在體積為1.6μL和2.4μL左右時(shí)，其聚焦光斑的RMS值分別減小了36%和45%，體積較大時(shí)成像也具有更為清晰的邊緣和成像質(zhì)量。相關(guān)工作表明調(diào)節(jié)體積力可以得到有利于獲得具有較好光學(xué)性能的非球面透鏡，也為進(jìn)一步優(yōu)化工藝，利用更大體積力的作用來制作非球面系數(shù)K＜-1的雙曲面，甚至是K=-n2的理想雙曲面面形的非球面透鏡的制作提供了一定的基礎(chǔ)。