楊 上，周召發(fā)，劉先一

（火箭軍工程大學兵器發(fā)射理論與技術國家重點學科實驗室，陜西西安710025）

1 引 言

數字天頂儀是一種高精度天文定位儀器，在大地天文測量領域得到廣泛應用［1-4］。星圖識別為數字天頂儀定位提供起算數據，傳統(tǒng)數字天頂儀的星圖識別是采用三角形星圖識別與坐標轉換結合方法對旋轉拍攝的16幅星圖進行識別［5］。經大量實驗發(fā)現(xiàn)，數字天頂儀在一次定位循環(huán)拍攝的16幅星圖中存在著大量的共有星，即同一恒星會成像在多幅星圖中的情況，若對拍攝的16幅星圖上所有星點都單獨進行識別，增加了星圖識別的冗余量，降低了星圖識別的效率，進而增加了數字天頂儀的定位所需的時間。對此本文提出了一種基于共有星的快速星圖識別方法。該方法的核心思想首先對一個定位循環(huán)中在位置9和位置10拍攝的星圖單獨進行三角形星圖識別，其次建立星點歸算模型，找出剩余位置的星圖與已識別星圖間的共有星，最后對剩余星圖上新增星單獨進行識別，以此提高星圖識別的速度。

本文首先介紹了單幅星圖的三角形識別原理，其次通過構造輔助坐標系建立了傾斜修正模型，消除精調平狀態(tài)下的小傾角，再在此基礎上建立了星點歸算模型，找出星圖間的共有星，最后通過實驗數據驗證該星圖識別方法的合理性。

2 數字天頂儀星圖識別原理

數字天頂儀進行星圖識別的導航星表是依巴谷星表，依據導航星表可得到恒星的赤經赤緯信息，再經視位置計算和時間補償可得到恒星的天文經度α、天文緯度δ，則恒星的天球切平面坐標（ξ，η）可按下式計算：

其中，（α0，δ0）為GPS提供的概略天文經緯度。

恒星的理論CCD像點坐標為：

恒星的理論像距可按下式計算：

理想情況下，CCD平面為水平面，恒星星光通過數字天頂儀的焦距成像在CCD平面上，假設像點坐標為 （xm，ym） ，（xn，yn） ，則恒星像點像距按下式計算：

若恒星理論像點組成的三角形與恒星像點組成的三角形滿足下式則匹配成功：

其中，ε為測量不確定度。

若對數字天頂儀拍攝的星圖都采用三角形星圖識別，則計算量較大，原因在于觀測三角形與導航三角形容量較大［6］，降低了數字天頂儀星圖識別效率，對此數字天頂儀采用三角形識別與坐標轉換相結合的方式進行星圖識別，識別過程如下：

（1）采用三角形星圖識別原理識別出6顆亮星。

（2）利用已識別出亮星的理論像點坐標與CCD像點坐標，建立仿射變換模型［7］，如下式：

其中，仿射變換模型的參數可由最小二乘法計算得到。

（3）計算數字天頂儀視場內恒星的理論像點坐標。

（4）利用式（6）計算出轉換后的恒星像點坐標（x′i，yi′） 。

（5）將轉換后的像點坐標與CCD像點坐標進行匹配，若滿足下式則匹配成功：

3 傾斜修正

傳統(tǒng)的數字天頂儀星圖識別是在精密整平狀態(tài)下進行的，認為CCD平面是水平面，但即使在精調平狀態(tài)下其CCD平面與水平面仍存在±10″內的小傾角［8］，由下文第4節(jié)可知，建立的星點歸算模型與CCD北向基準坐標有關，而北向基準坐標系的建立與水平面為基準［2］，為此需要修正實際拍攝狀態(tài)下存在的小傾角。

實際拍攝狀態(tài)下，由文獻［9］和文獻［10］可知，經過較標的傾角儀敏感軸組成的平面與CCD平面平行，故可通過傾角儀測出CCD圖像坐標系兩坐標軸與水平面之間的夾角，假設CCD圖像坐標系兩坐標軸與水平狀面之間的夾角θ1，θ2，可按下式計算得到：

式中，m，n為傾角儀的輸出值；φ為傾角儀m軸與CCD圖像坐標系x軸之間的夾角。

如圖1所示，實線框為拍攝位置的水平面，坐標系O-xTyTzT為實際拍攝狀態(tài)下CCD圖像坐標系，其中CCD圖像坐標系的坐標原點在CCD敏感器的中心，兩坐標軸分別與CCD敏感器的兩條邊平行。OC，OD為OxT軸與OyT軸在水平面上的投影，OC，OD不一定垂直，則∠COxT=θ1，∠DOyT=θ2，AB為實際拍攝狀態(tài)下的CCD平面與水平面之間的交線。

圖1 CCD傾斜修正Fig.1 CCD tilt correct

由二面角的相關定理，可得實際拍攝狀態(tài)下的CCD平面與水平面之間構成的二面角θ為：

如圖1所示，構造輔助坐標系O-xFyFzF，其中OxF軸在實際拍攝狀態(tài)下的CCD平面內且OxF⊥AB，OyF軸沿AB方向，OzF軸與OxF軸和OyF軸符合右手定則，OxS軸為 OxF軸的投影，則∠xFOxS=θ。設∠xFOxT=α，由二面角的相關定理可得：

根據方向余弦坐標變換原理可得存在方向余弦矩陣C1，可將坐標系O-xTyTzT中的星點坐標轉換到坐標系O-xFyFzF中，即：

以水平面為基準，建立水平狀態(tài)下的坐標系O-xSySzS，其中OxS軸為OxF軸的投影，OyS軸與OyF軸重合，OzS軸與OxS軸和OyS軸滿足右手定則，則輔助坐標系O-xFyFzF可繞OyF旋轉θ角與坐標系O-xSySzS重合，則在輔助坐標系O-xFyFzF中，存在方向矢量 （xF，yF， -f） 滿足下式：

恒星位于無窮遠處，發(fā)出的光為平行光，假設恒星成像在水平坐標系中的星點坐標為（xS，yS，0），則存在方向矢量（xS，yS，-f）滿足下式：

化簡上式可得：

綜上所述，通過構造輔助坐標系，依據傾角儀輸出值和坐標變換原理，可得到恒星成像在水平面上的恒星像點坐標，并將式（14）稱之為CCD像點修正模型。

4 星點歸算模型

如圖2所示，數字天頂儀旋轉拍攝星圖過程中，數字天頂儀在不同拍攝位置的視場存在重合，同一顆恒星可能成像在不同拍攝位置的CCD敏感器上。并且在拍攝過程中，CCD平面既有地球自轉引起的轉動，也有數字天頂儀自身的旋轉引起的轉動，為建立星點歸算模型，需要考慮這兩種轉動引起的像點CCD坐標的變化。

首先考慮地球自轉引起CCD平面的轉動，以水平面為基準建立CCD北向基準坐標系O-xNyNzN，其中OzN軸過CCD敏感器中心并與垂直軸重合，OxN軸與緯線圈相切，方向指向東，OyN軸與經線圈相切，方向指向北。對于兩個拍攝位置，假設數字天頂儀從前一拍攝位置旋轉到下一拍攝位置，CCD北向基準坐標系由 O-xNyNzN變?yōu)?O-x′Ny′Nz′N，如圖2所示。

初值時刻，水平狀態(tài)下CCD圖像坐標系O-xsyszs與CCD北向基準坐標系O-xNyNzN之間存在方位角A，根據坐標轉換原理可得：

圖2 CCD北向基準坐標系Fig.2 CCD north reference coordinate

其反變換為：

由第2節(jié)可知，在對單幅星圖進行識別過程中建立了放射變換模型，其方位角A可由下式得到［8］：

在坐標系 O-x′Ny′Nz′N中存在與地球自轉軸平行的方向矢量 u=（0，cosδ，sinδ） ，可使坐標系 O-xNyNzN繞旋轉地軸旋轉地球自轉角θ后與坐標系O-x′Ny′Nz′N平行，則存在四元數 Q：

式中，θ=wret，wre為地球自轉角速度。取wre=7.292115×10-5rad/s；t為拍攝任意兩幅星圖間的時間間隔，可由天頂儀測得輸出；δ為測站點的天文緯度。

對于同一顆恒星，假設恒星成像在下一位置的CCD北向基準坐標系中的坐標為 （x′N，y′N，0） ，由于位于無窮遠的恒星發(fā)出的星光可認為是平行光，則在下一位置的CCD北向坐標系O-x′Ny′Nz′N中，像點與焦點構成的方向矢量 r=（x′N，y′N， -f）滿足：

由上式可得恒星成像在下一位置CCD北向基準坐標系上的坐標為：

坐標變換矩陣中包含未知數δ，由于位置9與位置10拍攝的星圖已經單獨識別出來，則可得到兩幅星圖上的共有星，故δ角可通過將位置9與位置10之間共有星的CCD圖像坐標代入公式（21）求得。

聯(lián)立公式（16）和公式（22），可得：

其次考慮數字天頂儀鏡筒的旋轉，假設數字天頂儀旋轉角為φ，則：

式（24）稱之為星點歸算模型。

綜上所述，為尋找位置1至位置8拍攝的星圖與位置9拍攝星圖之間的共有星，以及位置11至位置16拍攝的星圖與位置10拍攝的星圖之間的共有星，可按如下步驟進行：

（1）將數字天頂儀拍攝的16幅星圖按式（11）計算得到輔助坐標系下的CCD圖像坐標（xF，yF）。

（2）按式算出各位置在水平狀態(tài)下的CCD圖像坐標 （xS，yS） 。

（3）結合位置9與位置10得到的星圖上的像點CCD坐標按式（24）進行計算，得到轉換后的CCD圖像坐標 （x′S，y′S） 。

（4）若滿足下式，則表示位置9與位置10的星圖與其他位置星圖間存在共有星。

式中，ε為給定的閾值（一般取3pixel左右）。

5 實驗結果分析

2017年11月，利用數字天頂儀采用在西安某地拍攝了大量星圖，實驗過程中數字天頂儀的焦距為（600±4）mm，數字天頂采用美國FLI公司生產的ML16803數碼相機，CCD敏感器為Kodak公司生產的KAF-16803型面陣CCD。為實現(xiàn)對星圖的識別，首先將依巴谷星表中恒星的位置信息轉換拍攝時刻的視位置，在此基礎上對星圖進行識別，由于篇幅的限制，這里對一個定位循環(huán)的星圖數據進行分析。其中表1為位置9星圖識別的結果，表2為位置1星圖識別的結果。

由表1與表2的星圖識別結果可知，兩幅星圖之間的共有星為11顆，超過星圖識別數量的50%，由此可見星圖間存在著大量的共有星。

結合公式（24），將位置10星圖上的星點坐標歸算到位置16上拍攝的星圖上，為直觀表示出兩幅星圖上的共有星，可得到如圖3所示。

表1 位置9星圖識別結果Tab.1 Identification results of star map 9

表2 位置1星圖識別結果Tab.2 Identification results of star map 1

圖3 共有星Fig.3 Common stars

由圖3分析可知，位置10與位置16拍攝的星圖上存在14顆共有星，且共有星的分布較為集中。其中將位置10星圖上的共有星按式轉換后，與位置16上共有星的CCD圖像坐標相比，其中X坐標最大相差2.782 pixel，Y坐標最大相差2.629 pixel，X坐標與Y坐標最大差值均不超過3 pixel，由此可知由式（24）構造的坐標歸算模型滿足尋找星圖間共有星的需求。

為進一步說明星圖間存在著共有星，再任意選取一個定位循環(huán)拍攝的星圖進行分析，將位置9星圖上星點坐標歸算到順時針拍攝的8幅星圖上來尋找與星圖1至星圖8與星圖9的共有星，將位置10星圖上的星點歸算到逆時針拍攝的6幅星圖上來尋找與星圖11至星圖16之間的共有星，如表4所示。

表4 共有星的數量Tab.4 The number of common star

由表4可知，與星圖8之間的共有星最少15顆，與星圖10之間的共有星最少為14顆。在實驗過程中，利用數字天頂儀拍攝的單幅星圖識別的恒星數量為25顆左右，通過坐標歸算模型尋找出星圖間的共有星，再對剩余的新增星單獨進行識別，將大大提高星圖識別的準確性。例如，假設一幅星圖上有n顆觀測星點，則可以組成C3n個觀測三角形，有n顆導航星與其匹配，則可以組成C3n個導航三角形，并且假設每一個觀測三角形需要與每次匹配后剩余的所有導航三角形匹配一次，那么對星圖上所有的星點組成的觀測三角形進行匹配，需要進行次匹配。若采用星點歸算模型找出共有星后，假設存在j顆共有星，則對剩余的（n-j）顆新增星進行識別，則需要進行次匹配。在本次實驗定位循環(huán)中，位置16提取出21顆觀測星，與位置10之間存在14顆共有星，若對所有星點單獨進行識別需要構建1330個觀測三角形，并且需進行883785次匹配；若提取出14顆共有星后，只需要構建35個觀測三角形，只進行45920次匹配，相比于原來，匹配次數大大減少，由此可以看出星圖識別的速度得到較大的提高。

6 結 論

通過建立星點歸算模型，能夠依據位置9與位置10拍攝星圖上星點信息找出其他星圖上的共有星，單獨對其他星圖的新增星進行識別，將大大減少匹配三角形的個數和匹配的次數，提高星圖識別的速度。