(河南理工大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院,河南焦作454000)

1971年,美國加州大學(xué)伯克利分校的蔡少棠教授首次提出憶阻器的概念[1]。2008年惠普實驗室的Strukov等[2]首次成功設(shè)計出憶阻器的物理模型。憶阻器不僅在理論模型方面[3-6],還在混沌電路、模擬電路、圖像處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等應(yīng)用方面[7-9]都有著廣泛的研究成果。

雜質(zhì)漂移機理[2]在研究憶阻器導(dǎo)電過程及特性方面具有代表性,隨之線性離子遷移憶阻器模型[2]也被首次提出,但是并沒有很好地滿足憶阻器的真實特性。窗函數(shù)對分析憶阻器的內(nèi)部離子真實漂移規(guī)律起重要作用。為了更好地呈現(xiàn)其非線性效果,學(xué)者們在憶阻器數(shù)學(xué)模型中引入了窗函數(shù)。Joglekar等[10]、Yu等[11]窗函數(shù)盡管其大部分優(yōu)勢被保留下來,但存在 “邊界鎖死”問題,即當(dāng)內(nèi)部分界面運動到任意一端電極時,無論外部任何激勵都無法改變內(nèi)部離子的遷移。一旦 “邊界鎖死”發(fā)生,憶阻器的阻值就不再發(fā)生改變。Biolek等[12]模型因在窗函數(shù)中考慮到電流因素解決了 “邊界鎖死”問題,但該窗函數(shù)中的參數(shù)因為只能取正整數(shù)導(dǎo)致其可調(diào)性受限。Prodromakis等[13]解決了窗函數(shù)可調(diào)性受限問題,但忽略了 “邊界鎖死”問題。

為了解決上述窗函數(shù)各自存在的問題,本文提出了一種改進的窗函數(shù)模型,基于MATLAB軟件工具,通過改變相關(guān)參數(shù),分析并對比傳統(tǒng)窗函數(shù)下憶阻器模型的滯回特性,不僅解決了 “邊界鎖死”問題,還具有可調(diào)性和高靈活性,同時還分析了不同頻率下滯回特性曲線的變化規(guī)律。本文的研究為憶阻器的制造及應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。

1 線性雜質(zhì)漂移憶阻器模型

1.1 憶阻器數(shù)學(xué)模型

圖1為HP憶阻器物理模型。該模型由兩端金屬鉑片電極Pt夾雜著兩層鈦氧化物薄膜組成,假設(shè)憶阻器模型總尺寸長度為D,其中摻雜了氧空缺的TiO2-x薄膜厚度為w,對外呈導(dǎo)電狀態(tài);另一層TiO2薄膜厚度則為D-w,對外呈絕緣狀態(tài)。

圖1 HP憶阻器物理模型Fig.1 HP memristor physical model

憶阻器的瞬時阻抗數(shù)學(xué)模型表達(dá)式:

式中:x表示HP憶阻器的內(nèi)部狀態(tài)變量,[0,1];Rm表示HP憶阻器的總阻值;Roff和Ron分別表示w=0或者w=D時憶阻值的極限值。

偏置電壓v(t)和流經(jīng)憶阻器的電流i(t),與瞬時阻抗Rm之間滿足歐姆定律:

HP實驗室給出了分界面在雜質(zhì)線性漂移情況下的移動規(guī)律[2]:

式中:μv表示平均離子漂移速率,是反映雜質(zhì)在導(dǎo)電區(qū)域中移動能力的一個物理量。

1.2 雜質(zhì)漂移機理(Dopant Drift Mechanism)

雜質(zhì)漂移機理是在憶阻器模型摻雜區(qū)中氧空缺形成和遷移的基礎(chǔ)上建立的。

圖2 外加電場下?lián)诫s區(qū)和非摻雜區(qū)雜質(zhì)遷移圖Fig.2 Doping and undoped impurity migration graph under applied electric field

當(dāng)對憶阻器兩端施加偏置電壓v(t)時,流經(jīng)其內(nèi)部的電流為i(t)。在未摻雜層,氧化鈦分子中每一個鈦原子配有兩個氧原子,并且它們之間用穩(wěn)定的離子鍵連接,因此該氧化鈦中的氧原子很難隨意地移開。故未摻雜層被看作是對外絕緣而且沒有電流流過。但在摻雜層,由于缺少一定比例的氧原子而形成氧空位,導(dǎo)致離子鍵的不穩(wěn)定性,氧原子很容易在相鄰的鈦原子之間移動。氧空缺帶有正電荷,因為同種電荷相互排斥,所以向外加電源的負(fù)極性端移動,電荷的定向運動形成電流。部分氧空缺進入或離開非摻雜區(qū),從而改變了摻雜區(qū)和非摻雜區(qū)的厚度,憶阻器的瞬時阻抗也隨之發(fā)生改變。

1.3 線性雜質(zhì)漂移模型

圖1中,線性雜質(zhì)漂移模型的分界面在內(nèi)部整個區(qū)域內(nèi)是以勻速來回移動的,即狀態(tài)變量x的勻速變化反映了內(nèi)部離子線性運動。圖3是基于1.1中的憶阻器數(shù)學(xué)模型表達(dá)式(1)～(3),搭建憶阻器線性漂移模型,通過MATLAB軟件仿真出來的伏安特性曲線圖。這里,憶阻參數(shù)設(shè)置:Ron=100 Ω,Roff=16 kΩ,憶阻器的電阻初始值R0=11 kΩ,ΔR=Roff-Ron,數(shù)學(xué)模型的初始值設(shè)為x0,x0=(Roff-R0)/ΔR=0.3145。

圖3 線性憶阻器模型下的I-V特性曲線圖Fig.3 TheI-V characteristic curve for linear memristor model

由于HP憶阻器是納米級器件,實際應(yīng)用中,在很小的壓差下就會產(chǎn)生強大的電場,致使離子漂移受限,特別是靠近兩端電極時表現(xiàn)更明顯[14],這里將這種現(xiàn)象稱為邊界效應(yīng);另一方面,當(dāng)分界面到達(dá)任一端電極時,會處于停滯狀態(tài),憶阻器的阻值將不再發(fā)生改變,這就是所謂的 “邊界鎖死”現(xiàn)象。

2 不同窗函數(shù)下的憶阻器特性分析

為了更加準(zhǔn)確地模擬HP憶阻器內(nèi)部離子的真實遷移情況,在公式(3)中引入了窗函數(shù)f(x),即:

2.1 Joglekar窗函數(shù)

憶阻器模型中常用的Joglekar窗函數(shù)定義[10]:

式中:x∈[0,1],p取正整數(shù)。從上述公式中可知,當(dāng)x=0和x=1時,f(x)=0,則dx/dt=0,即當(dāng)分界面到任一端電極時,任何外部激勵都無法改變這種停滯狀態(tài),憶阻值將不再發(fā)生改變,因此,該窗函數(shù)下的憶阻器模型存在 “邊界鎖死”現(xiàn)象。

(1)參數(shù)p值的影響

在外加電壓幅值U=1.2 V,頻率f=1 Hz下,分別取不同的p值,對憶阻器的伏安特性進行分析,結(jié)果如圖4所示。由圖4得知,隨著p值的增大,I-V特性曲線處于重疊狀態(tài)。p值對特性曲線幾乎沒有影響。

圖4 不同p值下I-V曲線圖(U=1.2 V,f=1 Hz)Fig.4 TheI-V curves at differentp(U=1.2 V,f=1 Hz)

(2)外加電壓的影響

圖5所示,在f=1 Hz,p=2條件下,隨著電壓幅值的增大,I-V滯回曲線包圍的面積也隨之增大。由于該窗函數(shù)模型存在 “邊界鎖死”問題,在x∈[0,1]區(qū)域內(nèi),當(dāng)電壓U→∞時,I-V曲線趨于不光滑,不能很好地實現(xiàn)憶阻器的非線性漂移。

圖5 不同電壓幅值下I-V曲線圖(f=1 Hz,p=2)Fig.5 TheI-V curves at different voltage(f=1 Hz,p=2)

2.2 Biolek 窗函數(shù)

為了解決 “邊界鎖死”問題,Biolek窗函數(shù)將電流作為一個重要的因素考慮在內(nèi),其定義[12]:

式中:x∈[0,1],p取正整數(shù),stp(·)為窗函數(shù)中關(guān)于電流i的符號函數(shù):。

該窗函數(shù)中考慮到了電流因素,使得憶阻值變化不會受 “邊界鎖死”的影響,即憶阻值會隨著電荷的運動情況做出相應(yīng)的變化。

但是參數(shù)p與Joglekar窗函數(shù)中的參數(shù)取值一樣,只能取正整數(shù),取值范圍受限;當(dāng)x∈[0,1]時,該窗函數(shù)的最大值fmax恒等于1,因此不能保證該窗函數(shù)的可調(diào)性。

(1)參數(shù)p值的影響

對比Joglekar窗函數(shù)下相應(yīng)的I-V特性曲線圖4和圖5,相同電壓幅值和頻率情況下,圖6中I-V曲線隨著p值的增大顯示出明顯的滯回特性。

圖6 不同p值下I-V曲線圖(U=1.2 V,f=1 Hz)Fig.6 TheI-V curves at differentp(U=1.2 V,f=1 Hz)

(2)外加電壓的影響

圖7中,在f=1 Hz,p=2條件下,隨著電壓幅值的增大,I-V滯回特性曲線包圍的面積也隨之增大,并且有明顯的非線性。

沒有控制參數(shù)致使該窗函數(shù)的可調(diào)性受限,當(dāng)電壓增大到一定值時(U=6 V),憶阻器便失去了滯回特性,這是因為該憶阻器模型中內(nèi)部離子漂移運動在此電場作用下出現(xiàn)了畸形導(dǎo)致憶阻器被擊穿,如圖8所示。

2.3 Prodromakis窗函數(shù)

為了更好地突顯內(nèi)部雜質(zhì)遷移的非線性和函數(shù)可調(diào)性,Prodromakis窗函數(shù)給出了很好的解決方法,該窗函數(shù)中因含有控制參數(shù)j,可控制該窗函數(shù)的大小,即分別在f(x)＜1和f(x)≥1范圍內(nèi)變化,Prodromakis窗函數(shù)定義[13]:

圖8 電壓U=6 V下I-V曲線圖(f=1 Hz,p=2)Fig.8 TheI-V curve atU=6 V(f=1 Hz,p=2)

式中:x∈[0,1],p為正整數(shù)。不考慮控制參數(shù)j的情況下,通過選擇合適的p值,該窗函數(shù)的最大值fmax在區(qū)域(0,1)內(nèi)變化,而Biolek窗函數(shù)的最大值fmax恒為1,顯然保證了窗函數(shù)的可調(diào)性。

(1)參數(shù)p和j的影響

圖9是在U=2 V,f=1 Hz,j=1條件下,分別取不同的p值仿真出來的。隨著p值的增大,I-V滯回特性曲線包圍的面積增大,選取合適的p值,會顯示明顯的非線性,當(dāng)p值趨于無窮大時,將與理想的線性漂移模型很接近。

圖9 不同p值下I-V曲線圖(U=2 V,f=1 Hz,j=1)Fig.9 TheI-V curves at differentp(U=2 V,f=1 Hz,j=1)

圖10,在U=2 V,f=1 Hz,p=2條件下,隨著j值的增大,I-V滯回特性曲線包圍的面積增大,其非線性越明顯。最重要的是,j值的調(diào)節(jié)使得f(x)不僅僅只在f(x)＜1范圍內(nèi)變化,所以運用比較靈活。并且發(fā)現(xiàn)j值的變化與外加電壓幅值變化對憶阻器伏安特性影響規(guī)律基本一致。

圖10 不同j值下I-V曲線圖(U=2 V,f=1 Hz,p=2)Fig.10 TheI-V curves at differentj(U=2 V,f=1 Hz,p=2)

(2)外加電壓的影響

圖11,在U=6 V左右,斜 ‘8’字滯回特性曲線并沒有變形,曲線也很光滑。保持I-V曲線不失真情況下,相比前兩個窗函數(shù)下的對應(yīng)曲線,該窗函數(shù)下憶阻器模型的外加電壓幅值范圍比較大。

選擇該窗函數(shù)既可以更好地建立非線性憶阻器模型,調(diào)節(jié)合適的參數(shù)還可以創(chuàng)建線性模型。但同Joglekar窗函數(shù)模型一樣存在 “邊界鎖死”問題。

圖11 不同電壓值下I-V曲線圖(f=1 Hz,j=1,p=2)Fig.11 TheI-V curves at different voltage(f=1 Hz,j=1,p=2)

2.4 一種改進的窗函數(shù)

綜上三種傳統(tǒng)窗函數(shù)下的憶阻器伏安特性分析,本文提出一種改進的窗函數(shù)模型,該窗函數(shù)是在Biolek窗函數(shù)的基礎(chǔ)上加上了控制參數(shù)j,不僅避免了 “邊界鎖死”,并且還具有可調(diào)性,其定義如下:

式中:x∈[0,1],p取正整數(shù),stp(·)為該窗函數(shù)中關(guān)于電流i的符號函數(shù):。

該窗函數(shù)仿真曲線如圖12所示(j=1)。

圖12 不同p值下的改進窗函數(shù)曲線圖形(j=1)Fig.12 The improved window function curves at differentp(j=1)

(1)參數(shù)p和j的影響

圖13與Biolek窗函數(shù)下的憶阻器模型仿真圖6對比,在j=1的情況下,參數(shù)p值對憶阻特性的影響是一致的,即:隨著p值的增大顯示出明顯的滯回特性。

圖14中,該窗函數(shù)因含有控制參數(shù)j,增加了可調(diào)性,使得f(x)調(diào)節(jié)范圍沒有局限性;并且隨著j值的增大,I-V滯回曲線包圍的面積增大,滯回特性更加明顯,反映了該模型下內(nèi)部離子非線性漂移的變化規(guī)律,根據(jù)不同的參數(shù)變化作相應(yīng)的調(diào)整,便于實際電路中的應(yīng)用。在電壓允許范圍內(nèi),j值的變化間接擴大電壓幅值范圍。

通過調(diào)整相關(guān)參數(shù)p和j的值,該窗函數(shù)同樣也可以創(chuàng)建線性雜質(zhì)憶阻器模型。

圖13 不同p值下I-V曲線圖(U=1.2 V,f=1 Hz,j=1)Fig.13 TheI-V curves at differentp(U=1.2 V,f=1 Hz,j=1)

圖14 不同j值下I-V曲線圖(U=2 V,f=1 Hz,p=2)Fig.14 TheI-V curves at differentj(U=2 V,f=1 Hz,p=2)

(2)外加電壓的影響

圖15與圖7和圖8對比,外加電壓幅值范圍增大,另外,在U=6 V時,該窗函數(shù)下的伏安特性并沒有失真,并且具有很完整的非線性和滯回特性。反映了該窗函數(shù)下的憶阻器模型在較高的電壓下不會被擊穿,內(nèi)部離子漂移運動還可以做非線性變化。

圖15 不同電壓值下I-V曲線圖(f=1 Hz,j=0.6,p=2)Fig.15 TheI-V curves at different voltage(f=1 Hz,j=0.6,p=2)

該窗函數(shù)下的憶阻器模型由于考慮到電流的影響,不存在 “邊界鎖死”問題,還可以通過控制參數(shù)j值的變化,擴大外加電壓幅值范圍,具有可調(diào)性和高靈活性。

2.5 上述窗函數(shù)相關(guān)參數(shù)對照

表1中,不難發(fā)現(xiàn)本文中改進的窗函數(shù)下的憶阻器模型的伏安特性更具有優(yōu)越性,既解決了邊界效應(yīng)和 “邊界鎖死”問題,還具有可調(diào)性和高靈活性,其伏安特性仿真結(jié)果與憶阻器內(nèi)部離子實際遷移規(guī)律更相符。改變控制參數(shù)可使得憶阻特性更好地呈現(xiàn)出來。

表1 不同窗函數(shù)下影響參數(shù)對照表Tab.1 A comparison of performance factors for different window functions

3 頻率對憶阻器滯回特性的影響分析

當(dāng)施加一個正弦交流激勵i=sin(ωt)時,憶阻器的當(dāng)前電荷量設(shè)為q0,并且電荷存儲公式q=q0-(1/ω)cos(ωt)。當(dāng)ω逐漸增大時,電荷q→q0。憶阻器的阻值會在很小的范圍內(nèi)(q0-1/ω,q0+1/ω)變化,當(dāng)ω→∞時,憶阻值會變成一個常數(shù)。

為了分析不同頻率下憶阻器伏安特性的變化規(guī)律,設(shè)置不同頻率值,通過MATLAB軟件得出仿真圖16。

圖16 不同頻率下I-V曲線圖(U=4 V,j=1,p=2)Fig.16 TheI-V curves at different frequency(U=4 V,j=1,p=2)

隨著頻率的增大,I-V曲線包圍的面積呈現(xiàn)縮小狀態(tài)。頻率的增大,實際上是電壓周期縮短,離子遷移在很短時間內(nèi)做往返運動,則憶阻值的變化范圍不會很明顯,當(dāng)頻率f→∞時,伏安曲線會縮減成一條直線,憶阻值趨于一個定值,憶阻器就等同于一個普通的電阻元件。

4 結(jié)論

為了更加準(zhǔn)確地模擬HP憶阻器內(nèi)部離子的真實遷移情況,基于雜質(zhì)漂移機理,分析了憶阻器的導(dǎo)電過程,提出了一種改進的窗函數(shù)模型。通過對比分析傳統(tǒng)窗函數(shù)下憶阻器模型的伏安特性,改進的窗函數(shù)模型由于考慮到電流方向的影響及其范圍的局限性,不僅解決了 “邊界鎖死”問題,還具有可調(diào)性和高靈活性。在頻率允許范圍內(nèi),隨著頻率的增大,憶阻器的伏安特性會呈現(xiàn)縮減趨勢,且當(dāng)頻率趨于無窮大時,會變成一個單值函數(shù),憶阻器等同于一個普通的電阻元件。通過調(diào)整該窗函數(shù)模型的相關(guān)參數(shù),也可以創(chuàng)建一個理想的線性雜質(zhì)漂移憶阻器模型。