趙 壘，閆怡飛，王 鵬，周曉奇，馮耀榮，閆相禎

(1.中國石油大學(華東)機電工程學院，山東 青島 266580；2. 中國石油大學(華東)油氣CAE 技術(shù)研究中心，山東 青島 266580；3. 中國石油天然氣集團石油管工程重點實驗室，陜西 西安 710065；4. 中原油田分公司 石油工程技術(shù)研究院，河南 濮陽 457000)

0 引言

當前，氣井管柱的設計多使用安全系數(shù)法[1-2]，該方法屬于經(jīng)驗取值法，并不能給出按指定安全系數(shù)設計的套管安全程度。隨著各種深井、超深井的不斷建立，地應力對套管安全可靠性的影響不容忽視，而地應力影響下現(xiàn)有設計標準中安全系數(shù)取值范圍的適用性以及如何選取氣井管柱的安全系數(shù)成為了油氣工程領(lǐng)域迫切需要解決的關(guān)鍵問題[3]。

建立安全系數(shù)與可靠度之間的關(guān)系為以上問題的解決提供了很好的思路[4-5]。已有學者對套管強度可靠性評價進行了研究[4-6]，但這些研究多以單一套管作為研究對象，沒有考慮地層參數(shù)隨機性的影響。楊秀娟等[7]通過建立三維數(shù)值模型，研究了地層、水泥環(huán)以及套管參數(shù)的隨機性對套管可靠性的影響，但由于隨機抽樣次數(shù)多、單次求解時間過長等原因，使得該方法在現(xiàn)場的應用受到一定的限制。因此，有必要建立一種快速、可靠并且可以同時考慮地層和套管影響參數(shù)及其隨機性的可靠度評價理論方法?，F(xiàn)有氣井管柱強度設計標準要求套管承受均勻外擠載荷，當考慮非均勻地應力的影響時，套管受到的外擠載荷是非均勻的(尤其是深井、超深井)，因而不能直接使用現(xiàn)有標準中的強度計算公式，而這一問題也是建立可靠度評價理論方法的關(guān)鍵問題。

基于此，建立非均勻地應力和內(nèi)壓共同作用下套管非均勻外擠力轉(zhuǎn)為等效均勻外擠力的方法，并通過力學分析進行有效性驗證，在此基礎上，建立套管抗擠、抗內(nèi)壓可靠度計算和評價方法，進而求取安全系數(shù)與可靠指標之間的關(guān)系，以期為指定安全系數(shù)下的套管實際安全水平進行量化，對于套管(尤其是深井、超深井套管)的設計和評價具有重要意義。

1 套管強度和載荷的確定

由于根據(jù)API標準抗拉強度公式得到的值比較保守[8-9]，并且在固井良好的條件下，套管、水泥環(huán)和地層會形成良好的組合體，因此，固井后不再對套管的軸向抗拉強度進行分析和評價。

1.1 套管強度的計算方法

1.1.1 套管抗擠強度計算

套管三軸抗外擠強度比單軸抗外擠強度更符合實際情況，因此采用三軸抗擠強度公式[1-2]：

(1)

式中：pca為考慮軸向應力和內(nèi)壓力后的抗擠強度，MPa；pi為套管內(nèi)壓力(取鉆完井階段套管實際有效內(nèi)壓力，也可以取固井后環(huán)空靜液柱壓力)，MPa；σa為套管軸向應力，MPa；Ypc為套管材料屈服強度，MPa；Dc為套管外徑，mm；δc為套管壁厚，mm。

1.1.2 套管抗內(nèi)壓強度計算

與抗外擠強度類似，抗內(nèi)壓強度使用三軸抗內(nèi)壓強度公式[1-2]：

(2)

式中：pba為考慮軸向應力和外擠力后的套管抗內(nèi)壓強度，MPa；pbo為套管生產(chǎn)廠商給定的抗內(nèi)壓強度，也可以根據(jù)文獻[1-2]中給定的計算公式求取，MPa；ri為套管內(nèi)半徑，mm；ro為套管外半徑，mm；po為套管外擠力(取管外鹽水柱壓力)，MPa；其他參數(shù)同上。

1.2 套管外載的計算方法

1.2.1 套管外擠力計算

《鉆井手冊(甲方)》建議不考慮水泥環(huán)的卸載作用[10]。理論分析和實際實驗結(jié)果表明，水泥環(huán)對套管抗擠毀能力的提升有限，前者提升不超過10%，后者小于5%[11]。因此，研究中主要考慮套管—地層組成的平面應變系統(tǒng)(即不考慮軸向分量)，根據(jù)文獻[8-9]并考慮到內(nèi)壓的影響，套管的應力分量表示為：

(3)

式中：s1，s2，s3為不考慮內(nèi)壓力和軸向應力影響的套管外擠力系數(shù)[9]，計算方法如式(4)所示：

(4)

式中：σr，σθ，τrθ依次為套管徑向應力、環(huán)向應力和切向應力，MPa；r為套管壁上任意一點與套管軸線的垂直距離，mm；θ為套管壁上一點至套管軸線的連線與最大水平主應力方向的夾角，(°)；vc，vs依次為套管和地層的泊松比，無量綱；Ec，Es依次為套管和地層的彈性模量，MPa；σ為平均地應力，MPa；s為偏差地應力，MPa；σH，σh分別為地層最大和最小水平主應力，MPa；mc為套管內(nèi)外半徑之比，無量綱；C11，C12，C21，C22為中間變量，與Ec，Es，vc，vs和mc有關(guān)；R為中間變量，與Ec，Es，vc，vs，mc以及s有關(guān)；n1，n2，n3，n4為中間變量，與mc，s2和s3有關(guān)；其他參數(shù)同上。

根據(jù)Tresca屈服準則有：

(5)

因此，非均勻地應力下，考慮內(nèi)壓影響的套管外壁等效外擠力pco為：

(6)

根據(jù)Mises屈服準則有：

(7)

式中：pco為非均勻地應力和內(nèi)壓載荷聯(lián)合作用下的套管等效外擠力，MPa；σs為r處套管的米塞斯應力值，MPa，該值在最小水平主應力方向上取得最大值，并且在套管內(nèi)壁(r=ri)上取得最大值。因此，對于套管設計或評價而言，當按照內(nèi)壁屈服條件進行設計時，只須將r=ri，θ=90°，結(jié)合地層、套管參數(shù)按照式(3)即可計算套管應力分量，之后聯(lián)立式(5)、式(6)和式(7)即可計算出pco的值。當按照套管其他位置屈服進行設計時(如外壁屈服)，只須將相應的r(ri≤r≤ro)值重新帶入以上各式即可，其他參數(shù)保持不變。

為驗證以上方法的可行性，采用COMSOL軟件對相同條件下的套管等效應力進行計算(取套管內(nèi)壁危險點處等效應力)。鑒于模型的對稱性，取1/4模型進行研究，數(shù)值計算模型、網(wǎng)格和邊界條件如圖1所示，其中，對套管區(qū)域使用四邊形單元劃分并進行加密處理，其他區(qū)域使用三角單元自動劃分，整體區(qū)域網(wǎng)格單元共計2 696個，套管區(qū)域為200個。根據(jù)某氣田直井現(xiàn)場地層壓裂和測井資料得知，某層位地層平均深度約5 000 m，水平最大、最小原位主應力依次為132和126.25 MPa，彈性模量5 GPa，泊松比0.45。該層位使用的套管性能參數(shù)如下(由現(xiàn)場提供)：鋼級TP140V，外徑206.40 mm，壁厚17.25 mm，彈性模量210 GPa，泊松比0.3，屈服強度965.26 MPa。圖2為不同內(nèi)壓下，數(shù)值模擬法得到的套管等效應力云圖以及數(shù)值模擬法與理論法得到的最大等效應力的相對誤差(這里為相對理論值的相對誤差，用Rer表示)。從中可知，隨著內(nèi)壓的增加，相對誤差不斷增加，當內(nèi)壓為90 MPa時，兩者的相對誤差為11.28%，可見在內(nèi)壓小于90 MPa時文中計算套管等效外擠力的方法可行。

圖1 研究用模型、網(wǎng)格和邊界條件Fig.1 Model, grid and boundary conditions for research

1.2.2 套管內(nèi)壓力計算

氣井表層套管、技術(shù)套管和生產(chǎn)套管的內(nèi)壓力按照文獻[2]中的方法計算，這與油井套管內(nèi)壓力的計算方法有所不同。

2 套管強度和載荷的影響因素分布類型和統(tǒng)計參數(shù)

根據(jù)Adams等[4]、Galambos等[12]的研究工作，套管幾何和材料屬性分布類型均服從正態(tài)分布。根據(jù)文獻[13-14]的研究工作，套管外載的各種影響因素(包括誘導因素)同樣具有隨機性，并且符合正態(tài)分布規(guī)律。要說明的是，當隨機變量為非正態(tài)分布時，可以將非正態(tài)隨機變量當量化為正態(tài)變量[15]。

圖2 不同內(nèi)壓下，套管等效應力云圖與最大等效應力相對誤差(Rer)Fig.2 The equivalent stress nephograms and relative errors (Rer) of maximum equivalent stresses for the casing under different internal pressures

文中符合正態(tài)分布的各變量標準值一律使用名義值。在參考相關(guān)文獻資料、現(xiàn)場統(tǒng)計數(shù)據(jù)的基礎上[12-14]，統(tǒng)計了套管強度和載荷影響因素的統(tǒng)計均值與標準值的比值以及變異系數(shù)，見表1。

3 套管可靠度計算與評價方法

套管結(jié)構(gòu)功能函數(shù)Z用以下線性函數(shù)表示：

Z=R-S

(8)

當Z>0時，套管可靠；當Z<0時套管不可靠，當Z=0時，套管可靠性處于臨界狀態(tài)。式(8)中，R泛指套管強度；S泛指套管載荷。

套管可靠度的計算使用蒙特卡洛(Monte Carlo，MC)模擬法。利用建立的套管強度和載荷計算方法、強度和載荷影響因素的分布類型以及統(tǒng)計參數(shù)、結(jié)合結(jié)構(gòu)功能函數(shù)以及“應力—強度干涉”理論，通過一定次數(shù)的隨機抽樣即可求取套管的可靠度，這里默認隨機抽樣100萬次(套管對應的失效概率在10-5量級[15])?？煽慷扔嬎愕木唧w流程如圖3所示，其中，num用于統(tǒng)計套管失效次數(shù)；k為第k次抽樣；N為總體抽樣次數(shù)；XRik為第k次抽樣，第i(i=1,2,…,m)個強度影響因素的抽樣值；XSjk為第k次抽樣，第j(j=1,2,…,n)個載荷影響因素的抽樣值；Rk為第k次抽樣得到的套管強度值；Sk為第k次抽樣得到的套管載荷值；Zk為第k次抽樣的功能函數(shù)值；Ypck為套管屈服強度的第k次抽樣值；σsk為第k次抽樣得到的套管最大等效應力值；Pr為套管可靠度。

表1 套管載荷和強度影響因素的統(tǒng)計參數(shù)和分布類型Table 1 Statistical parameters and distribution types of impact factors of casing load and strength

注：μ1為套管載荷或強度影響因素的統(tǒng)計均值；μ2為套管載荷或強度影響因素的標準值。

圖3 套管抗擠和抗內(nèi)壓可靠度計算流程Fig.3 Computation flow chart of anti-squeeze and anti-inner pressure reliability of casing

套管安全系數(shù)定義為強度R標準值與載荷S標準值的比值，套管可靠度Pr與可靠指標β之間有如下關(guān)系：

β=Φ-1(Pr)

(9)

式中：β為套管可靠指標；Φ-1為標準正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)。

根據(jù)JCSS《概率模式規(guī)范》中推薦的目標可靠指標選取原則，研究中選擇失效后果嚴重，采取措施成本高的目標可靠指標βT(即βT=3.7)作為評價指標，這與文獻[16]中，一類韌性結(jié)構(gòu)確定的目標可靠指標一致。實際設計和評價過程中，應保證套管可靠指標滿足β≥βT。

4 實例應用

以某氣井(直井)套管評價為例。由測井井史資料(實際測量的名義值)可知，該井在2 963～3 572 m井段的巖層巖性相近(套管三開技術(shù)套管穿越該段地層)，測得的地層彈性模量和泊松比均值分別為19.3 GPa和0.35，根據(jù)壓裂測井資料，該段地層的水平最大、最小主應力與井深成線性關(guān)系，對應的梯度值分別為0.024和0.022 MPa/m，其他參數(shù)數(shù)據(jù)均來自現(xiàn)場，匯總于表2。利用以上建立的可靠度計算方法和評價指標，參考表1和表2中數(shù)據(jù)，對該井段的三開技術(shù)套管進行評價。經(jīng)過計算可知，井深3 500 m處的套管抗擠和抗內(nèi)壓可靠指標均大于8(對應的安全系數(shù)分別為1.37和6.45)，遠遠高于給定的評價指標。API 5C3標準[1]將套管抗擠安全系數(shù)范圍規(guī)定為1.000～1.125，抗內(nèi)壓安全系數(shù)范圍規(guī)定為1.05～1.15。因此，無論是從常規(guī)設計角度還是可靠性角度，選擇的套管都是安全可靠的。

表2 測試數(shù)據(jù)Table 2 Test data

為說明指定條件下套管抗擠和抗內(nèi)壓安全系數(shù)與可靠度以及可靠指標之間的關(guān)系，將表2中套管鋼級換成N80，其他參數(shù)保持不變，得到如圖4和圖5所示的關(guān)系。從圖4可知，套管抗擠設計的安全系數(shù)越大，可靠指標(或可靠度)越大，并且當可靠度接近1時，可靠指標快速增加，當選擇N80綱級套管時，套管的下深不應超過3 087 m(考慮地層后設計的套管安全系數(shù)應大于1.2)；套管抗內(nèi)壓可靠指標始終大于3.7，對應的可靠度始終為1。因此，相同條件下，安全系數(shù)與可靠指標以及可靠度之間存在一定的對應關(guān)系。

圖4 抗擠安全系數(shù)與可靠度以及可靠指標之間的關(guān)系Fig.4 Relationship between the reliability as well as reliability index and anti-aqueeze safety factor

圖5 抗內(nèi)壓安全系數(shù)與可靠度以及可靠指標之間的關(guān)系Fig.5 Relationship between the reliability as well as reliability index and anti-internal pressure safety factor

5 結(jié)論

1)推導建立了考慮非均勻地應力和內(nèi)壓影響的套管實際等效均勻外擠力理論計算方法，理論和數(shù)值模擬法得到的套管最大等效應力表明兩者具有較好的一致性。

2)建立了考慮地層和套管參數(shù)隨機性的套管可靠度計算和評價方法，實例應用表明該方法能夠用于套管的可靠度評價。

3)相同條件下，套管安全系數(shù)與可靠度以及可靠指標之間存在對應關(guān)系，可以對指定安全系數(shù)下的套管安全程度進行量化，同時根據(jù)評價結(jié)果可以合理確定套管的安全系數(shù)。

4)鑒于地層參數(shù)的復雜性，相關(guān)參數(shù)的隨機性還有待于根據(jù)具體地層結(jié)構(gòu)和屬性作進一步的統(tǒng)計積累。