肖敏

摘? ?要：文章通過研究小球在受恒定阻力及小球所受空氣阻力與速度大小成正比時的豎直上拋運動，定量計算了小球上升和下降時的速度、加速度、動能、重力勢能、機械能，并對以上物理量作出圖像，進行分析與探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)理融合;小球上拋;運動圖像

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2019）10-0058-4

在江蘇省某中學高三年級學情檢測的物理試卷中有這樣一道選擇題：

質(zhì)量為m的小球從地面以初速度v0豎直向上拋出，已知小球所受的空氣阻力與速度大小成正比，下列圖像（圖1）分別描述了小球在空中運動的加速度a、速度v隨時間t的變化關(guān)系和動能Ek、機械能E（選地面為參考平面）隨小球距離地面高度h的變化關(guān)系，其中可能正確的是（? ? ? ?）

這道題可以運用排除法選出答案C選項。但是小球上拋過程的運動情況如何，學生還是存有疑惑。因此，筆者通過數(shù)學方法對有阻力時小球上拋的運動過程進行了詳細的計算與分析，以期能描述出其運動圖像。

1? ? 小球所受空氣阻力恒定時

質(zhì)量為m的小球從地面以初速度v0豎直向上拋出，假設小球所受的空氣阻力為恒力，到達的最高點離地面高度為H，則小球的速度、加速度、動能、重力勢能、機械能情況如何？

設豎直向上為正方向，求加速度與速度，則表達式為：

則小球上拋及下落時的動能、重力勢能、機械能隨h的變化圖像分別為：Ek-h圖（如圖4）、Ep-h圖（如圖5）及E-h圖（如圖6）。

2? ? 小球所受空氣阻力與速度大小成正比時

質(zhì)量為m的小球從地面以初速度v0豎直向上拋出，假設球所受的空氣阻力與速度大小成正比，到達的最高點離地面高度為H，則小球的速度、加速度、動能、重力勢能、機械能情況又如何呢？

2.1? ? 小球下落過程

（1）求小球下落過程的速度[1]

研究小球從空中下落時，以豎直向下為正方向，選開始下落時為計時起點，小球受重力mg和空氣阻力f=kv，v為小球速度，k為一常量，小球動力學方程為[1]：

（2）求小球下落過程的加速度

對速度表達式求導，可以得出加速度的表達式：

2.3? ? 畫出小球上拋及下落的圖像

取小球質(zhì)量m=0.1 kg，k=0.1 N·S·m-1，g=9.8 m·s-2，v0=10 m·s-1，運用Maple軟件，畫出小球上拋及下落時的v-t圖像（如圖7）和a-t圖像（如圖8）。

3? ? 結(jié)? ?語

在高中物理教學中，小球在有阻力的情況下的豎直上拋運動是學生學習的一個難點。筆者基于數(shù)學與物理深度融合的理念，通過公式推導與圖像繪制，初步展示了小球的運動情況，使學生能夠深入了解速度、加速度、能量之間的定量關(guān)系。物理學習不僅僅停留在解出題目的答案，更在于培養(yǎng)學生自主思考與深度研究的精神與素養(yǎng)，這在高中物理教學中也是至關(guān)重要的。

參考文獻：

[1]漆安慎，杜嬋英.力學[M].北京：高等教育出版社，1997：74-75.

[2]陳挹平，柳濤.有阻力時小球做豎直上拋運動的解[J].金陵職業(yè)大學學報，2000（1）：32-34.

（欄目編輯? ? 羅琬華）