，，，，，

(1.北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191； 2.中國科學(xué)院光電研究院，北京 100094；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；4.華中科技大學(xué) 光學(xué)與電子信息學(xué)院，武漢 430074)

0 引言

激光因其獨有的特性在測量、通信等領(lǐng)域備受青睞，而激光的跟蹤控制是激光能精確指向目標所不可或缺的技術(shù)。激光跟蹤系統(tǒng)的工作原理是：數(shù)據(jù)采集電路獲取反射鏡偏轉(zhuǎn)角、光束偏心量、測距信息后合成合作目標位置，控制算法根據(jù)目標位置信息解算出反射鏡輸入量發(fā)送給執(zhí)行機構(gòu)，執(zhí)行機構(gòu)驅(qū)動反射鏡改變光束方向，使光束偏心量趨近于零，實現(xiàn)對合作目標的跟蹤。激光跟蹤技術(shù)在激光跟蹤儀及激光通信等設(shè)備上有著廣泛的應(yīng)用，而跟蹤效果的優(yōu)劣直接影響著此類設(shè)備性能，選取高性能的執(zhí)行機構(gòu)電機并研究配套的控制策略是提高系統(tǒng)響應(yīng)速度、跟蹤精度的有效途徑。

本文選用振鏡電機作為激光跟蹤系統(tǒng)的執(zhí)行機構(gòu)，通過X、Y雙軸振鏡的偏轉(zhuǎn)實現(xiàn)對激光指向的控制。傳統(tǒng)的跟蹤控制算法多數(shù)基于反饋控制，例如文獻[1]和文獻[2]提出的控制方案是對傳統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)的擴展，通過給振鏡系統(tǒng)增加一個帶有PID-L1類型控制器的附加回路，保證了系統(tǒng)速度響應(yīng)和抗擾性。但該控制策略未引進前饋控制無法從根本上提高系統(tǒng)跟蹤性能。對于非最小相位系統(tǒng)，引入ZPETC能夠極大提高跟蹤精度，但ZPETC性能受系統(tǒng)模型精度影響極大，振鏡電機在使用過程中因其配套的驅(qū)動板會大量發(fā)熱，引發(fā)系統(tǒng)參數(shù)攝動，進而導(dǎo)致ZPETC性能惡化。文獻[3]和文獻[4]在ZPETC的基礎(chǔ)上分別設(shè)計了定量反饋控制器和單神經(jīng)PID反饋控制器，通過反饋控制器補償由模型不確定性引起的誤差。但前者需要系統(tǒng)的不確定模型設(shè)計復(fù)雜，而后者僅通過反饋補償模型不準導(dǎo)致的誤差，效果有限。文獻[5]提出一種了基于遞歸參數(shù)估計的自適應(yīng)ZPETC，通過對系統(tǒng)進行實時辨識從而更新控制器參數(shù)，提高了系統(tǒng)的魯棒性，降低了系統(tǒng)的不確定性，但該算法仍存在著實時辨識誤差和計算量較大的問題。

針對上述問題，本文在系統(tǒng)辨識的基礎(chǔ)上，首先設(shè)計了ZPETC，通過引入加性輸出分解器[6]，在提高跟蹤精度的同時有效地抑制了系統(tǒng)誤差及參數(shù)攝動對ZPETC控制效果的影響，減小了計算量且易于實現(xiàn)。然后，使用差分進化算法對控制器PID參數(shù)進行整定，并利用PID控制器對剩余誤差進行補償，實現(xiàn)了對輸入信號的精確跟蹤。最后，通過仿真實驗驗證了該組合控制器的有效性和優(yōu)越性。

1 振鏡電機模型辨識

1.1 振鏡電機數(shù)學(xué)模型

振鏡電機是一種擺動式電機，具有體積小、大轉(zhuǎn)矩、響應(yīng)速度快、寬頻率特性等優(yōu)點。因此特別適合高精度的跟蹤控制。振鏡電機的工作原理是電機轉(zhuǎn)軸上的永磁體與內(nèi)部線圈電流產(chǎn)生的磁場相互作用產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)扭矩，使連接于轉(zhuǎn)子之上的反射鏡發(fā)生偏轉(zhuǎn)[7]。此外，振鏡電機需在與其配套的驅(qū)動板的控制下才能正常工作，振鏡電機通過轉(zhuǎn)軸末端安裝的角度傳感器為驅(qū)動板提供角度反饋。驅(qū)動板和振鏡構(gòu)成一個閉環(huán)反饋系統(tǒng)。以下簡稱該閉環(huán)系統(tǒng)為振鏡系統(tǒng)，如圖1所示。本文選用S-8136型動磁式雙振鏡定位電機作為跟蹤系統(tǒng)的執(zhí)行機構(gòu)，其驅(qū)動板為SD-1000型含積分的I型控制器。

圖1 振鏡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

振鏡電機模型如下：

(1)

式中，J是電機轉(zhuǎn)子和軸上反射鏡片相對于電機轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之和；f是電機內(nèi)部和電機負載折合到電機軸上的粘性摩擦系數(shù)；R是電樞電阻；Kb是電動機反電動勢系數(shù)；KT為振鏡電機的轉(zhuǎn)矩系數(shù)；g是扭力棒彈性常數(shù)，動磁式振鏡的g為零。

驅(qū)動板模型如下：

(2)

式中，Kp為增益系數(shù)；Ti為積分系數(shù)；Td為微分系數(shù)。

振鏡系統(tǒng)模型如下：

(3)

模型近似簡化：

考慮到驅(qū)動板作為PID控制器具有極零點補償作用[2]，振鏡系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以用二階傳遞函數(shù)來進一步簡化(實際上用二階模型比三階模型的辨識效果更好)，整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)為：

(4)

1.2 系統(tǒng)參數(shù)辨識

為使辨識模型逼近真實的系統(tǒng)模型，輸入的辨識信號應(yīng)能在不同頻段充分激勵系統(tǒng)，一般而言振鏡電機帶寬為1000 Hz左右，這里選取頻率為1～5000 Hz以對數(shù)方式遞增的sweeper波對振鏡電機進行激勵[8]。在系統(tǒng)能夠正常工作的前提下，信號幅值越大辨識效果越好。但隨著輸入信號頻率的增加，信號幅值太大會使驅(qū)動板電容飽和而導(dǎo)致輸出跳變，根據(jù)經(jīng)驗sweeper波的幅值選為0.1 V。采集輸入輸出信號如圖2。獲取振鏡系統(tǒng)輸入輸出信號后，輸入Matlab系統(tǒng)辨識工具箱中對系統(tǒng)參數(shù)進行辨識。

圖2 輸入/輸出信號

經(jīng)過辨識可得到X、Y振鏡系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：

X振鏡系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

(5)

Y振鏡系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

(6)

在對連續(xù)控制系統(tǒng)進行離散控制設(shè)計時，為了得到性能較好的控制效果，一般可以根據(jù)連續(xù)系統(tǒng)帶寬ωb選擇控制頻率ωa[9]，選擇關(guān)系如下：

ωa=(5～10)ωb

(7)

X、Y振鏡系統(tǒng)的帶寬約為1.1 kHz，選擇10 kHz作為控制頻率，故帶有零階保持器的振鏡系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)如下：

X振鏡系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：

(8)

Y振鏡系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：

(9)

2 基于加性輸出分解方法的ZPETC

2.1 ZPETC設(shè)計

激光跟蹤系統(tǒng)通過獲取反射鏡偏轉(zhuǎn)角、光束偏心量、測距信息合成并記錄合作目標的位置信息。由于合作目標的運動頻率較慢(不超10 Hz)，遠小于信號采集頻率，因此選取前k個目標位置，利用多項式擬合預(yù)測算法既可求得到當(dāng)前目標運動軌跡[10]。根據(jù)所得軌跡函數(shù)可精確預(yù)測下一時刻的目標位置，由此解算出兩面反射鏡在下一時刻的偏轉(zhuǎn)角，獲得控制指令的超前值。

由式(8)、(9)可知，X振鏡系統(tǒng)與Y振鏡系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)分別存在不穩(wěn)定零點z=10.81和z=4.80，屬于非最小相位系統(tǒng)。在指令超前值已知的情況下，非最小相位系統(tǒng)直接采用逆控制器會給系統(tǒng)引入不穩(wěn)定極點。為消除不穩(wěn)定零點的影響日本學(xué)者M.Tomizuka提出了ZPETC[11]。ZPETC是通過引入零點來補償逆系統(tǒng)中的不穩(wěn)定極點。加入零相差前饋控制器后，系統(tǒng)對低頻輸入的響應(yīng)增益近似為1，在全頻域內(nèi)相移為零。

非最小相位系統(tǒng)可以表示為：

(10)

式中，d為延遲步數(shù)；Bu(z-1)是由所有不穩(wěn)定零點構(gòu)成的多項式；Ba(z-1)是由所有穩(wěn)定零點構(gòu)成的多項式；A(z-1)為分母多項式。

依據(jù)不變性原理，系統(tǒng)的逆控制器可表示為：

(11)

為了補償逆控制器的不穩(wěn)定極點Bu(z-1)，引入零點Bu(z)。設(shè)計數(shù)字前置濾波器為：

(12)

故ZPETC的表達式為：

(13)

以X振鏡系統(tǒng)為例，加入ZPETC后系統(tǒng)的輸入/輸出函數(shù)為：

F(z-1)G(z-1)=0.0775z+0.8449+0.0775z-1

(14)

y(k)=0.0775yd(k+1)+0.8449yd(k)+0.0775yd(k-1)

(15)

可見,輸出量y(k)為期望值yd(k+1)，yd(k)，yd(k-1)的加權(quán)平均值。對于低頻輸入信號,系統(tǒng)的輸出趨近于該時刻期望值，從而實現(xiàn)了高精度跟蹤控制。

2.2 基于加性分解的ZPETC

設(shè)計ZPETC需要被控對象的精確模型，但振鏡系統(tǒng)在辨識過程中存在一定的辨識誤差，當(dāng)振鏡電機在長時間工作后，由于驅(qū)動板上功率放大器件的持續(xù)發(fā)熱會引起系統(tǒng)參數(shù)攝動。一般來說辨識誤差相對較小，而參數(shù)攝動引起的模型失準會導(dǎo)致ZPETC性能惡化。僅通過反饋控制器難以消除由參數(shù)攝動引起的誤差。為了獲得滿意的控制效果，本文在ZPETC的基礎(chǔ)上引入加性分解輸出的方法有效地解決了上述問題。

加性分解正是將一個不確定系統(tǒng)分解為一個與之相近的確定的主系統(tǒng)和一個不確定的輔助系統(tǒng)。原系統(tǒng)的輸出量就等于主系統(tǒng)與輔助系統(tǒng)輸出量之和。將主系統(tǒng)輸出視為比較值，輔系統(tǒng)輸出則視為一個集總擾動，通過將輔系統(tǒng)輸出量輸入ZPETC，實現(xiàn)對該擾動的抑制，提高系統(tǒng)的跟蹤性能[12]。為表述方便，以下證明均省略了算子z。

定義系統(tǒng)跟蹤誤差為：

e=y-yd

(16)

式中，y為系統(tǒng)輸出量；yd為期望值

假設(shè)原系統(tǒng)為：

y=Gu+d

(17)

因為辨識模型與實際模型接近，且零相差前饋控制器依據(jù)辨識模型而設(shè)計，故選擇辨識模型作為主系統(tǒng)：

yp=Gpu

(18)

故而可得輔助系統(tǒng)的輸出yr=Gu+d-Gpu，即集總擾動為：

dl=yr=Gu+d-Gpu

(19)

振鏡電機負載不變，不可測擾動可以忽略，故系統(tǒng)的不確定性主要來源于辨識誤差和參數(shù)攝動，由式(19)可知，這些不確定性引起的擾動為集總擾動。在控制過程中集總擾動可由振鏡實際偏轉(zhuǎn)量與主控系統(tǒng)的狀態(tài)計算值相減得到?；诨诩有暂敵龇纸夥椒ǖ那梆伩刂破魅鐖D3所示。

圖3 基于加性輸出分解方法的ZPETC結(jié)構(gòu)框圖

由于式(13)可知ZPETC由辨識系統(tǒng)的逆函數(shù)與數(shù)字前置濾波器共同組成消除了不穩(wěn)定極點，且原系統(tǒng)穩(wěn)定，集總擾動有界，符合加性分解條件。故振鏡系統(tǒng)輸入量為：

(20)

整理得：

u=Q[Gp-Q(G-Gp)]-1yd

(21)

其中：

(22)

(23)

(24)

(25)

可見，在ZPETC中引入加性分解輸出后相當(dāng)于在前饋控制器中引入對系統(tǒng)不確定量的反饋，因而可以實現(xiàn)對系統(tǒng)參數(shù)攝動的抑制。

3 反饋控制器的設(shè)計

PID控制器是最為常見的反饋控制器，它具有原理簡單、易于實現(xiàn)的特點。由于PID控制器本身具有較強的魯棒性，對系統(tǒng)中存在的不缺定因素有較強的適應(yīng)力。常見的參數(shù)整定方式有Z-N整定法和臨界比度法等，但這些方法對系統(tǒng)不同的動態(tài)響應(yīng)指標很難實現(xiàn)同步優(yōu)化，且對操作人員的經(jīng)驗有一定的要求。

為了同步實現(xiàn)對不同動態(tài)性能的優(yōu)化，可采用差分進化算法對PID參數(shù)進行整定。差分進化算法是一種基于現(xiàn)代智能理論的優(yōu)化算法，通過群體內(nèi)個體之間的相互合作與競爭保留優(yōu)良個體，淘汰劣質(zhì)個體，不斷地進化引導(dǎo)搜索向最優(yōu)解逼近。它主要由變異、交叉和選擇三個操作組成[13]，參數(shù)整定具體流程如下：

3.1 選擇最優(yōu)指標

系統(tǒng)在進行遠場跟蹤時，振鏡微小的偏轉(zhuǎn)會引起光斑在合作目標上的較大位移而導(dǎo)致偏心量增大，因此控制器不僅要有較快的響應(yīng)速度，對系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量也要有嚴格的約束。為了獲得較快的響應(yīng)速度，選擇階躍響應(yīng)過程中的誤差絕對值之和J作為參數(shù)選擇的最小目標函數(shù)，如下：

(26)

式中，N表示誤差絕對值累計次數(shù)，對于離散系統(tǒng)的振鏡系統(tǒng)，階躍響應(yīng)時間在2 ms左右。這里選取N=30即采樣30次(控制頻率為10 kHz)。為了減小超調(diào)量，設(shè)計懲罰函數(shù)，發(fā)生超調(diào)就會觸發(fā)該函數(shù)，將超調(diào)量加入目標函數(shù)，此時的目標函數(shù)如下：

ife(p)<0,J=J+10×|e(p)|

(27)

式中，10為超調(diào)懲罰權(quán)重。

3.2 種群的初始化

在解空間中隨機均勻產(chǎn)生地30個個體，每個個體由3維向量組成分別代表帶整定的P、I、D參數(shù)。

(28)

3.3 變異操作

在每次的進化迭代中，從種群中隨機選擇3個個體，生成的變異向量為：

hij(t+1)=xp1j(t)+F(xp2j(t)-xp3j(t))

(29)

式中，xp2j(t)-xp3j(t)為差異化向量；F為縮放因子；p1、p2、p3為1～30內(nèi)的隨機整數(shù)，表示個體在種群中的序號，且i≠p1≠p2≠p3。變異操作是差分進化算法的關(guān)鍵步驟。

3.4 交叉操作

該步驟是為了提高群體個體的多樣性，具體操作如下：

(30)

式中，randlij(0,1)為0～1之間的隨機小數(shù)；CR為交叉因子，CR∈[0,1]。

3.5 選擇操作

為了確定xi(t)是否是下一代的成員，實驗向量vi(t+1)和目標向量xi(t)對評價函數(shù)進行比較:

(31)

反復(fù)執(zhí)行步驟(3)～(5)，直至最大進化代數(shù)50。

以X振鏡系統(tǒng)為例，圖4、圖5分別為最小目標函數(shù)值J的優(yōu)化過程和PID參數(shù)整定過程，經(jīng)過差分進化整定得到的PID參數(shù)分別為Kp=0.42，Ni=4.94，Nd=3.395。

圖4 最小目標函數(shù)值J的優(yōu)化過程

圖5 PID參數(shù)整定過程

參數(shù)整定后系統(tǒng)階躍響應(yīng)如圖6所示，系統(tǒng)階躍響應(yīng)上升時間約為1.5 ms，超調(diào)量小于1%。同樣，Y振鏡系統(tǒng)整定的結(jié)果類似，反饋控制效果符合要求。通過差分進化算法整定參數(shù)后控制器有較快的響應(yīng)速度，有效抑制了超調(diào)量。

圖6 整定后反饋系統(tǒng)階躍響應(yīng)

系統(tǒng)的組合控制結(jié)構(gòu)如圖7所示。系統(tǒng)輸入量為前饋量與反饋量之和，系統(tǒng)控制效果見仿真部分。

圖7 組合控制器結(jié)構(gòu)框圖

4 Matlab仿真分析

S-8136動磁式振鏡偏轉(zhuǎn)角為±10°，電機輸入輸出均為±5 V，即位置輸入/輸出信號的比例系數(shù)均為0.5 V/°。假設(shè)數(shù)字控制電路采樣時間為0.1 ms，選用16位D/A轉(zhuǎn)換卡與電機驅(qū)動器相連為系統(tǒng)提供輸入信號，選用16位 A/D 轉(zhuǎn)換器采集反饋信號；為便于比較，以0～65537作為振鏡偏轉(zhuǎn)角度值對應(yīng)振鏡轉(zhuǎn)角為-5～+5°，即1代表最小分辨率約5.32 μrad。在開始跟蹤之前激光束首先進入合作目標中心，系統(tǒng)獲得目標位置及運動信息后開始跟蹤。系統(tǒng)中X振鏡Y振鏡分別實現(xiàn)對目標水平方向和垂直方向上軌跡分量的跟蹤，本文以X振鏡系統(tǒng)為例，在matlab上進行仿真，用正弦函數(shù)模擬合作目標運動軌跡在水平方向上的分量，輸入前饋信號如下：

yd=fix(16384sin(20π×k×ts+π×3/2)+16384)

(32)

式中，yd為離散數(shù)字信號；fix為向零取整函數(shù)，表示合作目標在水平方向上做頻率為10 Hz的往復(fù)運動，運動范圍為0°～5°。

由于數(shù)字控制器的輸入/輸出值均為離散值，故在仿真過程中對控制器內(nèi)部的數(shù)值計算均需做取整處理。

圖8 無干擾下ZPETC跟蹤效果及誤差

在模型準確的情況下無相前饋控制器的控制效果如圖8所示，系統(tǒng)輸入/輸出沒有相移，誤差大小在一個分辨率以內(nèi)，主要由量化誤差引起。系統(tǒng)跟蹤效果良好。

分別在振鏡系統(tǒng)的辨識模型的脈沖傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式中加入低頻擾動量模擬參數(shù)攝動如下：

num0=0.3298-0.01sin(2×π×k×ts)

(33)

den0=0.3454+0.01sin(2×π×k×ts)

(34)

式中,num0和den0分別為分子分母上z-2項系數(shù)，在加入擾動后，隨著參數(shù)的變化ZPETC性能變差,系統(tǒng)跟蹤誤差明顯增加，如圖9所示。

圖9 參數(shù)攝動下ZPETC跟蹤效果及誤差

圖10為基于加性分解輸出方法的ZPETC的跟蹤軌跡和誤差曲線。對比系統(tǒng)加入加性分解輸出前后的控制效果，跟蹤誤差幅值由2000降至400。可見，跟蹤誤差明顯減小，證明了基于加性分解輸出的ZPETC對系統(tǒng)的不確定性引起的擾動有著明顯的抑制作用。

圖10 基于加性分解方法的ZPETC跟蹤效果及誤差

為了進一步補償跟蹤誤差，在前饋控制器的基礎(chǔ)上加入PID控制器，參數(shù)由第三節(jié)得出，系統(tǒng)跟蹤軌跡和誤差曲線如圖11所示。系統(tǒng)跟蹤誤差幅值由400縮小至正負5內(nèi)，反饋控制器有良好的誤差補償效果。以上仿真結(jié)果的比較表明，基于加性分解輸出方法的ZPETC與反饋控制的組合控制器能夠?qū)崿F(xiàn)對目標軌跡的精確跟蹤。

圖11 組合控制器跟蹤效果及誤差

5 總結(jié)

本文在振鏡系統(tǒng)辨識的基礎(chǔ)上設(shè)計了ZPETC，有效地提高了激光跟蹤系統(tǒng)的跟蹤精度。同時將加性分解方法引入前饋控制器后很好地抑制了由于模型不準及系統(tǒng)參數(shù)攝動所帶來的干擾。通過無超調(diào)PID反饋控制器實現(xiàn)對剩余誤差的補償，最終達到了期望的跟蹤效果。通過matlab仿真結(jié)果驗證了所提出復(fù)合控制器的有效性，且控制器具有運算量少、易于實現(xiàn)的特點，有良好的工程推廣價值。