呂春紅 李 洋 趙 坤 董 純

北京航天自動控制研究所，北京 100854

隨著MEMS技術的不斷發(fā)展和成熟，一些低成本的炮彈、導彈和火箭彈等武器需要采用低成本的慣性器件實現(xiàn)自主導航。但問題是MEMS慣性器件的精度低，各項性能指標不能達到導航系統(tǒng)的要求，因此，為提高MEMS捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)精度，需要對現(xiàn)有慣性器件的誤差特性進行深入研究并建模，采用切實有效的補償方法加以消除。MEMS慣導工具誤差一般可分為靜態(tài)、動態(tài)和隨機誤差項。靜態(tài)和動態(tài)誤差一般認為是與載體運動的速度、加速度等有關的確定性誤差項，可通過試驗標定補償。而隨機漂移是陀螺的重要特性，國內(nèi)外在陀螺漂移測試及建模方面做了大量工作。從陀螺的質(zhì)量塊、彈簧系統(tǒng)等諧振結(jié)構(gòu)層面建立MEMS陀螺儀的數(shù)學物理模型，然后對誤差進行補償，雖能取得較好的效果，但是在大多數(shù)情況下，由于缺乏MEMS陀螺制造結(jié)構(gòu)等相關信息，大都采用時間序列統(tǒng)計建模等方法。其中Allan方差法是對陀螺噪聲進行分析的標準方法，它可以將各種誤差源及其對整個噪聲統(tǒng)計特性進行辨識。除此之外，還可采用神經(jīng)網(wǎng)絡[1]、小波分析[2]等對陀螺的隨機誤差進行建模。文獻[3-5]給出了一般陀螺的隨機誤差典型Allan方差分布。

結(jié)合實際工程應用，描述了根據(jù)MEMS慣導輸出，采用時間序列分析方法，對陀螺進行趨勢項、平穩(wěn)性檢驗及周期檢驗，然后采用基于Allan方差估計出MEMS陀螺主要隨機誤差項，建立AR模型，通過Kalman濾波對隨機誤差進行估計與補償。

1 時間序列分析方法

陀螺的隨機漂移一般是時間的函數(shù)，實際上是一個隨機過程。對于隨機過程，我們無法用時間t的確定性函數(shù)來加以描述。但是，可以借助數(shù)理統(tǒng)計方法，通過對大量漂移數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出它的統(tǒng)計規(guī)律或者統(tǒng)計特性。

時間序列分析方法將平穩(wěn)、正態(tài)和零均值的隨機序列看作是各時刻相關的序列，序列由各時刻出現(xiàn)的白噪聲組成，即k時刻為：

xk=φ1xk-1+φ2xk-2+…+φnxk-n-
θ1ak-1-θ2ak-2-…-θmak-m+ak

(1)

如果模型中θi=0(i=1,2,…,m)，則模型簡化為：

xk=φ1xk-1+φ2xk-2+…+φnxk-n+ak

(2)

該模型稱為n階自回歸模型AR(n)。如果模型中φi=0(i=1,2,…,n)，則模型簡化為：

xk=ak-θ1ak-1-θ2ak-2-…-θmak-m

(3)

該模型稱為m階的滑動平均模型MA(m)。

2 陀螺漂移數(shù)據(jù)預處理

ARMA模型要求數(shù)據(jù){xt}是平穩(wěn)、正態(tài)和零均值的時間序列。陀螺輸出的原始信號中一般包含有緩慢變化的趨勢項和隨機漂移項。所以在采用時間序列分析法進行建模前，一般需將原始信號中的趨勢項去掉。

2.1 基于二次擬合的趨勢項提取方法

一般趨勢項可以采用線性、指數(shù)等函數(shù)進行擬合。本文采用二次擬合的方法，趨勢項的函數(shù)如下：

mt=a0+a1t+a2t2

(4)

其中，a0,a1,a2為待估參數(shù)。

(5)

也可用差分法消除趨勢項。一階差分算子定義為：

▽xt=xt-xt-1

(6)

二階差分定義為：

▽2xt=▽(▽xt)=xt-2xt-1+xt-2

(7)

實際問題中往往需要差分的階數(shù)很低，一階或兩階就已經(jīng)足夠。

2.2 平穩(wěn)性檢驗

平穩(wěn)性檢驗是陀螺隨機漂移數(shù)據(jù)檢驗的首要問題，它用來檢驗漂移數(shù)據(jù)序列是否具有不隨時間推移而變化的統(tǒng)計特性。本文采用逆序法進行平穩(wěn)性檢驗。首先設定每個子樣的個數(shù)l為20，原始序列的長度為N，則子序列的長度為n=N/l。逆序總數(shù)的理論平均值為：

(8)

逆序總數(shù)的理論方差為：

(9)

通過對100個子序列進行計算，可以得出計算的逆序總數(shù)為651。利用構(gòu)造的統(tǒng)計量計算出的u=0.6525。

從圖1可以看出，各子序列的逆序數(shù)總體是呈線性遞減的趨勢，并且在真實逆序數(shù)的上下變化。當顯著性水平為0.05時，若|u|<1.96，則說明是平穩(wěn)序列。而上面計算出的u為0.6525，滿足平穩(wěn)序列的要求。

圖1 各子序列的逆序數(shù)分布圖

2.3 周期性檢驗

周期性檢驗用來識別陀螺隨機漂移數(shù)據(jù)中是否包含有隨機量以外的周期性分量，周期性檢驗的方法是直接考察從漂移數(shù)據(jù)得到的概率譜密度函數(shù)、自相關函數(shù)或功率譜密度的圖形。從圖2可以看出，功率譜密度圖中也沒有明顯的譜峰，說明陀螺的輸出中不包含有周期項。

圖2 陀螺漂移的功率譜密度

3 基于Allan方差的隨機誤差估計

將MEMS慣組放置在試驗室隔離地基上，測試軸置于水平面內(nèi)東西方向，采樣頻率100Hz，采樣3000s。MEMS陀螺的原始輸出曲線圖如圖3。

圖3 MEMS陀螺靜態(tài)輸出曲線圖

在陀螺隨機誤差中通常存在角隨機游走，速率隨機游走，偏差不穩(wěn)定性，量化噪聲和速率斜坡。根據(jù)上面對5項隨機誤差的分析，總的Allan方差可以表示為5項隨機誤差的Allan方差之和，形式如式(10)[6]。

(10)

根據(jù)陀螺靜態(tài)測試數(shù)據(jù)，計算的Allan標準差與的雙對數(shù)(log-log)曲線圖如圖4所示。

圖4 MEMS陀螺的Allan標準差曲線圖

對式(10)采用最小二乘擬合方法可計算得到角度隨機游走系數(shù)、零偏不穩(wěn)定性系數(shù)、速率隨機游走系數(shù)、速率斜坡和量化噪聲的估計值，如表1所示。

表1 MEMS陀螺的各項隨機誤差估計值

從表1可以看出，該陀螺的角度隨機誤差為MEMS隨機誤差中的主要部分，其他噪聲項的系數(shù)非常小，可以忽略不計。

由于MEMS陀螺的隨機漂移模型階次比較低，一般不超過二到三階，所以在實際建模中選用了AR(1)、AR(2)和AR(3)三種時間序列模型進行討論。AR模型結(jié)構(gòu)式可寫成式(2)的形式。對各參數(shù)估計得到數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 AR模型的參數(shù)估計結(jié)果

采用FPE(最終預報誤差)準則分析模型定階。從表中可看出，AR(3)模型的FPE最小，但與AR(1)模型的FPE基本相同，所以可采用AR(1)模型來描述陀螺的隨機漂移模型。

上面已經(jīng)確定出陀螺隨機漂移模型的類型和參數(shù)，采用AR(1)進行建模。采用所建立的模型即可進行卡爾曼濾波。AR(1)模型如式(11)：

x(k+1)=-0.3326x(k)+w(k)

(11)

其中，x(k)是陀螺漂移模型的狀態(tài)，w(k)是均值為0，方差為σ2的白噪聲。

建立的卡爾曼濾波狀態(tài)方程如式(12)：

x(k+1)=Φ(k,k-1)x(k)+Fw(k)

(12)

其中，Φ(k,k-1)=-0.3326,F=1。

系統(tǒng)的觀測值可以表示為狀態(tài)量加上白噪聲：

y(k)=x(k)+v(k)

(13)

則H=1，V(K)為白噪聲序列。

4 仿真實驗

根據(jù)上述建立的隨機誤差AR(1)模型，建立Kalman濾波方程，進行陀螺輸出隨機誤差估計。狀態(tài)方程的噪聲方差陣Q和觀測噪聲方差陣R取為AR(1)模型的估計誤差的方差。濾波誤差的協(xié)方差陣初值p(0/0)取為1，狀態(tài)量的初始值x(0)取為0。圖5為陀螺靜止時采樣1min的數(shù)據(jù)，采樣頻率為100Hz。

圖5 陀螺輸出的原始數(shù)據(jù)

圖6 卡爾曼濾波后的陀螺輸出

圖6為Kalman濾波后的陀螺輸出曲線。濾波前陀螺輸出的原始數(shù)據(jù)的標準差為0.0143(°)/s，濾波后陀螺輸出的標準差為0.00424(°)/s，提高了3倍。

5 結(jié)論

采用Allan方差法分析了陀螺中的各項隨機誤差系數(shù)，通過時間序列方法對隨機誤差進行建模，再應用Kalman濾波可以減小MEMS陀螺的隨機誤差。仿真實驗表明采用時間序列分析進行參數(shù)估計可以有效消除MEMS慣組導航方程中的模型誤差和測量誤差，從而大大提高MEMS捷聯(lián)慣導的精度。本文是根據(jù)靜態(tài)測試數(shù)據(jù)進行隨機誤差建模，后續(xù)可以結(jié)合導彈當前運動模型，研究動態(tài)條件下MEMS慣導的隨機誤差建模與補償方法。