南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué) 唐 舉

引例已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a2=b2=1，a3-1=b3，a4-1=b4.

（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）記cn=an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；

上題是最近的一次期末考試題，題中條件先給出“已知不等式恰有3解”，因?yàn)閱栴}新穎，學(xué)生審題后不知如何入手，得分極低.此處如果把“3解”改為“無數(shù)解”或者“有解”，它便變成了同學(xué)們熟悉的恒成立或者存在性成立問題，問題也就轉(zhuǎn)化為求最值問題，那么本題解法是否和兩類常規(guī)問題解法有相通之處呢？具體該如何求解呢？先來看下面的兩道題.

例1若關(guān)于x的不等式x2-x-a≤0的解集中的正整數(shù)有且只有3個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

分析可以先分離參數(shù)a，得到a ≥x2-x，轉(zhuǎn)化成直線y=a與拋物線f（x）=x2-x 的圖象位置問題，再由已知條件知道3個(gè)正整數(shù)解是x=1，2，3，即可限定直線y=a在直線y=f（3）和直線y=f（4）之間，兩條水平線之間可被形象地看作為夾縫，另外要注意到可穿過下端點(diǎn)，不能穿過上端點(diǎn).

解析由不等式x2-x-a ≤0得，a≥x2-x.設(shè)f（x）=x2-x，因?yàn)閷ΨQ軸為時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以3個(gè)正整數(shù)解是x=1，2，3，得f（3）≤a＜f（4），即6≤a＜12.

例2在數(shù)列{an}中，a1+2a2+22a3+…+2n-1an=（n·2n-2n+1）t對任意n∈N*成立，其中常數(shù)t＞0.若關(guān)于n的不等式的解集為{n|n≥4，n∈N*}，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是__________.

分析本題前面部分為數(shù)列知識，求解的分析過程省略，當(dāng)不等式化簡為m 后，如分析時(shí)感覺困難，可把問題轉(zhuǎn)化為的解集為{1，2，3}，這樣問題就和例1完全相同了，解法也同例1.如果思路比較清晰，可以從原不等式入手，此時(shí)尤其要注意“解集為{n|n≥4，n∈N*}”的言外之意，即n=3不滿足不等式，所以m 的范圍被3和4對應(yīng)的函數(shù)值同時(shí)限制.

解析因?yàn)閍1+2a2+22a3+…+2n-1an=（n·2n-2n+1）t①，所以a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=[（n-1）·2n-1-2n-1+1]t②，①-②得an=nt（n≥2），經(jīng)檢驗(yàn)n=1時(shí)該式成立，所以不等式轉(zhuǎn)化為所以所以因?yàn)樵坏仁降慕饧癁閧n|n≥4，n∈N*}，所以同時(shí)有n=1，2，3時(shí)不滿足不等式，又因?yàn)殡S著n 的增大而增大，所以f（3）≤m ＜f（4），解得

看完以上兩個(gè)例子后，你對文章開頭的那道題目是不是有了解決的方法了呢？下面我們一起來分析引例.

本題作為解答題最后一題，第3問得分非常低，從條件形式上看，不等式很復(fù)雜，化繁為簡的過程就很繁瑣，尤其是不熟悉“恰有3個(gè)解”這種條件時(shí)，化簡時(shí)更沒有方向.因?yàn)樽罱K目標(biāo)是把m 和n分離開，所以在代入an和bn的通項(xiàng)式后，可先消去左邊不等式分子分母里的系數(shù)2，再對左右兩邊同時(shí)分離常數(shù)，當(dāng)化簡到時(shí)，不需要像前面兩題一樣分離出單個(gè)參量m，只要分離出含有m 的不等式，考慮到只有n=1時(shí)，2n-3＜0，所以先討論n=1，得該不等式顯然成立，再討論n≥2時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為對右邊構(gòu)造函數(shù)Tn，由作差法得右式的單調(diào)性，同時(shí)得出Tn為最小的3個(gè)數(shù)時(shí)n的取值，接下來就能用通法來找到應(yīng)該放置的“夾縫”了.具體解析如下：

解析（1）an=2n-3，bn=2n-2；

（2）略；

總結(jié)例1問題情境簡單清晰，解法過程直指目標(biāo)方法；例2題目條件形式看似與例1不同，若用“正難則反”方法，原問題可轉(zhuǎn)化為不等式方向反向后解集有3個(gè)元素的問題，這與例1條件完全相同，方法自不必再說；引例是一道綜合題，需順利求解得到前2問的正確答案，再代入第3問的不等式，如對找“夾縫”的方法已經(jīng)比較熟悉，則在化簡的過程中自然會(huì)依次想到消系數(shù)、分離常數(shù)和分離參數(shù)的方法，但是分離參數(shù)時(shí)容易機(jī)械地認(rèn)為要分離出單個(gè)參量m，這就增加了難度，相當(dāng)于是一個(gè)誤區(qū)，正確方法是只要分離出關(guān)于參量m 的整體表達(dá)式即可，然后按照通法找準(zhǔn)“夾縫”的兩條邊界線就能得到m 的整體表達(dá)式的范圍，進(jìn)而求出參量m 的具體范圍.