蘇瑞童　閆茂勝　王蕾

【摘 要】基于新疆烏魯木齊市2004-2015年新發(fā)的百日咳數(shù)據(jù)，根據(jù)百日咳的傳播機制，我們建立相應(yīng)的動力學(xué)模型，并根據(jù)模型預(yù)測疾病的波動趨勢。擬合效果較為理想，并計算出烏魯木齊百日咳傳播的基本再生數(shù)R0≈1.1030;預(yù)測結(jié)果表明烏魯木齊百日咳不會消亡仍會繼續(xù)流行，相關(guān)部門應(yīng)加強對疾病的防治控制。

【關(guān)鍵詞】百日咳;動力學(xué)模型;擬合;預(yù)測;基本再生數(shù)

中圖分類號： TV131文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）36-0262-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.36.124

0 引言

百日咳（Pertussis或Whooping Cough）是由百日咳鮑特菌引起的一種可預(yù)防的嚴(yán)重急性呼吸道傳染病[1]，傳染性較強，它通過呼吸道吸入含有百日咳鮑特菌的空氣飛沫被感染。在使用百日咳疫苗以前，百日咳是嬰幼兒死亡的主要原因之一，是全世界最常見10大感染致死性疾病之一。20世紀(jì)初，在嬰兒中病死率高達(dá)10%。1974年全球?qū)嵤U大免疫計劃以來，世界范圍內(nèi)的百日咳得到有效控制，發(fā)病率和病死率大幅下降，但近年來，百日咳在世界范圍內(nèi)大規(guī)模重現(xiàn)，主要涉及嬰兒和青少年[2-3]，百日咳的發(fā)病率呈現(xiàn)出緩慢、穩(wěn)定的增多趨勢[4]。

由于新疆地區(qū)是一個多民族聚居地區(qū)，地廣人稀，經(jīng)濟發(fā)展較為落后，公共衛(wèi)生資源相對缺乏，百日咳疫苗接種率相對較低，導(dǎo)致百日咳發(fā)病率依然處于較高水平。一組由新疆維吾爾自治區(qū)疾控中心報告數(shù)據(jù)顯示，2004-2012年新疆百日咳報告發(fā)病數(shù)3760例，死亡5例，年平均報告發(fā)病率為2.02/10萬居全國百日咳發(fā)病率首位;病例主要集中在0-15歲兒童，占總發(fā)病數(shù)的99.36%。新疆烏魯木齊地區(qū)雖較為發(fā)達(dá)，但人群分布、環(huán)境因素等的影響刺激了百日咳的流行，使得百日咳的患病率逐年上升。在烏魯木齊地區(qū)，患病人群多偏向于兒童和青少年。如何預(yù)防和控制新疆烏魯木齊地區(qū)百日咳的流行逐漸被提上了日程。

百日咳問題不僅是一個公共衛(wèi)生問題，更是一個社會問題、政治問題和經(jīng)濟問題，嚴(yán)重影響著我國人民的健康和家庭幸福，更重要的是影響到社會穩(wěn)定和經(jīng)濟的可持續(xù)發(fā)展，是我國現(xiàn)階段最為突出的公共衛(wèi)生問題之一。百日咳不僅嚴(yán)重威脅人類健康并且是導(dǎo)致年長兒及成人長期咳嗽的常見病因，對新疆社會、經(jīng)濟文化科技的協(xié)調(diào)發(fā)展產(chǎn)生極其負(fù)面的影響。因而，如何控制百日咳在烏魯木齊的傳播與流行是急需迫切需要解決的重要醫(yī)學(xué)和社會問題。

隨著百日咳在世界范圍內(nèi)的傳播和流行，如何預(yù)防、控制百日咳的流行已成為世界各國關(guān)注的重點內(nèi)容之一。近十年以來，國內(nèi)外許多學(xué)者都對百日咳的傳播機制和流行進(jìn)行了研究與分析。文[5]研究了新疆喀什地區(qū)百日咳流行趨勢，利用時間序列分析方法建立了ARIMA乘積季節(jié)模型，結(jié)果較好地擬合及預(yù)測了新疆喀什地區(qū)百日咳的流行趨勢，為新疆喀什地區(qū)百日咳疫情的暴發(fā)流行的控制提供理論依據(jù)。在傳染病研究中，方法還有許多，例如文[6]研究了蓬溪縣1953-1992年百日咳發(fā)病季節(jié)特征，建立了余弦模型，求得了發(fā)病高峰時點及高峰時區(qū)，對疾病的預(yù)防和控制有巨大意義。

目前，對傳染病的研究方法中最基本的方法是描述性研究，文[7]研究了2004-2012年新疆百日咳疫情資料，發(fā)現(xiàn)疾病與人群的構(gòu)成有較大的關(guān)系。在國外，也有較多的學(xué)者對百日咳的流行趨勢和影響因素進(jìn)行了一定程度的研究，但大多數(shù)都是描述性的研究，沒有更進(jìn)一步的提出更好的控制策略。文[8]研究了美國百日咳與哮喘高患病率之間的聯(lián)系，結(jié)果發(fā)現(xiàn)應(yīng)將哮喘患者定義為百日咳疫苗的目標(biāo)群體，這對如何切斷百日咳的流行提供了目標(biāo)基礎(chǔ)。百日咳在嬰兒和青少年中的流行較為嚴(yán)重，但疫苗的產(chǎn)生，能有效降低百日咳的感染率。文[9]研究了拉丁美洲不同國家百日咳的疾病數(shù)據(jù)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)在這個地理區(qū)域中，這些病例中的大多數(shù)都與6個月以下的接受不到三劑疫苗的患者對應(yīng)。在大量的研究中，我們還發(fā)現(xiàn)注射抗生素也能夠有效地預(yù)防百日咳。文[10]研究了國百日咳患病人群的臨床特征，通過對患病人群數(shù)據(jù)的研究，發(fā)現(xiàn)抗生素可以降低百日咳的傳播率，并且提出了一劑Tdap助推器的新建議。

在百日咳的發(fā)生、發(fā)展中，咳嗽是主要的癥狀，如何提高診斷百日咳的靈敏度，這是一大難題。文[11]研究了83例經(jīng)實驗室確診的百日咳患者和1132例未經(jīng)實驗室證實的百日咳，通過進(jìn)行血清學(xué)、聚合酶鏈反應(yīng)來診斷。結(jié)果在百日咳患者中，陣發(fā)性咳嗽的敏感性為90%，特異性為25%。新疆地處祖國邊緣，整體醫(yī)療水平較為落后。如何更好地對百日咳進(jìn)行干預(yù)和控制，表現(xiàn)得更為迫切。

基于以上研究，本文建立切合烏魯木齊市百日咳的傳播規(guī)律的動力學(xué)模型，根據(jù)收集到百日咳病的發(fā)病數(shù)據(jù)，以及其他相關(guān)的其他數(shù)據(jù)（人口數(shù)據(jù)等），采用最小二乘估計等概率統(tǒng)計知識對各種參數(shù)進(jìn)行估計。最后利用數(shù)學(xué)軟件（Matlab）進(jìn)行數(shù)值模擬，驗證分析結(jié)果擬合數(shù)據(jù)并預(yù)測百日咳病的流行趨勢。

1 主要結(jié)果

根據(jù)百日咳的傳播機理，將總?cè)丝趧澐譃樗膫€倉室：易感者（S），潛伏者（E），感染者（I），以及恢復(fù)者（R）。我們給出如下百日咳的傳播流程圖（如圖1所示）。

圖1 百日咳傳播流程圖

進(jìn)而建立如下百日咳的傳播動力學(xué)模型

■=μN（1-p）-■+μS，■=■S-（σ+μ）E，■=σE-（r+μ）I，■=rI+μNP-μR，N（t）=s（t）+E（t）+I（t）+R（t）

其中，S（t）代表t時刻易感者的數(shù)量;E（t）代表時刻潛伏者的數(shù)量;I（t）代表t時刻感染者的數(shù)量;R（t）代表t時刻恢復(fù)者的數(shù)量;N（t）代表t時刻總?cè)丝跀?shù)。參數(shù)的含義解釋如表2所示。

首先，我們把模型（1）中的前四個方程相加，可得到

■≡0

則解出

N（t）≡N0（其中N0為單數(shù)）

顯然，模型（1）有一個唯一的平衡點P0（（1-p）N0，0，0，pN0）

根據(jù)文獻(xiàn)[12-13]中計算下一代再生矩陣及基本再生數(shù)的方法，我們定義

f=■ 0 υ=? （μ+σ）E（r+μ）I-σE

注意到模型（1）中的平衡點為P0，

則可得：

F=■且V=■

則下一代再生矩陣是

FV-1=■

由此可得模型（1）的基本再生數(shù)為R0=ρ（FV-1），其中ρ（FV-1）表示矩陣FV-1的譜半徑，經(jīng)計算可得：

R0=■

定義W（t）為百日咳累計發(fā)病數(shù)，則由模型（1）可得■=■，

根據(jù)圖2所示，可知W（0）=I（0）=10.其模型（1）的其他初值分別假設(shè)為：S（0）=1000000，E（0）=63950，R（0）=1000。

表1 模型參數(shù)值與解釋

利用最小二乘法，采用模型（1）去擬合百日咳的累計發(fā)病數(shù)（見圖2）。在此基礎(chǔ)上估計出β≈0.3672，模型的其他參數(shù)見表2。經(jīng)計算，可得基本再生數(shù)R0=1.1030>1，這表明烏魯木齊百日咳仍會繼續(xù)流行。

圖2 模型擬合2004-2015年烏魯木齊市百日咳累計發(fā)病數(shù)

如圖2所示，橫坐標(biāo)是時間，縱坐標(biāo)是對應(yīng)時間百日咳發(fā)病累積例數(shù)。紅色為實際值，黑色曲線為擬合曲線。由此圖可看出，模型（1）的解基本能擬合出2004-2015年烏魯木齊市百日咳的實際累計發(fā)病數(shù)據(jù)。2004-2015年每年新發(fā)百日咳數(shù)量總體變化較為平穩(wěn)，2015年，烏魯木齊市百日咳累積發(fā)病例數(shù)達(dá)到160余人。

圖3 2004-2035年烏魯木齊市百日咳的累計發(fā)病數(shù)預(yù)測圖

基于表2的參數(shù)值，可利用模型（1）預(yù)測烏魯木齊市百日咳的流行趨勢。如圖3所示，藍(lán)點表示從2004-2015年對應(yīng)百日咳實際累計新發(fā)病數(shù)據(jù)，紅色曲線為使用模型（1）的擬合曲線，綠色部分是擬合曲線的95%置信區(qū)間。從圖3可以看出，保守預(yù)測至2035年，烏魯木齊市百日咳累計新發(fā)病數(shù)會持續(xù)上漲，相關(guān)部門應(yīng)做好百日咳的防治防控措施，提高百白破疫苗的覆蓋率。

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