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生長形態(tài):把握數(shù)學學科知識的新視角*

2019-01-11 18:09王兆正
教學月刊(小學版) 2019年11期
關鍵詞:計數(shù)法高斯數(shù)學教師

□王兆正

通過數(shù)學學習學生能夠獲得什么?一個重要因素取決于數(shù)學教師對于數(shù)學知識的把握程度。筆者把對數(shù)學知識的把握分為兩種不同層次的形態(tài),一種是“這是數(shù)學規(guī)定,知識就是這樣的”,可以稱之為數(shù)學知識抽象后的結論形態(tài);另一種是“為什么會這樣規(guī)定,這個知識怎樣成為這樣的呢”,可以稱之為數(shù)學知識形成中的生長形態(tài)。

荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾說:沒有一種數(shù)學的思想,以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子發(fā)表出來。一個問題被解決后,相應地發(fā)展為一種形式化技巧,結果把求解過程丟在一邊,使得火熱的思考變成冰冷的美麗。正因為數(shù)學知識具有這樣一種抽象性、靜態(tài)化的特征,在研究不同版本的數(shù)學教材后發(fā)現(xiàn),數(shù)學教材多以精練、簡潔的數(shù)學語言進行表述,往往省去了數(shù)學知識的背景描述和探索猜想的思維過程,省去了數(shù)學知識所隱含的數(shù)學思想方法的揭示。

這樣帶來的一個問題是,部分教師把數(shù)學教材中的知識結論簡單地搬運給學生,并反復地加以訓練,以期鞏固?!爸恢v推理,不講道理”。數(shù)學教師對于數(shù)學知識的把握停留于結論形態(tài),而忽視了生長形態(tài)的數(shù)學知識所帶給學生思維的啟蒙和滋潤的價值。張奠宙教授說,數(shù)學教師的任務在于返璞歸真,把數(shù)學的形式化邏輯鏈條恢復為當初數(shù)學家發(fā)明創(chuàng)新時的火熱思考。只有經(jīng)過思考,才能最后理解這份冰冷的美麗。因此,生長形態(tài),應當成為數(shù)學教材解讀、把握數(shù)學學科知識的新視角。

如何從生長形態(tài)的視角把握數(shù)學知識,解讀數(shù)學教材呢?筆者通過追問三個問題、達成三個教學思考來嘗試教學實踐。

追問之一:為什么數(shù)學規(guī)定成這樣

【思考】數(shù)學知識是創(chuàng)造出來的,不是天生就有的

數(shù)學知識中有許多規(guī)定,比如數(shù)學符號“+、-、×、÷”、數(shù)學運算法則先乘除后加減、數(shù)學單位換算進率、數(shù)學各類公式等。但教師往往會覺得,這就是先天既有的規(guī)定,并沒有成為教學資源,從而很少去考慮是誰這樣規(guī)定的,為什么規(guī)定成這樣。

比如在教學“認識多位數(shù)”時,學生和教師都很少感覺到為什么我國的計數(shù)習慣是“四位一級”,而很多講英語的國家是“三位一級”?它們之間有什么區(qū)別?有的教師心目中會自然歸因為這是不同民族的習慣。

但究其根本原因在于文化背景的不同。西方英語國家中沒有“萬”這個名稱,他們的計數(shù)單位分別是one(個)、ten(十)、hundred(百)、thousand(千)、ten thousand(十千)、hundred thousand(百千)、million(百萬)、ten million(十百萬)、hundred million(百百萬)……在這樣的文化背景下,“三位一級”就比較方便,每級分別表示多少個一、多少個千、多少個百萬……而在中國,因為計數(shù)單位包括個、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬……在這樣的文化背景下,自然選擇四位一級,每級分別表示多少個一、多少個萬等。

這樣的例子有很多。每一個數(shù)學規(guī)定都值得我們去追問:為什么數(shù)學規(guī)定成這樣?在這些追問中,學生會發(fā)現(xiàn),數(shù)學知識其實也不是天生就有的,探查其源頭,發(fā)現(xiàn)它們并不神秘和復雜,相反,卻能從中感受到一種非常親切和豁然開朗的感覺:它是數(shù)學家們對生活常識的一種合理遷移和概括。讓學生擁有這樣一種學習經(jīng)歷,那么數(shù)學在他們眼里,一定不會枯燥和深奧,相反,數(shù)學是一種鮮活的事物、創(chuàng)造的啟迪。教師引導學生弄清知識產(chǎn)生的淵源,學生就能更深刻地理解數(shù)學知識。

追問之二:數(shù)學規(guī)定除了這樣,還曾經(jīng)是什么樣子的

【思考】數(shù)學知識經(jīng)歷了優(yōu)化發(fā)展,不是天生這樣的

當前的數(shù)學知識是人類文化發(fā)展歷史積淀下來的精神財富,經(jīng)歷了漫長的發(fā)展、演化的過程,經(jīng)過時間長河的篩選,已經(jīng)相當?shù)耐陚浜途?。但在學生的世界里,他們往往無法感受到數(shù)學發(fā)展過程的艱辛歷程,認為數(shù)學知識就是這樣的,而對數(shù)學的精妙感受不深刻。

比如十進制計數(shù)法。法國數(shù)學家拉普拉斯有一段非常精彩的闡述:用十個符號來表示一切的數(shù),每個符號不但有絕對的值,而且有位置的值,這種很巧妙的方法來自印度。這是一個非常深遠而又重要的思想,它在今天看來是如此簡單,以至我們忽視了它真正的偉績。但正是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便,才使得我們的算式在一切有用的發(fā)明中排列首位。而當我們想到它竟然能夠逃過古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想關注時,我們更加感到這成就的偉大了。

在教學四年級“大數(shù)的認識”時,我們可以引導學生思考:十進制計數(shù)法從古至今就是這樣的嗎?古人又是怎么計數(shù)的呢?我們回顧遠古時候人們使用的石子計數(shù)法(如圈養(yǎng)的禽畜放出去一只放一粒石子,回來再用同樣的方法丟掉以檢查。隨著數(shù)量增加,又規(guī)定數(shù)位堆,每一堆相當于10只)、結繩計數(shù)法(一個結表示1 個,滿10 個打一個大結)、算籌計數(shù)法,再到后來用算盤計數(shù)、位值計算,等等。教師進一步比較、歸納:以上幾種方法雖然形式各不相同,但它們有個共同點就是不同的位置表示不同的數(shù)值。

數(shù)學十進位制的產(chǎn)生,說明數(shù)位順序表是人類經(jīng)過相當漫長的一段時間探索,歷經(jīng)無數(shù)艱辛,在眾多的計數(shù)方法的基礎上漸漸形成的。在這個過程中,學生感受到任何一個數(shù)學知識都不是簡單的,都有其復雜的發(fā)展過程。這樣有利于學生真正深入地去看待數(shù)學知識。

作為數(shù)學教師,我們需要讓學生保持一種理性的精神:為什么會有這樣的規(guī)定,而不是其他的可能呢?數(shù)學規(guī)定曾經(jīng)是什么樣子的呢?讓學生感受到數(shù)學知識不是先天預存的一堆“真理”,它是一步步發(fā)展形成的,因此,是可以被質疑、可以被變化的。

追問之三:除了數(shù)學知識結論,還能給學生什么

【思考】數(shù)學知識發(fā)展背后的規(guī)律及思想就是數(shù)學的魅力所在

數(shù)學教學中,很多數(shù)學學習過程往往都是在教師的“指令”下完成的。學生雖然“經(jīng)歷”了這一學習過程,但卻對這一切究竟是怎樣發(fā)生的毫無感知,也無從感知。當然,學生的數(shù)學學習,不同于數(shù)學家研究過程的簡單復制,也不是數(shù)學發(fā)展史的簡單濃縮,數(shù)學教師應當敏銳地感受到數(shù)學發(fā)展中的“內核”,引導學生真實參與數(shù)學知識的“創(chuàng)造”“發(fā)現(xiàn)”過程。這一學習過程已不只是學生獲得數(shù)學知識的工具,其本身就是學習的內容。

比如教學“認識乘法”時,一種教法是:2+2+2+2 還可以寫成2×4,你發(fā)現(xiàn)2 是什么,4 是什么?你還能模仿寫出一道這樣的算式嗎?這是簡單的結論形態(tài)的數(shù)學知識。另一種教法這樣設計:2+2+2+……+2(100 個2 相加),一口氣讀一讀,你有什么想法?(好長、好累、數(shù)不清楚)你能創(chuàng)造一種簡潔的寫法嗎?教師還可以借機介紹乘號的由來:1631年,英國的數(shù)學家奧托雷德發(fā)明了符號“×”,乘法是由加法而來的,表示幾個相同的數(shù)字相加,所以他把“+”斜過來寫成“×”形,既表示了加法與乘法的關系,又表示了相乘的方法。

在這個過程中,學生學到的不只是知識技能,而是數(shù)學發(fā)展過程中求簡、創(chuàng)新的數(shù)學精神。

再比如許多數(shù)學教師講過高斯的故事:高斯在少年時做一道算術題:1+2+……+98+99+100=( ),高斯迅速算出了正確答案5050。有的教師只是從數(shù)學知識的角度介紹可以一組一組地相加,1+100=101,2+99=101……一共有50組,即101×50=5050,甚至還會歸納出“等差數(shù)列之和=(首項+尾項)×項數(shù)÷2”的結論。其實教師可以從生長形態(tài)的角度,關注高斯的數(shù)學思維活動過程,引導學生模擬場景:首先,高斯看到這個問題的第一感受是什么呢?高斯可能想:這么長的算式,不能直接一個個相加吧?那也太煩瑣了。接著,高斯會怎么想呢?高斯會想,有沒有簡便的計算方法呢?這說明高斯思維的靈活性。然后,高斯會怎么做呢?他的做法是:觀察這些數(shù)字是否有特征?很快,他就發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字依次加1,很有規(guī)律。這也說明高斯思維的直覺性和概括性。最后,高斯順利地解決了問題。這樣,學生在聽故事的過程中,感受到高斯思維變化的過程。這是學生最為寶貴的數(shù)學文化財富。

通過經(jīng)歷這樣的學習過程,學生獲得的是知識背后的數(shù)學思想方法,是不斷生長的活動經(jīng)驗,是支持學生發(fā)展的心理結構與認知結構,使得數(shù)學教學從知識層面躍升到精神層面、認知方法層面,能夠在新情境中自我適應、創(chuàng)生和發(fā)展。

總之,數(shù)學教學中“既有作為科學的數(shù)學,又有作為教育的數(shù)學”,具有數(shù)學知識深刻理解的數(shù)學,教師能夠自覺地自我追問以及引導學生追問:為什么數(shù)學規(guī)定成這樣?除了這樣,還曾是怎樣的?除了結論,還能提供什么?能夠不斷重溫并強化“簡單而有用”的基本思想與經(jīng)驗,使得學生在數(shù)學學習中能夠獲得智慧的啟蒙、素養(yǎng)的滋潤和生長的力量,重新賦予數(shù)學、數(shù)學教學應有的魅力!

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