蔣昌波, 楊揚(yáng), 湯寒松

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非線性流函數(shù)在實驗風(fēng)浪場計算中的應(yīng)用

蔣昌波1, 楊揚(yáng)1, 湯寒松2

1. 水利工程學(xué)院, 長沙理工大學(xué), 湖南 長沙 410114; 2. 土木工程學(xué)院, 紐約城市大學(xué), 美國 紐約 10031

風(fēng)作用于水面產(chǎn)生風(fēng)浪, 其中由于波流紊動產(chǎn)生的動量和能量的交換機(jī)制是一個很復(fù)雜的過程。風(fēng)應(yīng)力一般用來描述這種能量交換, 可以分為3個部分: 水面的剪切力、波生應(yīng)力以及紊動應(yīng)力。采用一種有效的非線性波流分離方法——NSFM(Nonlinear Stream Function Method)對波流運(yùn)動的動量和能量輸移進(jìn)行定性描述。構(gòu)造能夠有效表達(dá)非線性波浪的解析流函數(shù), 攝動求解使其滿足拉普拉斯方程、動力邊界條件和運(yùn)動邊界條件, 結(jié)合實驗室風(fēng)浪數(shù)據(jù), 分離出波生速度場。通過交叉譜分析, 得到波生雷諾應(yīng)力在不同風(fēng)速下對風(fēng)應(yīng)力的貢獻(xiàn)。結(jié)果表明: NSFM對不同工況條件下的風(fēng)浪的處理具有較高的精度, 模型適應(yīng)性良好; 且風(fēng)速越大, 波生應(yīng)力沿著水深衰減得越快, 且自由面波生應(yīng)力在動量輸移中的比重會逐漸減弱。

風(fēng)浪; 波流分離; 流函數(shù)

當(dāng)風(fēng)吹過水面時會產(chǎn)生均勻剪切流、自由面波以及紊動等一系列復(fù)雜的現(xiàn)象, 其中涉及空氣與水的動量能量交換以及波、流、紊動場相互擾動。然而, 對這些復(fù)雜的機(jī)理仍然缺乏定性的描述, 風(fēng)浪相關(guān)問題并沒有完全得到解決。

風(fēng)浪是一個隨機(jī)波浪, 它不同于一般的周期波, 它的歷程往往更多地被解釋為一個隨機(jī)過程。如何實現(xiàn)對風(fēng)浪的定性研究是一個十分復(fù)雜的問題, 因此, 許多專家學(xué)者基于物模實驗對風(fēng)浪進(jìn)行了一系列分析研究。Dean(1965)提出非線性波浪流函數(shù)理論, 較好地模擬了各階非線性波浪, 多用于近海淺水和有限水深處風(fēng)浪模擬。Fenton(1999)同樣給出了非線性波浪流函數(shù)的另外一種表達(dá)形式, 提高了模擬非線性波浪的魯棒性, 但其理論基礎(chǔ)跟Dean(1965)的大同小異。

除此之外, 基于流函數(shù)理論的波流分離技術(shù)發(fā)展得很迅速, Lin等(1984)提出風(fēng)浪中動量交換不僅僅受紊動影響, 同時也受波浪本身的軌跡運(yùn)動影響, 但并沒有給出波生運(yùn)動以及純紊動運(yùn)動的具體分解。最早的波流分離方法——線性濾波法(linear filtration technique,簡稱LFT)由Benilov等(1970)提出。線性濾波法假設(shè)波浪的軌跡運(yùn)動與自由面高程是線性相關(guān), 且紊動和軌跡運(yùn)動一階不相關(guān)。Jiang等(1990)根據(jù)Dean(1965)流函數(shù)理論提出了波流非線性最小二乘解, 在滿足邊界運(yùn)動條件以及動力條件的基礎(chǔ)上對風(fēng)生波流進(jìn)行了分解(nonlinear Stream function method,簡稱NSFM)。Thais等(1995)提出了實驗室風(fēng)浪數(shù)據(jù)的三分解方法(triple decomposition method, 簡稱TDM), 認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的波生速度可以繼續(xù)分解成勢流部分和有旋部分。比較這些方法會發(fā)現(xiàn), Benilov等(1970)提出的LFT假設(shè)波生運(yùn)動和紊動彼此不相關(guān), 但眾多風(fēng)浪實驗研究表明, 這種假設(shè)并不合理; 而TDM方法和NSFM方法的區(qū)別在于, TDM方法假設(shè)風(fēng)浪軌跡運(yùn)動是有旋轉(zhuǎn)的, 而NSFM方法假設(shè)了風(fēng)浪軌跡運(yùn)動是二維和無旋的。Thais等(1995)認(rèn)為軌跡運(yùn)動中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動遠(yuǎn)小于勢流部分, 采用NSFM方法需要根據(jù)實驗結(jié)果進(jìn)一步具體的分析。另外, 非線性流函數(shù)在一些實際問題中也得到了應(yīng)用, 陳小波等(2011)采用流函數(shù)理論模擬了高階非線性波浪, 并計算了近海風(fēng)機(jī)樁柱的非線性波浪載荷問題。邵鈺清等(2014)研究了非線性流函數(shù)波浪理論在考慮洋流作用下的波浪載荷問題。Pierella等(2017)提出了一種新的嵌入流函數(shù)波到線性波的方法, 考慮了現(xiàn)實極端風(fēng)浪對樁柱的非線性載荷。本文基于NSFM方法對實驗室風(fēng)浪數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

本文的目標(biāo)是基于風(fēng)浪物模試驗數(shù)據(jù)對風(fēng)生波流進(jìn)行非線性分解, 對波流及紊動的交互性以及波生量進(jìn)行相關(guān)分析研究?，F(xiàn)實中風(fēng)浪極其不規(guī)則, 關(guān)于風(fēng)浪的定性研究更多的是基于物理實驗。首先, 介紹NSFM分離技術(shù)的理論推導(dǎo)和實現(xiàn)過程; 其次, 驗證了NSFM處理實驗室風(fēng)浪穩(wěn)定時小范圍波浪片段的求解精度, 為模型提供適應(yīng)性檢驗; 最后, 以實驗室風(fēng)浪數(shù)據(jù)為樣本, 通過NSFM分離風(fēng)浪得到波生速度場, 對波生速度在二維方向上進(jìn)行相干性分析, 并比較不同風(fēng)速條件下波生應(yīng)力在空間上以及隨風(fēng)速的變化。

1 數(shù)值模型

1.1 波浪分離方法(NSFM)

事實上, 一般風(fēng)生波流中瞬時速度場可以表示為3個部分:

其中()分別表示傅立葉系數(shù)、傅立葉級數(shù)項數(shù)和水深。形如(4)的流函數(shù)涉及的未知量結(jié)合相關(guān)理論方程在進(jìn)行數(shù)值計算時并不能很好地收斂, 主要原因是方程本身結(jié)構(gòu)的不合理造成的。本文采用Fenton(1999)給出的流函數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬:

其中π表示波數(shù)。通過一些參數(shù)的無量綱化處理, 在數(shù)值計算時提高了方程收斂的穩(wěn)定性和魯棒性。事實上, Jiang 等(1990)和Fenton(1999)流函數(shù)理論, 其本質(zhì)上都是基于Dean非線性流函數(shù)理論發(fā)展得來的。傳統(tǒng)的流函數(shù)方法多基于線性波浪理論, 處理非線性波浪的效果并不好。而非線性流函數(shù)方法在處理非線性波浪時優(yōu)點(diǎn)很多, 更貼近實際波浪情形, 不失為一種較好地處理方法。對于風(fēng)浪這樣的隨機(jī)波浪, 非線性波浪理論在一定程度上彌補(bǔ)了線性波浪理論對于邊界條件處理的不足。拉普拉斯方程以及底部和自由面運(yùn)動邊界條件如下(Jiang et al, 1990; Fenton, 1999):

其中表示自由面高程。在自由面同時需要滿足動力邊界條件(伯努利方程):

其中、分別表示自由面伯努利常數(shù)和重力加速度?？梢园l(fā)現(xiàn), 對于給定非線性波浪波高、周期以及水深的情形下, 不管、()等參數(shù)取值如何, (4)、(5)始終滿足(6)。另外, 伯努利方程(7)式默認(rèn)了自由面壓力為零,為常數(shù), 但在確定、等未知參數(shù)之前,也是未知的。因此, 為了近似滿足動力邊界條件(6)以及確定, 定義如下誤差函數(shù):

因此問題的關(guān)鍵在于對未知量、的確定, 一般采用最小二乘法或者伽遼金方法求解, 但鑒于誤差函數(shù)關(guān)于、為非線性函數(shù), 故需要將其線性化, 通過數(shù)值攝動程序來確定、, 本文采用最小二乘法求解, 即:

需要注意的是, 在攝動求解方程時, 一般先從2的收斂性出發(fā), 但其中涉及預(yù)測高程p。令(5)中=p, 則預(yù)測自由面高程p可以由下列公式給出:

1.2 風(fēng)應(yīng)力的分解

通過波浪分離方法(NSFM)得到時均速度、波生速度以及紊動速度后, 結(jié)合一般風(fēng)應(yīng)力的表達(dá)公式可以將其分解成不同的部分(Veron et al, 2007):

1.3 參數(shù)的確定

本節(jié)以風(fēng)浪水槽實驗數(shù)據(jù)為樣本, 對不同風(fēng)速條件下的風(fēng)浪數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。為了分離波流, 有必要提前確定一些參數(shù)如f。其中,分別為波高、水深和主波周期,f為截取的小段自由面高程數(shù)據(jù)時間長度, 這段數(shù)據(jù)必須盡可能包含多個主波, 且f的選取對計算機(jī)的CPU和內(nèi)存的要求比較高, 故需要根據(jù)實際風(fēng)浪數(shù)據(jù)特征給出合適的取值, 本文以至少包含4個主波為選擇f的依據(jù)。我們將水面高程時間序列數(shù)據(jù)分割成多個小段進(jìn)行波流分離, 最后將每段結(jié)果連接起來就能得到總的時長范圍內(nèi)的波流分離結(jié)果。本文取具有風(fēng)浪趨于穩(wěn)定狀態(tài)時的一段時序數(shù)據(jù)進(jìn)行分析; 根據(jù)Jiang等(1990)給出的風(fēng)浪上限頻率, 依據(jù)公式/f≈11.7Hz便能夠給出傅立葉級數(shù)的分量個數(shù)。顯然, 這些參數(shù)的選取直接關(guān)系到數(shù)值求解的效率以及精度。表1給出了不同工況條件下的風(fēng)浪實驗統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

表1 實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計描述

注:—風(fēng)機(jī)功率;∞—遠(yuǎn)場風(fēng)速;*—摩阻風(fēng)速;1/3—有效波高;rms—均方波高;ave—平均波高;c-rms—均方波峰;t-rms—均方波谷;f—樣本數(shù)據(jù)時間長度。

2 計算結(jié)果

限于篇幅, 下文主要給出了表1中的工況1、3、5的計算結(jié)果。圖1給出了3種風(fēng)速下趨于穩(wěn)定狀態(tài)時的風(fēng)浪波形。根據(jù)傅立葉級數(shù)攝動展開, 給定初步參數(shù)估計。

圖1 自由面高程樣本片段

a. 10Hz; b. 20Hz; c. 30Hz

Fig. 1 Sample of free surface elevation: a) 10 Hz, b) 20 Hz and c) 30 Hz

Jiang等(1990)驗證了NSFM分離技術(shù)計算非線性規(guī)則波的合理性。而利用NSFM在處理類如風(fēng)浪這樣的隨機(jī)波浪時, 更加有必要進(jìn)行模型驗證。NSFM方法結(jié)合非線性自由面邊界條件處理風(fēng)浪時, 涉及一系列的誤差分析檢驗?zāi)Ｐ偷木? 通過采取相關(guān)的參數(shù)預(yù)設(shè)以及調(diào)整, 驗證基于實驗波浪數(shù)據(jù)分離波生速度的合理性。圖2為NSFM方法預(yù)測的自由面高程與實驗數(shù)據(jù)的比對, 這里選取了風(fēng)浪趨于穩(wěn)定狀態(tài)下的特征波形數(shù)據(jù)。顯然, NSFM的計算結(jié)果在不同工況條件下均能很好地匹配試驗數(shù)據(jù), 反映了模型良好的適用性。

上文中(8)式給出了自由面動力邊界條件誤差和運(yùn)動邊界條件誤差, 表2給出了全局誤差和局部誤差的表達(dá)公式。不同工況條件下的計算誤差如圖3所示。

從圖3可以看出, 隨著風(fēng)速的增大, 采用NSFM波流分離的結(jié)果誤差會逐漸增大, 這主要是因為當(dāng)風(fēng)速逐漸增大時, 風(fēng)浪的數(shù)量級也呈現(xiàn)幾何倍數(shù)的增長, 合適的波浪分段取樣(涉及主波個數(shù))以及流函數(shù)階數(shù)的選取對于計算精度有著重要的影響。通過NSFM分離方法分離波生速度場, 得到如圖4所示的自由面波生速度序列。圖4波生速度場的數(shù)量級進(jìn)一步表明, 圖3所示的誤差基本上是可以忽略的, 模型計算精度較高, 在一定范圍內(nèi)是能夠接受的。

圖2 NSFM方法預(yù)測的波形與實驗數(shù)據(jù)的比對

a. 10Hz; b. 20Hz; c. 30Hz

Fig. 2 Comparison of predicted waveforms by NSFM method with experimental data: a) 10 Hz, b) 20 Hz and c) 30 Hz

表2 邊界條件誤差

圖3 動力邊界條件(a)和運(yùn)動邊界條件(b)的局部誤差

關(guān)于波生速度水平分量w和垂直分量w的偏度和峰度描述, 圖5給出了波生速度場的相關(guān)矩統(tǒng)計, 其中+為距離水面的無量綱高度(+=w*/w,w為水的運(yùn)動黏性系數(shù),w*為水面摩阻流速)。從圖中不難發(fā)現(xiàn), 隨著距自由面距離的增大, 無論是水平分量還是垂向分量, 峰度呈一致衰減趨勢; 但對偏度矩而言, 二者并不一致, 水平分量變化較大, 垂向分量基本保持一致。顯然, 在同一風(fēng)速下, 當(dāng)高度變化時, 波生速度在二維方向上的差異更多地體現(xiàn)在偏度矩上的差異。當(dāng)風(fēng)速改變時, 無論是峰度矩還是偏度矩, 水平分量和垂向分量均呈現(xiàn)層次性差異。風(fēng)速增大時, 水平分量和垂向分量的峰度矩逐漸增大, 甚至出現(xiàn)較大程度的跳躍; 另外, 水平分量的偏度矩隨著風(fēng)速的增大而變小, 垂向分量的偏度矩變化不大, 基本維持在零點(diǎn)上方附近。顯然, 在同一高度下, 當(dāng)風(fēng)速變化時, 波生速度在二維方向上的差異更多的是體現(xiàn)在峰度上的差異。為了分析風(fēng)浪形成中動量輸移機(jī)理, 對不同風(fēng)速條件下的波生速度場在二維方向上的關(guān)系有必要進(jìn)行更為細(xì)致的分析。

圖4 波生速度場

a) 10Hz; b) 20Hz; c) 30Hz

Fig. 4 Wave-induced velocity field: a) 10 Hz, b) 20 Hz and c) 30 Hz

圖5 波生速度的矩統(tǒng)計

a. 偏度矩; b. 峰度矩

Fig. 5 Moment statistics of wave-induced velocity: a) skewness moment and b) kurtosis moment

這里采用交叉譜分析方法對計算分離的波生速度的水平分量和垂向分量進(jìn)行相干性分析(Welch,1967), 分析結(jié)果如圖6所示。眾多研究表明, 風(fēng)浪譜是一個窄頻譜, 從圖6中也可以看出這一點(diǎn), 且譜能量主要集中在低頻部分; 在低頻部分, 波生速度的相干性以及相位滯后性隨著水深的變化基本保持一致; 隨著頻率的增大, 不同高度的波生速度的水平分量和垂向分量間的相干性及相位滯后性迅速增大, 顯然, 隨著水深的增大, 波生應(yīng)力迅速減小趨于零; 同時, 隨著風(fēng)速的增大, 主波頻率會逐漸減小, 同一個水深高度下波生速度的水平分量和垂直分量的相干性和相位滯后性在更大頻率范圍內(nèi)保持一致, 間接表明了風(fēng)速越大, 風(fēng)浪越明顯, 是氣水兩相間能量輸移最直觀的體現(xiàn)。

圖6 交叉譜分析

a. 10Hz; b. 20Hz; c. 30Hz

Fig. 6 Cross spectral analysis. a) 10 Hz, b) 20 Hz and c) 30 Hz

圖7 隨水深的變化

a. 10Hz; b. 20Hz; c. 30Hz

3 結(jié)論

風(fēng)浪這一類隨機(jī)波浪比一般的非線性規(guī)則波更為復(fù)雜, 沒有明確的周期或波形, 采用一般的方法會使得計算結(jié)果難以收斂。非線性波流分離方法(NSFM)結(jié)合了非線性的波浪動力邊界調(diào)節(jié)和運(yùn)動邊界條件, 在處理波浪這一類隨機(jī)波時更符合實際情形, NSFM通過攝動求解找尋最優(yōu)解, 能達(dá)到較高的計算精度。

圖8: 在自由面附近與風(fēng)速的關(guān)系

通過NSFM分離出波生速度場的交叉譜分析表明: 風(fēng)浪譜是一個窄頻波譜, 隨著距離水面的距離增大, 波生應(yīng)力迅速減小; 隨著風(fēng)速的增大, 二維風(fēng)浪波生速度的水平分量和垂直分量的相干性和相位滯后性在更大的頻率范圍內(nèi)保持一致, 能量分布更為集中。

風(fēng)浪動量輸移涉及波浪、層流以及紊動等多方面的影響。風(fēng)速較小時, 波生應(yīng)力基本近似等于風(fēng)應(yīng)力, 此時自由面附近的紊動作用以及剪切作用基本上可以忽略不計。風(fēng)速增大時, 波生應(yīng)力仍占據(jù)風(fēng)應(yīng)力的主要組成部分, 只是此時自由面附近的紊動作用開始逐漸增強(qiáng), 不能夠再輕易忽略紊動應(yīng)力以及剪切應(yīng)力對風(fēng)浪的影響。顯然, 隨著風(fēng)速的變化, 自由面附近的能量輸移會越來受到紊動作用的影響。

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An application of nonlinear stream function in analysis of experimental wind-wave field

JIANG Changbo1, YANG Yang1, TANG Hansong2

1. School of Hydraulic Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China; 2. Department of Civil Engineering, The City College of New York, New York 10031, USA

The wind on the water surface can create wind waves. The exchange mechanism of momentum and energy due to the turbulence of wave current is a complicated process. Wind stress is generally used to describe this energy exchange, and can be divided into three components: shear stress, wave induced stress and turbulent stress. An effective nonlinear wave current separation method, namely, the Nonlinear Stream Function Method (NSFM), is used to qualitatively describe the momentum and energy transports between wave and current. An analytical stream function is constructed, which can effectively express nonlinear waves and satisfies the Laplace equation, the boundary condition and the kinematic boundary condition of the water surface, separating the wave-induced velocity field based on the laboratory wind-wave data. Through the cross-spectral technique, the contribution of wave-induced Reynolds stress to wind stress at different wind speed is obtained. The results are as follows. NSFM has higher accuracy and better applicability in treating wind waves under different working conditions. With the increase of wind speed, wave-induced stress decays faster along water depth, and the ratio of wave-induced stress at the free surface to the momentum transport mechanism should be gradually weakened.

wind wave; wave-current separation; stream function

2018-04-11;

2018-06-22. Editor: SUN Shujie

National Natural Science Foundation of China (51239001)

TV139.2; P731.2

A

1009-5470(2019)01-0019-08

10.11978/2018039

2018-04-11;

2018-06-22。孫淑杰編輯

國家自然科學(xué)基金項目(51239001)

蔣昌波(1970—), 男, 陜西省石泉縣人, 教授, 博士。主要從事河流、海岸動力過程及其模擬技術(shù)研究。E-mail: jcb36@163.com

楊揚(yáng)。E-mail: 773483983@qq.com

YANG Yang. E-mail:773483983@qq.com