韓 巍

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根軌跡法在數(shù)字控制系統(tǒng)的應(yīng)用研究

韓 巍

（武漢船用電力推進(jìn)裝置研究所，武漢 430064）

本文以直流伺服電機(jī)為例，介紹了根軌跡在有傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間兩種狀況下在數(shù)字控制系統(tǒng)的具體應(yīng)用。應(yīng)用于傳遞函數(shù)時(shí)，由于校正器零極點(diǎn)對(duì)輸出性能影響很大，因此需要不斷對(duì)系統(tǒng)的根軌跡進(jìn)行改進(jìn)，這種方法依賴經(jīng)驗(yàn)，但是計(jì)算簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)踐。應(yīng)用于狀態(tài)空間時(shí)，根據(jù)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)確定閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，調(diào)節(jié)器參數(shù)與閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)建立了量化關(guān)系，設(shè)計(jì)過(guò)程概念清晰，簡(jiǎn)潔明了，但是計(jì)算量比較大。

根軌跡 數(shù)字控制 傳遞函數(shù) 狀態(tài)空間

0 引言

根軌跡法自從1948年被W.R.Evans提出以后，由于其用作圖的方法表示特征方程的根與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系，不直接求解特征方程，簡(jiǎn)單易行，在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用。根軌跡法具有直觀的特點(diǎn)，利用系統(tǒng)的根軌跡可以分析結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)特性，還可分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。在設(shè)計(jì)線性控制系統(tǒng)時(shí)，可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求確定可調(diào)整參數(shù)以及系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的位置，因此根軌跡法可以用于系統(tǒng)的分析與綜合。另一方面，由于數(shù)字控制相對(duì)于模擬控制有許多優(yōu)越之處，特別是近幾年隨著處理器等微電子技術(shù)突飛猛進(jìn)的發(fā)展，數(shù)字控制的硬件平臺(tái)日益更新更加快數(shù)字控制的推廣應(yīng)用，使之受到廣泛關(guān)注。由于數(shù)字控制存在采樣、保持等環(huán)節(jié)，其控制設(shè)計(jì)和模擬控制有很大不同，因而，研究根軌跡法在數(shù)字控制系統(tǒng)的應(yīng)用很有必要。本文將以直流伺服電機(jī)為例，分別介紹根軌跡在傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程這兩種描述方法下的具體應(yīng)用，并比較其優(yōu)缺點(diǎn)。

1 直流伺服電機(jī)控制

1.1 直流伺服電機(jī)控制模型

直流伺服電機(jī)電樞電壓由反電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻壓降兩部分組成。其中，內(nèi)阻壓降等于電樞電阻乘以電樞電流，由于電樞電阻為常數(shù)，內(nèi)阻電壓與電樞電流成正比；電機(jī)轉(zhuǎn)速和反電動(dòng)勢(shì)成正比，直流伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速控制可以等效為反電動(dòng)勢(shì)電壓的控制。反電動(dòng)勢(shì)無(wú)法直接控制，需要由電樞電壓間接控制，此時(shí)電樞電流可以理解為擾動(dòng)信號(hào)。

本文研究對(duì)象直流伺服電機(jī)=0.2W，C=10/41，T=14/41，則圖1可以轉(zhuǎn)化為圖2的形式。

圖1 額定勵(lì)磁下直流伺服電機(jī)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

圖2 額定勵(lì)磁下直流電動(dòng)機(jī)的函數(shù)圖

1.2 傳遞函數(shù)下的控制模型

圖3 Ial = 0時(shí)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化形式與傳遞函數(shù)

1.3 狀態(tài)空間下的控制模型

式中，

在數(shù)字控制下，常常采用零階保持器（ZOH）。采用周期采樣的離散方式，采樣周期設(shè)為T時(shí)，經(jīng)過(guò)零階保持器后，逆變器連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程式（1）離散化后，可得：

2 根軌跡法在傳遞函數(shù)的應(yīng)用

數(shù)字控制器有兩種設(shè)計(jì)方法:模擬化方法和直接數(shù)字法。在采樣周期足夠小的情況下，把基于連續(xù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的模擬控制器離散化來(lái)得到數(shù)字控制器，為模擬化方法。但是，這種數(shù)字控制器設(shè)計(jì)方法只是一種近似處理，不能實(shí)現(xiàn)只有數(shù)字控制特有的控制策略。直接數(shù)字法就是對(duì)加采樣保持器的被控對(duì)象離散化模型進(jìn)行數(shù)字控制器設(shè)計(jì)。直接數(shù)字法在保持系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)可得到更寬的控制帶寬，這個(gè)優(yōu)點(diǎn)在多環(huán)系統(tǒng)或采樣周期較大時(shí)變得更為顯著，所以數(shù)字控制器最好采取直接數(shù)字化方法設(shè)計(jì)，本文就采取這種方法。

2.1 被控模型的離散

針對(duì)本研究對(duì)象直流伺服電機(jī)，可得：

2.2 離散根軌跡設(shè)計(jì)

離散根軌跡的設(shè)計(jì)分為以下幾個(gè)步驟：

a根據(jù)性能要求，確定閉環(huán)極點(diǎn)的允許范圍；

b獲得控制對(duì)象離散模型；

c根據(jù)純比例控制的根軌跡，選擇校正器；

d設(shè)計(jì)()，并反復(fù)循環(huán)修改。

本文研究對(duì)象超調(diào)、穩(wěn)定時(shí)間的要求為，T￡0.015 s，￡2，=0.01s ；運(yùn)用matlab畫出僅為比例控制的根軌跡如圖4所示。

可以看出，純比例控制時(shí)，系統(tǒng)很容易不穩(wěn)定，況且無(wú)論K取何值，閉環(huán)極點(diǎn)都不可能進(jìn)入期望的區(qū)域，本文以超前校正為例討論根軌跡在傳遞函數(shù)校正的應(yīng)用，當(dāng)考慮適當(dāng)?shù)窒?0.9591時(shí)的極點(diǎn)，則超前校正器可以形如(-0.9594)/(-))的形式[2]。圖5是pole逐步向（-1，0）靠近，分別取值{0.6146，0.1146，-0.1146，-0.4146，-0.8146}時(shí)的根軌跡圖。

圖4 純比例調(diào)節(jié)時(shí)的根軌跡圖

圖5 pole變化時(shí)的根軌跡圖

圖6 控制系統(tǒng)方框圖

根據(jù)性能指標(biāo)要求，選取適當(dāng)?shù)?，在不同極點(diǎn)處的響應(yīng)如圖6所示。從圖6可以看出，值不同時(shí)，有不同的響應(yīng)，在=0.1146時(shí)性能最好，此時(shí)T= 0.016 s，=1.9，滿足指標(biāo)要求。由于s域內(nèi)的超調(diào)、調(diào)節(jié)時(shí)間都可以轉(zhuǎn)化為z域的極點(diǎn)要求，因而可以看出，并不是越小越好，而是有一定的限制范圍，超出范圍，會(huì)引起超調(diào)增加，響應(yīng)變慢等問(wèn)題。

圖7 pole變化時(shí)的響應(yīng)

以上研究了根軌跡法在傳遞函數(shù)的應(yīng)用，通過(guò)直流伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速控制的例子可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用于傳遞函數(shù)時(shí)，根軌跡法簡(jiǎn)單、有效，且易于實(shí)現(xiàn)，但是需要憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行多次的“試湊”。

圖8 極點(diǎn)變化時(shí)響應(yīng)的局部放大圖

3 根軌跡法在狀態(tài)空間中的應(yīng)用

由于PI、PD、PID控制自由度小于閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)，不能對(duì)其進(jìn)行任意配制，也就是不能很好地改善系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)性能；而且在實(shí)際情況中不可避免的存在擾動(dòng)作用，致使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)不能理想地跟蹤參考輸入而產(chǎn)生誤差，因而在實(shí)際情況中，對(duì)狀態(tài)方程下可以采取偏差積分的方式[3]。也稱為狀態(tài)增廣系統(tǒng)數(shù)字控制。

在此基礎(chǔ)上，則可以引入偏差量的積分

由此，可獲得直流伺服電機(jī)狀態(tài)空間方程為：

輸出狀態(tài)方程為：

在滿足(8)的條件時(shí)，此系統(tǒng)完全能控，因而就可以用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配制，就可以保障系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能以及減小穩(wěn)態(tài)誤差。

1π/(k=1,2……) (8)

由于可以用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配制，首先，假設(shè)反饋增益矩陣為，則直流伺服電機(jī)偏差積分狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)方框?yàn)閳D9。

將反饋增益矩陣帶入(6)式，可得：

閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：

如果希望的閉環(huán)極點(diǎn)確定的特征方程為：

結(jié)合(10)和(11)，可以求得反饋增益矩陣。在同樣的要求下，可以設(shè)置如下參數(shù)：=0.8，=5000，=10，采樣周期=50ms，計(jì)算求得1=3.0660*10^6，2=0.0003*10^6，k=0.4324*10^6。圖9和圖10顯示了直流伺服電機(jī)對(duì)指令跟蹤，給定為單位階躍信號(hào)，在=0.08 s、=0.12 s時(shí)候突加、突減負(fù)載。從圖10可以看出，T=0.01 s，=2.1，仿真波形表示此控制效果很好，滿足性能要求。更重要的是，此種設(shè)計(jì)方法對(duì)負(fù)載電流也有很好的抑制效果。

圖9 直流伺服電機(jī)積分狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)方框圖

圖10 直流伺服電機(jī)動(dòng)態(tài)指令跟蹤

以上研究了根軌跡在狀態(tài)方程中的應(yīng)用，可以發(fā)現(xiàn)，在保持系統(tǒng)完全能控的前提下，可以通過(guò)反饋增益矩陣的合理選擇將極點(diǎn)配置在滿足性能指標(biāo)的位置上，建立了量化關(guān)系，設(shè)計(jì)過(guò)程概念清晰，簡(jiǎn)潔明了，控制性能比前面需要依靠經(jīng)驗(yàn)的效果好。但是，此種方法計(jì)算比較復(fù)雜，且在狀態(tài)變量不能直接測(cè)量的情況下需要構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器，對(duì)處理器等電力電子器件的要求比較高。

圖11 直流伺服電機(jī)動(dòng)態(tài)指令跟蹤局部放大圖

4 總結(jié)

本文介紹了根軌跡在傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間這兩種描述方法下的具體應(yīng)用。在應(yīng)用于傳遞函數(shù)時(shí)，需要不斷對(duì)系統(tǒng)的根軌跡進(jìn)行改進(jìn)，超前、滯后等校正器的零極點(diǎn)特別是極點(diǎn)對(duì)數(shù)字控制輸出性能的影響很大，這種方法比較依賴經(jīng)驗(yàn)，但是此種方法且易于工程實(shí)踐。在應(yīng)用于狀態(tài)空間時(shí)，通過(guò)增益反饋矩陣可以與性能指標(biāo)建立量化關(guān)系，對(duì)負(fù)載擾動(dòng)有很好的抑制作用，設(shè)計(jì)過(guò)程概念清晰，簡(jiǎn)潔明了，控制性能也比較好；缺點(diǎn)就是計(jì)算比較復(fù)雜，且有可能需要構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器，對(duì)器件的要求比較高。實(shí)際工程中，要綜合各方面因素綜合考慮確定數(shù)字控制方案。

[1] 陳伯時(shí). 電力拖動(dòng)自動(dòng)控制系統(tǒng)(第二版. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 1992.

[2] 楊國(guó)安. 數(shù)字控制系統(tǒng)-分析設(shè)計(jì)及其實(shí)現(xiàn)[M]. 陜西: 西安交通大學(xué)出版社, 2008.

[3] 彭力. 基于狀態(tài)空間理論的PWM你變電源控制技術(shù)研究. [D]. 武漢: 華中科技大學(xué)圖書館, 2004.

Research on Application of Root Locus Method in Digital Control System

Han Wei

(Wuhan Institute of Marine Electric Propulsion, Wuhan 430064, China)

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TP13

A

1003-4862（2018）12-0040-04

2018-09-12

韓巍(1977-)，男，本科。研究方向：電機(jī)控制。E-mail: 13667228872@163.com