韓元良, 張曉瑾, 文小艷

(華北科技學院 理學院, 河北 廊坊 065201)

1971年,Rosenfeld[1]介紹了模糊群的概念.1979年,Anthony等[2]重新定義了模糊群.從此,群論中很多經典的結論陸續(xù)被推廣到模糊群中.除了研究模糊群的性質之外,一些學者還研究了模糊子群與它們水平集之間的關系.Dixit等[3]借助水平集給出模糊共軛子群的刻畫.Shi等[4]借助水平集給出L-fuzzy子群度及L-fuzzy正規(guī)子群度的刻畫.同時,近些年對L-fuzzy凸結構的研究成果[5-8]也較為豐富.然而,對L-fuzzy凸子群及L-fuzzy凸子群度的研究成果幾乎還沒有.

基于此,本文一方面給出L-fuzzy凸子群和L-fuzzy凸子群度的定義,并借助不同形式的水平集刻畫它.另一方面,借助L-fuzzy凸子群度誘導一種新的L-fuzzy凸結構.

1 預備知識

文中L表示完全分配格,其最大元和最小元分別記為┯和┷.M(L)表示L中所有非零并既約元之集,P(L)表示L中所有非單位素元之集.對?a∈L,由文獻[9]中知a恒有最大極小集和最大極大集,分別記為β(a)和α(a),且β和α分別為保并映射和保交并映射.設X為非空集,LX表示X上的全體L-集,對?A∈LX,a∈L,沿用文獻[10]中的符號,有如下4種形式的水平集:

A[a]={x∈X|A(x)≥a},

A(a)={x∈X|A(x)≤/a},

A(a)={x∈X|a∈β(A(x))},

A[a]={x∈X|a?(A(x))}.

有關水平集的諸多性質可參考文獻[4,9].

設X為非空集,LX表示X上的全體L-集[11],L和M均是完全分配格,┯M代表M的最大元.定義1.2給出了X上的(L,M)-fuzzy凸結構的定義.

定義1.2[8]稱映射C:LX→M為(L,M)-fuzzy凸結構,若滿足以下條件：

(LMC1) C(χ)=C(χX)=┯M;

(LMC2) 若{Ai:i∈Ω}?LX非空,則

(LMC3) 若{Ai:i∈Ω}?LX是非空全序集,則

稱(X,C)為(L,M)-fuzzy凸空間,又稱(L,L)-fuzzy凸結構為L-fuzzy凸結構.

定義1.3[1]設L是完全分配格,A是群G的L-fuzzy子集.若對?x,y∈G滿足

A(xy-1)≥A(x)∧A(y),

則稱A是G的L-fuzzy子群.

2 L-fuzzy凸子群度及其誘導的凸結構

首先給出L-fuzzy凸子群和L-fuzzy凸子群度的定義,借助4種形式的水平集對其進行等價刻畫,最后由L-fuzzy凸子群度誘導出一種新的L-fuzzy凸結構.首先,給出L-fuzzy的凸子群的定義.

定義2.1設L是完全分配格,A是群G的L-fuzzy子集.若對?x,y∈G滿足

A(xy-1)≥A(x)∧A(y),

A(λx+(1-λ)y)≥A(x)∧A(y),

則稱A是G的L-fuzzy凸子群.

接下來,借助完全分配格上的剩余蘊涵算子給出L-fuzzy凸子群度的定義,也即是說,定義每個子集A是G的凸子群的程度.

定義2.2設A是群G的L-fuzzy子集,則A的凸子群度m(A)可定義如下：

A(λx+(1-λ)y),0<λ<1).

由定義2.2容易得到引理2.3.

引理2.3設A是群G的L-fuzzy子集,則m(A)≥a當且僅當

?x,y∈G,A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1)∧

A(λx+(1-λ)y), 0<λ<1.

基于引理2.3,容易得到L-fuzzy凸子群度的等價定義如下.

定理2.4設A是群G的L-fuzzy子集,則

m(A)=∨{a∈L:A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1)∧

A(λx+(1-λ)y),0<λ<1,?x,y∈G}.

接下來,借助4種不同形式水平集給出L-fuzzy凸子群度的4種等價刻畫形式.

定理2.5設A是群G的L-fuzzy子集,則

m(A)=∨{a∈L:?b≤a,A[b]是G的凸子群}.

證明設對?x,y∈G,

A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1)∧A(λx+(1-λ)y),

即

A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1),

且

A(x)∧A(y)∧a≤A(λx+(1-λ)y),

則對?b≤a及?x,y∈A[b],有

A(xy-1)≥A(x)∧A(y)∧a≥b∧a≥b,

A(λx+(1-λ)y)≥A(x)∧A(y)∧a≥b.

這表明xy-1∈A[b],λx+(1-λ)y∈A[b].因此,A[b]是G的凸子群.

反過來,設a∈L及?b≤a,A[a]是G的凸子群.對?x,y∈G,設b=A(x)∧A(y)∧a,則b≤a且x,y∈A[b],因此xy-1∈A[b]且λx+(1-λ)y∈A[b],即

A(xy-1)≥b=A(x)∧A(y)∧a,

A(λx+(1-λ)y)≥b=A(x)∧A(y)∧a.

綜上即證結論成立.

定理2.6設A是群G的L-fuzzy子集,則

m(A)=∨{a∈L:?b?α(a),A[b]是G的凸子群}.

證明設對?x,y∈G,

A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1)∧A(λx+(1-λ)y),

則對?b?α(a)及x,y∈A[b],有

b?α(A(x))∪α(A(y))∪α(a)=α(A(x)∧A(y)∧a).

由

A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1),

A(x)∧A(y)∧a≤A(λx+(1-λ)y),

可得

α(A(xy-1))?α(A(x)∧A(y)∧a),

且

α(λx+(1-λ)y)?α(A(x)∧A(y)∧a).

因此b?α(A(xy-1))且b?α(λx+(1-λ)y),即

xy-1∈A[b],λx+(1-λ)y∈A[b].

從而,A[b]是G的凸子群.

反過來,設a∈L,?b?α(a),A[b]是G的凸子群.假定b?α(A(x)∧A(y)∧a),由

α(A(x)∧A(y)∧a)=α(A(x))∪α(A(y))∪α(a),

可知b?α(a)且x,y∈A[b].因為A[b]是G的凸子群,所以xy-1∈A[b],λx+(1-λ)y∈A[b]成立,即b?α(A(xy-1))且b?α(A(λx+(1-λ)y)),從而A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1)且A(x)∧A(y)∧a≤A(λx+(1-λ)y).綜上即證結論成立.

定理2.7設A是群G的L-fuzzy子集,若滿足β(a∧b)=β(a)∩β(b),則

m(A)=∨{a∈L:?b∈P(L),b≥/a,A(b)是G的凸子群}.

證明設對?x,y∈G,

A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1)∧A(λx+(1-λ)y).

設b∈P(L),b≥/a及x,y∈A(b).下面證明xy-1∈A(b),λx+(1-λ)y∈A(b)成立.若xy-1?A(b),即A(xy-1)≤b,則有A(x)∧A(y)∧a≤b,因此a≤b,這與b≥/a矛盾.因此xy-1∈A(b).同理可證λx+(1-λ)y∈A(b).這表明A(b)是G的凸子群.

反過來,設a∈L,?b∈P(L),b≥/a,A(b)是G的凸子群,只需證明對?x,y∈G,

A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1)∧A(λx+(1-λ)y).

設b∈P(L),A(x)∧A(y)∧a≤/b,則A(x)≤/b,A(y)≤/b,a≤/b,即x,y∈A(b).由于A(b)是G的凸子群,則xy-1∈A(b)且λx+(1-λ)y∈A(b),即A(xy-1)≤/b且A(λx+(1-λ)y)≤/b.這表明

A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1),

A(x)∧A(y)∧a≤A(λx+(1-λ)y).

綜上即證結論成立.

定理2.8設A是群G的L-fuzzy子集,則

m(A)=∨{a∈L:?b∈β(a),A(b)是G的凸子群}.

證明類似上述定理容易證明.

基于群同態(tài)和L-fuzzy凸子群度的定義,可以得到L-fuzzy凸子群度的性質定理.

定理2.9設f:G→G′是群同態(tài),

1) 若A是G的L-fuzzy子集,則

2) 若A是G的L-fuzzy子集且f是單射,則

3) 若B是G′的L-fuzzy子集,則

4) 若B是G′的L-fuzzy子集且f是滿射,則

證明1) 由定理2.4可得

∨{a∈L:A(x)∧A(y)∧a≤

A(z)∧A(w),x,y∈G}=m(A).

2) 因為f是單射,由定理2.3可得

∨{a∈L:A(x)∧A(y)∧a≤A(xy-1)∧

A(λx+(1-λ)y),x,y∈G}=m(A).

B(f(x)f(y-1))∧B(f(λx+(1-λ)y)))≥

B(λx′+(1-λ)y′))=m(B).

4) 由于f是滿射,借助1)可得

最后,借助L-fuzzy子集A的凸子群度m(A)誘導出一個新的L-fuzzy凸結構,也即是說,m可以看作LG到L的一個映射,由下面的定理可知映射m誘導群G上的一個L-fuzzy凸結構.

定理2.10設A是群G的L-fuzzy子集,m(A)是A的L-fuzzy凸子群度,則映射m是G上的一個L-fuzzy凸結構.

證明(LMC1) 顯然,m(χ)=m(χG)=┯.

(LMC2) 設{Ai:i∈Ω}?LX是非空集,需證

Ai(x)∧Ai(y)∧a≤Ai(xy-1)∧Ai(λx+(1-λ)y),

從而

(LMC3) 設{Ai:i∈Ω}?LX是非空全序集,需證

Ai(x)∧Ai(y)∧a≤Ai(xy-1)∧Ai(λx+(1-λ)y).

假定b∈J(L)且b則存在i,j∈Ω使得b≤Ai(x),b≤Ai(y)且b≤a.由于{Ai:i∈Ω}是全序集,假設Aj≤Ai,則

b≤Ai(x)∧Ai(y)∧a≤Ai(xy-1)∧Ai(λx+(1-λ)y),

從而

這表明