田小平, 高曉蕓, 吳成茂

(西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710121)

混沌系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)里的一類特殊動(dòng)力系統(tǒng)，對(duì)給定的初始輸入會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的、偽隨機(jī)的、長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)的輸出?；煦缦到y(tǒng)在生物、醫(yī)學(xué)、物理、工程和技術(shù)等多個(gè)交叉學(xué)科領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價(jià)值[1]。在一些情況下，混沌的無(wú)序性、混亂性、偽隨機(jī)性和初始值高度敏感性是有用的，比如在流體混合、生物系統(tǒng)、保密通信等方面。另一方面，混沌系統(tǒng)具有的遍歷性、偽隨機(jī)性、有界性、對(duì)初始值高度敏感性，使得混沌系統(tǒng)生成的偽隨機(jī)序列很適合于信息加密，具有良好的擴(kuò)散和混亂效果[2]。生成適當(dāng)?shù)幕煦缦到y(tǒng)尤為重要。

目前，大量的研究致力于抵消混沌退化和提高現(xiàn)有混沌系統(tǒng)的性能。這些工作主要分為兩個(gè)方面，一方面是用不同方法干擾現(xiàn)有混沌系統(tǒng)信號(hào)，如文獻(xiàn)[3]提出了一種利用已有的混沌映射獲取新混沌映射的輪切換系統(tǒng)，但生成的新混沌映射的混沌性能有限，不具有魯棒性[4]。文獻(xiàn)[5]引入了一個(gè)參數(shù)控制混沌系統(tǒng)來生成新的混沌映射，生成的混沌映射一些具有好的魯棒性，而有的則混沌性能比較差，不具有穩(wěn)定性[6]。另一方面，是設(shè)計(jì)具有更好混沌性能的新混沌系統(tǒng)。與混沌系統(tǒng)的信號(hào)干擾技術(shù)相比，新混沌系統(tǒng)的產(chǎn)生可以更好地促進(jìn)基于混沌的實(shí)際應(yīng)用，但也具有一定的局限性。如文獻(xiàn)[7]提出了一個(gè)新的一維混沌系統(tǒng)，可以生成具有魯棒性的新混沌映射，其中包含的模塊化操作，使得解析該混沌映射的性能較困難[8]。

為了改善經(jīng)典Logistic、Sine和Tent等映射僅在小范圍內(nèi)具有混沌行為且復(fù)雜性低等不足，本文擬提出一種基于正弦變換的混沌系統(tǒng)(sine-transform-based chaotic system，STBCS)作為一維混沌映射的一般框架。該方法首先對(duì)現(xiàn)有混沌映射的輸出進(jìn)行線性加權(quán)組合，再對(duì)組合結(jié)果進(jìn)行正弦函數(shù)變換并產(chǎn)生新的映射。最后利用Logistic、Sine和Tent三個(gè)經(jīng)典混沌映射構(gòu)造3個(gè)新的混沌例子，通過分叉圖和Lyapunov指數(shù)法檢驗(yàn)該類映射具有的混沌性和魯棒性，并對(duì)該類映射產(chǎn)生序列所對(duì)應(yīng)的樣本熵和Kolmogorov熵進(jìn)行測(cè)試，以分析其復(fù)雜性和不可預(yù)測(cè)性。

1 經(jīng)典的Logistic、Sine和Tent混沌映射

Logistic映射、Sine映射和Tent映射是常見的三種經(jīng)典的混沌系統(tǒng)，它們將被用作種子映射來生成新的混沌映射。

Logistic映射可以在一定范圍內(nèi)存儲(chǔ)和折疊變量，在[0,1]范圍內(nèi)輸出一個(gè)變量[9]。理論上，Logistic映射可以定義為

xi+1=L(xi)=4rxi(1-xi)。

(1)

其中，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸入為xi，輸出為xi+1(i=0,1,2,…)；L(xi)表示Logistic映射；r是控制參數(shù)。

Sine映射是由正弦函數(shù)派生的正弦映射，它將[0,1/π]范圍內(nèi)的輸入角度轉(zhuǎn)換到一定范圍內(nèi)輸出[10]。正弦映射的數(shù)學(xué)模型為

xi+1=S(xi)=rsin (πxi)。

(2)

其中S(xi)表示Sine映射。

Tent映射根據(jù)其范圍拉伸或折疊輸入變量，如果輸入小于0.5，則延長(zhǎng)輸入；否則折疊輸入[11]。Tent映射可以定義為

(3)

其中T(xi)表示Tent映射。

通過系統(tǒng)分叉圖和系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)2個(gè)指標(biāo)可以確定1個(gè)系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)。分叉圖用于描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出范圍及其隨參數(shù)的變化，正的Lyapunov指數(shù)表示存在混沌行為[11]。Logistic映射出現(xiàn)混沌行為的區(qū)間為[3.57,4]，占整個(gè)區(qū)間的比例為10.75%；Sine映射出現(xiàn)混沌行為的區(qū)間為[3.40,4]，占整個(gè)區(qū)間的比例為15%；Tent映射出現(xiàn)混沌行為的區(qū)間為[0.40,1]，占整個(gè)區(qū)間的比例為60%。

2 正弦變換混沌映射

2.1 基于正弦變換混沌系統(tǒng)構(gòu)造方法

基于正弦變換混沌系統(tǒng)構(gòu)造原理，如圖1所示。

圖1 基于正弦變換混沌系統(tǒng)構(gòu)造的原理

圖1中，f(a,xi)和g(b,xi)分別是具有控制參數(shù)a和b的2個(gè)種子映射，該組合能線性地組合2個(gè)種子映射的輸出，正弦變換對(duì)組合的結(jié)果執(zhí)行非線性變換。在每次迭代中，輸入xi被同時(shí)反饋到f(a,xi)和g(b,xi)中，然后對(duì)f(a,xi)和g(b,xi)的組合輸出進(jìn)行正弦變換。

設(shè)N(xi)表示所提出的STBCS，其定義為

xi+1=N(xi)=sin (π(f(a,xi)+g(b,xi)))。

(4)

任何現(xiàn)有的一維混沌映射都可以用作STBCS的種子映射。用戶可將種子映射f(a,xi)和g(b,xi)設(shè)置為相同或不同的混沌映射。

(1) 當(dāng)f(a,xi)和g(b,xi)是相同的一維混沌映射時(shí)，STBCS可表示為

xi+1=sin (π(f(a,xi)+f(b,xi)))。

(5)

或者

xi+1=sin (π(g(a,xi)+g(b,xi)))。

(6)

在該STBCS系統(tǒng)中，2個(gè)不同控制參數(shù)混沌映射輸出線性組合，而并非線性變換以獲得更復(fù)雜的混沌行為，STBCS的混沌性降低。

(2) 當(dāng)所選f(a,xi)和g(b,xi)是2個(gè)不同的一維混沌映射時(shí)，STBCS定義在式(4)具有交換性。交換其2個(gè)種子映射f(a,xi)和g(b,xi)的位置，STBCS會(huì)生成相同的混沌映射。STBCS系統(tǒng)提供了很大的靈活性，使用不同的f(a,xi)和g(b,xi)可以生成大量新的混沌映射。這些新的混沌映射和它們所對(duì)應(yīng)的種子映射完全不同，具有更復(fù)雜的混沌行為。

此外，圖1所表示的STBCS結(jié)構(gòu)可以進(jìn)一步擴(kuò)展為3個(gè)或更多個(gè)種子映射。對(duì)于N個(gè)種子映射的STBCS系統(tǒng)擴(kuò)展原理如圖2所示。

圖2 具有N個(gè)種子映射的STBCS原理

圖2中，每一次迭代會(huì)將輸入xi同時(shí)反饋到N個(gè)種子映射中，即f1(a1,xi),f2(a2,xi),…,fN(aN,xi),并且對(duì)所有種子映射的輸出進(jìn)行正弦變換，這為選擇種子映射提供了靈活性，生成的混沌映射具有更復(fù)雜的混沌行為和參數(shù)設(shè)置，因此它們具有更好的混沌性能，并產(chǎn)生更多的隨機(jī)、不可預(yù)測(cè)的輸出序列。然而利用更多的種子映射可能會(huì)帶來許多一些負(fù)面影響，比如時(shí)間延遲，實(shí)施困難和分析復(fù)雜的問題。

2.2 Lyapunov指數(shù)法分析混沌行為

在所有確定混沌行為的方法中，Lyapunov指數(shù)是重要的、被廣泛接受的指標(biāo)之一[12]。對(duì)于初始狀態(tài)稍有不同的相同混沌系統(tǒng)的2條軌跡，Lyapunov指數(shù)測(cè)量它們的平均指數(shù)散度。對(duì)于1個(gè)可微分的一階差分方程xi+1=f(xi)，Lyapunov指數(shù)可以定義為

(7)

負(fù)的Lyapunov指數(shù)意味著它們軌跡的距離減小，并且隨著時(shí)間的推移，它們將最終重疊，從而能識(shí)別周期性行為。正的Lyapunov指數(shù)表示初始狀態(tài)略有不同的動(dòng)力系統(tǒng)的2個(gè)軌跡在每個(gè)單位時(shí)間內(nèi)呈指數(shù)分布，隨著系統(tǒng)演化它們將完全不同，從而可以識(shí)別混沌行為。如果λf(x)>0，則認(rèn)為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)xi+1=f(xi)具有混沌行為。

為了分析式(4)所對(duì)應(yīng)的STBCS混沌行為，需要首先使用1個(gè)中間方程來表示2個(gè)種子映射的組合。定義STBCS種子映射的組合為

H(xi)=f(a,xi)+g(b,xi)，

則STBCS的定義式可以重寫為

xi+1=N(xi)=sin (πH(xi))。

(8)

(9)

根據(jù)式(7)中Lyapunov指數(shù)的定義，可以得到STBCS的Lyapunov指數(shù)為

(10)

如果一階方程H(x)是混沌的，那么STBCS總是混沌的，它比H(x)和參數(shù)r=1對(duì)應(yīng)的正弦映射都具有更好的混沌性能；如果H(x)不是混沌的，則STBCS也有混沌行為。STBCS是一個(gè)通用的框架，STBCS混沌行為的穩(wěn)健性不能直接分析，穩(wěn)健混沌行為的分析通常適用于有特定表達(dá)式的混沌映射。

2.3 新型混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的3個(gè)例子

使用提出的STBCS，可以設(shè)置不同的一維混沌映射f(a,xi)和g(b,xi)作為種子映射以生成大量新的混沌映射。為了顯示STBCS的有效性，將分析以3個(gè)現(xiàn)有的一維混沌映射生成的3個(gè)新型混沌映射。為了簡(jiǎn)單起見，取控制參數(shù)a、b分別為r和1-r，并按3種不同的方式加以設(shè)置。

(1) Logistic-Sine(LS)映射

當(dāng)選擇種子映射f(a,xi)為L(zhǎng)ogistic映射，g(b,xi)為Sine映射時(shí)，可以生成1個(gè)新型混沌映射，即Logistic-Sine(LS)映射。將其控制參數(shù)a、b分別設(shè)置為r和1-r時(shí)，獲得的LS映射可定義為

xi+1=sin(π(L(r,xi)+S(1-r,xi)))= sin(π(4rxi(1-xi)+(1-r)sin(πxi)))。

(11)

(2) Logistic-Tent(LT)映射

當(dāng)選擇種子f(a,xi)為L(zhǎng)ogistic映射，g(b,xi)為Tent映射時(shí)，可以生1個(gè)新型混沌映射，即Logistic-Tent(LT)映射。將其控制參數(shù)a、b分別設(shè)置為r和1-r時(shí)，對(duì)應(yīng)的LS映射可定義為

(12)

其中，P=4rxi(1-xi)。

(3) Tent-Sine(TS)映射

當(dāng)選擇種子映射f(a,xi)為Tent映射，g(b,xi)為Sine映射時(shí)，可以生1個(gè)新型混沌映射，即Tent-Sine(TS)映射。將其控制參數(shù)a、b分別設(shè)置為r和1-r時(shí)，對(duì)應(yīng)的LS映射可定義為

(13)

其中，Q=(1-r)sin(πxi)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文所提出的STBCS系統(tǒng)可以生成具有更好混沌性能的新混沌映射。擬評(píng)估由STBCS生成的3個(gè)新的混沌映射，并將這些新的混沌映射與其相應(yīng)的種子映射進(jìn)行比較。具體從分叉圖、Lyapunov指數(shù)、樣本熵(sample entropy, SE)[13]和Kolmogorov熵[14]4個(gè)方面進(jìn)行分析。

3.1 混沌性和魯棒性分析

分叉圖用于描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出范圍及其隨參數(shù)的變化，不僅能揭示系統(tǒng)不同狀態(tài)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，也是研究失穩(wěn)和混沌產(chǎn)生的機(jī)理和條件的重要途徑，分叉與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定有著十分密切的聯(lián)系。LS映射、LT映射、TS映射隨著其控制參數(shù)r變化的分叉圖，如圖3所示。

(a) LS映射的分叉圖

(b) LT映射的分叉圖

(c) TS映射的分叉圖

從圖3可以看出，LS、LT、TS映射的分叉圖均隨機(jī)均勻分布在所有參數(shù)范圍內(nèi)，占整個(gè)區(qū)間的100%，表明新產(chǎn)生的3個(gè)混沌映射在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)具有魯棒性的混沌行為。

運(yùn)用Lyapunov指數(shù)進(jìn)行比較說明，更能突出問題。Lyapunov指數(shù)是定量描述這一現(xiàn)象的量，即衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo)，表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。對(duì)于系統(tǒng)是否存在動(dòng)力學(xué)混沌，可以從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零直觀地判斷出來，只要存在一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，就說明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，且Lyapunov指數(shù)正值越大表示性能越好。LS、LT、TS映射以及它們種子映射的Lyapunov指數(shù)，如圖4所示。

(a) LS映射及其種子映射的Lyapunov指數(shù)

(b) LT映射及其種子映射的Lyapunov指數(shù)

(c) TS映射及其種子映射的Lyapunov指數(shù)

從圖4中可以看出，種子映射僅在少數(shù)的參數(shù)范圍內(nèi)具有正Lyapunov指數(shù)，由所提出的STBCS方法生成的新混沌映射的Lyapunov指數(shù)在參數(shù)r∈[0.25,1]范圍內(nèi)均為正，這意味著新的混沌映射在參數(shù)r∈[0.25,1]范圍內(nèi)都具有混沌行為，且由STBCS生成的3個(gè)混沌映射比由它們對(duì)應(yīng)的種子映射生成的混沌映射具有更大的Lyapunov指數(shù)，這表明它們有良好的混沌性和魯棒性。

3.2 復(fù)雜性分析

樣本熵來源于近似熵，是對(duì)時(shí)間序列復(fù)雜度的度量，它可以用來描述由動(dòng)態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生序列的相似性[15]。樣本熵越大，其規(guī)律程度越低，即動(dòng)態(tài)系統(tǒng)越復(fù)雜。由STBCS生成的新混沌LS映射和它的種子映射即Logistic、Sine映射的SE曲線圖如圖7(a)所示，新混沌LT映射和它的種子映射即Logistic、Tent映射的SE曲線圖如圖7(b)所示，新混沌TS映射和它的種子映射即Tent、Sine映射的SE曲線圖如圖7(c)所示。

(a) LS映射以及它們種子映射的樣本熵

(b) TS映射以及它們種子映射的樣本熵

(c) TS映射以及它們種子映射的樣本熵

可以觀察到由所提出的STBCS生成的所有新混沌映射在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)的SE值均大于其種子映射即Logistic映射、Sine映射和Tent映射的SE值。表明STBCS生成的新混沌映射規(guī)律程度低，即動(dòng)態(tài)系統(tǒng)更具復(fù)雜性。

3.3 不可預(yù)測(cè)性分析

Kolmogorov熵是一種度量熵，為有限對(duì)象的隨機(jī)性提供了數(shù)學(xué)解釋[16]。Kolmogorov熵表示使用其先前t次輸出軌跡需要多少額外信息去預(yù)測(cè)第(t+1)次輸出。Kolmogorov熵意味著需要額外的信息來預(yù)測(cè)軌跡，Kolmogorov熵越大表示所需的信息越多。具有正Kolmogorov熵的動(dòng)力系統(tǒng)被認(rèn)為是不可預(yù)測(cè)的，更大的Kolmogorov熵意味著更好的不可預(yù)測(cè)性。LS、LT、TS映射及其種子映射的Kolmogorov熵，如圖6所示。

(a) LS映射及其種子映射的Kolmogorov熵

(b) LT映射及其種子映射的Kolmogorov熵

(c) TS映射及其種子映射的Kolmogorov熵

從圖6中可以看出，STBCS生成的新混沌映射，即LS映射、LT映射和TS映射可以在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)獲得正Kolmogorov熵，并且它們的Kolmogorov熵值遠(yuǎn)大于它們對(duì)應(yīng)的種子映射的Kolmogorov熵值，這意味著所提出的STBCS可以生成更好的、不可預(yù)測(cè)的混沌映射，其混沌性能更優(yōu)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于正弦變換的STBCS混沌系統(tǒng)，可作為生成一維混沌映射的一般框架。STBCS混沌系統(tǒng)首先線性加權(quán)地組合2個(gè)現(xiàn)有混沌映射的輸出，然后對(duì)組合結(jié)果執(zhí)行正弦變換得到新的混沌系統(tǒng)。為了證明STBCS生成的新混沌映射的有效性，列舉出了3個(gè)用該方法構(gòu)造的新混沌映射，通過matlab仿真軟件分析了它們的動(dòng)力學(xué)特性。利用分叉圖、Lyapunov指數(shù)、樣本熵和Kolmogorov熵進(jìn)行性能分析和評(píng)估。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于正弦變換的混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的新的混沌映射在整個(gè)區(qū)間上出現(xiàn)混沌行為的比例為100%，相較于原有經(jīng)典的Logistic、Sine、Tent映射出現(xiàn)混沌行為的比例分別提高了89.25%、85%、40%，最大的Lyapunov指數(shù)提高了0.5個(gè)單位，樣本熵和Kolmogorov熵也均有所提高。STBCS生成的新混沌映射比其相應(yīng)的種子映射產(chǎn)生的混沌映射具有更大的混沌范圍、魯棒性，更好的復(fù)雜性和不可預(yù)測(cè)性。