李林峰，張激揚，羅睿智

0 引 言

反作用輪是控制航天器姿態(tài)穩(wěn)定與機動的重要執(zhí)行機構(gòu).由其內(nèi)部轉(zhuǎn)子動、靜不平衡量等引起的微振動力，傳遞至航天器本體后，會對高精度光學(xué)載荷的工作產(chǎn)生不利影響.通過額外布置隔振器，可以在寬頻范圍內(nèi)降低反作用輪產(chǎn)生的擾振力[1]. 從有無閉環(huán)控制角度看，被動隔振器不加閉環(huán)控制；主動隔振器完全依賴閉環(huán)控制而未配置彈簧、阻尼，失效風(fēng)險大；因此，結(jié)合二者優(yōu)勢的主-被動混合隔振器[2-3]獲得了廣泛的應(yīng)用.從隔振器構(gòu)型設(shè)計看，由于經(jīng)典的六支腿Stewart構(gòu)型[4]體積、質(zhì)量大，隨著對隔振設(shè)計輕量化、小型化需求的增加，近些年，低于六自由度的并聯(lián)構(gòu)型隔振器[5]吸引了研究者們的關(guān)注.堆型壓電執(zhí)行器(piezoelectric stack actuator，PSA)響應(yīng)快、體積小、能量密度大，是一種常用的作動器，但其存在的遲滯非線性會影響主動隔振性能.

根據(jù)擾動的特點，研究者們設(shè)計了不同原理的主動隔振控制器.例如，文獻[6]設(shè)計了多頻率、自適應(yīng)的陷波器，以抑制磁盤驅(qū)動器的共振模態(tài)的峰值.針對未知、時變的窄頻擾動力[7]，文獻[8]設(shè)計了基于擾動觀測器和內(nèi)模原理的反饋控制器，但由于高度依賴擾動模型，在頻率相近的多頻擾動作用下，控制效果不甚理想.考慮到建模、求解的復(fù)雜性，在多輸入多輸出主動隔振系統(tǒng)中應(yīng)用H∞控制器具有一定優(yōu)勢.文獻[9]利用H2/H∞混合控制的方法，改進了控制器降階后隔振性能和魯棒穩(wěn)定性下降的問題. 此外，相比于回路成形、μ綜合等其他H∞控制器，模型匹配的H∞控制器可以在設(shè)計階段，直接配置閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼，同時具有階次相對低、運算實時性好等優(yōu)點[10].

1 系統(tǒng)描述

針對某型50N·m·s大力矩反作用輪，設(shè)計了一款基于PSA的三自由度主-被動隔振器，體積和重量上均具有優(yōu)勢.如圖1所示，隔振器采用四支腿構(gòu)型，包括3個相互正交的斜支腿和一個豎直支腿. 豎直支腿由蝶形錐彈簧構(gòu)成，額外提供豎直方向的剛度. 每個斜支腿中布置有一個PSA，提供主動力；彈簧阻尼模塊由蝶形錐彈簧、金屬橡膠組成，并與PSA串聯(lián)，提供被動隔振的彈性與阻尼；支承軸套起連接與固定作用，并保護PSA不受切向力或力矩. 在使用時，隔振器上平臺與反作用輪剛性連接，下平臺與航天器的艙壁相連.

主動隔振的設(shè)計目標(biāo)為：時域上，將被動隔振的輸出進一步降低20%；頻域上，設(shè)定控制帶寬200 Hz，增加系統(tǒng)阻尼，削減被動隔振特征頻率處，三方向加速度傳遞率的峰值.由此，本研究設(shè)計了內(nèi)、外兩環(huán)構(gòu)成的復(fù)合控制系統(tǒng)，如圖2所示. 內(nèi)環(huán)控制利用粘于PSA表面的橋式應(yīng)變傳感器(strain gauge sensor，SGS)，反饋其軸向位移，功能是補償PSA遲滯引起的穩(wěn)態(tài)誤差；而外環(huán)控制直接反饋隔振器下平臺的三軸加速度信號，實現(xiàn)主動隔振.

對于內(nèi)環(huán)(位移環(huán))控制，為了降低其影響外環(huán)帶寬的可能，本研究采用了PI控制器，其優(yōu)點是結(jié)構(gòu)簡單、待調(diào)參數(shù)少、帶寬配置方便等. 對于外環(huán)(加速度環(huán))控制，本研究采用了靜態(tài)解耦器和模型匹配H∞控制器串行的方案. 在進行控制設(shè)計前，作兩點假設(shè)：

假設(shè)1.設(shè)下平臺加速度輸出a=[axayaz]T，主動力單獨作用的加速度輸出ac=[acxacyacz]T，擾動力單獨作用的加速度輸出ad=[adxadyadz]T，三者的關(guān)系滿足：a=ac+ad.即：主動力控制通路與擾動力傳遞通路二者獨立，且下平臺加速度是兩個通路輸出的線性疊加.

假設(shè)2.設(shè)PSA軸向輸出位移為δi(i=1,2,3)，此處假定由ad到δi的傳遞為零，即外環(huán)擾動對內(nèi)環(huán)反饋無影響. 實際上，PSA的剛度系數(shù)相當(dāng)大，約為2.5×107N/m，上述傳遞可忽略不計.

圖1 隔振器結(jié)構(gòu)元件示意圖Fig.1 Structural composition of the target isolator

圖2 復(fù)合控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Architecture of the composite control system

2 內(nèi)環(huán)控制的分析與設(shè)計

2.1 單斜支腿的動力學(xué)模型

沿斜支腿軸向，我們首先建立了它的動力學(xué)模型，原理圖如圖3所示.忽略重力的作用，寫出相應(yīng)的動力學(xué)方程：

式(1)中各變量的含義如表1所示.簡便起見暫略去腳標(biāo)i，壓電堆凈伸長δ為

δ=x0-x1-L

(2)

式中，L為壓電堆靜長度(m).接著，壓電堆凈輸出力fex可通過靜伸長δ、輸入電壓V、非線性遲滯量h確定

fex=kp(gV+h-δ)

(3)

式中g(shù)表示控制電壓系數(shù)

g=AYd33N/(kpL)

(4)

其中：A為壓電堆截面積(m2)、Y為零電場時彈性模量(N/m2)、d33為壓電充電常數(shù)(C/N)、為壓電堆層數(shù).利用Bouc-Wen模型[11]描述非線性遲滯量h：

(5)

對于壓電堆執(zhí)行器一般取n=1，進而遲滯的幅值與形狀可完全由3個比例系數(shù)α,β,γ表征.

圖3 單斜支腿動力學(xué)原理圖Fig.3 Body diagram of each oblique leg

表1 單支腿動力學(xué)方程變量及其含義Tab.1 Parameters and their corresponding physical sense in dynamic equations of each oblique leg

變量含義mrw/kg反作用輪質(zhì)量m/kg單支腿運動部分等效質(zhì)量M/kg下平臺固聯(lián)剛體質(zhì)量x0/x1/x2/m壓電堆上端位移/壓電堆下端位移/下平臺固聯(lián)剛體位移fex/fdis/N壓電堆凈輸出推力/反作用輪運行擾動力kp/k/(N/m)壓電堆本體剛度/支腿串聯(lián)剛度c/(N/m)支腿串聯(lián)阻尼

2.2 閉環(huán)分析與驗證

式(1)～(5)描述了單支腿的開環(huán)動力學(xué)，對PSA施加PI控制

(6)

式中,Kamp為電壓放大器增益，KP和KI分別為比例和積分增益，ui為參考輸入，Ksgs為位移傳感器放大系數(shù).由于PSA僅能承受正向電壓，其輸入電壓可通過單極性的飽和函數(shù)表示：

(7)

綜合式(1)～(7)，得到內(nèi)環(huán)系統(tǒng)的完整閉環(huán)解析模型.

為了驗證PI控制器的閉環(huán)控制效果，在采樣頻率Fs=2 kHz的條件下，設(shè)計了兩組實驗. 第一組實驗輸入階梯信號和低頻掃頻信號至單個PSA，幅值0～12 μm；第二組實驗輸入混合頻率的高頻正弦信號(18 Hz/38 Hz/138 Hz)至PSA，幅值0～15 μm；設(shè)定PI控制器增益為KP=6，KI=7.1×103，分別記錄開、閉環(huán)情況下的PSA軸向輸出位移，結(jié)果如圖4所示.

圖4 單個PSA開、閉環(huán)跟蹤效果對比圖(上：階梯與掃頻；下：動態(tài))Fig.4 Results comparison between open-loop & closed-loop PSA tracking of steps and dynamic signals

由結(jié)果可知：a)輸入階梯信號時，開環(huán)跟蹤存在由遲滯引起的穩(wěn)態(tài)誤差，且隨階躍幅度的增大而增大(最大約1.5 μm)；閉環(huán)跟蹤可以有效補償該誤差. b)輸入動態(tài)信號時，開環(huán)跟蹤同樣存在滯后與誤差，體現(xiàn)在輸出峰-峰值的折損(約17%)，并且該誤差在指令下降時大于指令上升(這是由于壓電堆卸荷過程比充電過程的時間更長)；閉環(huán)后該誤差被有效補償.

綜上，如果不引入內(nèi)環(huán)控制，PSA在跟蹤外環(huán)指令時將損失部分動態(tài)位移，進而不能輸出足量的控制力. 值得注意的是，盡管 PI控制有效補償了峰-峰值誤差，但輸出仍與指令存在約1.5 ms的時延.

3 外環(huán)控制的分析與設(shè)計

外環(huán)控制由解耦器和H∞控制器兩部分串聯(lián).其中，解耦器的功能是分配控制增益，由隔振器的幾何特征進行計算得到.在H∞控制器的設(shè)計中，將利用辨識得到的系統(tǒng)模型，通過增廣輸入輸出、定義理想模型，將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化成一般的求解次最優(yōu)∞范數(shù)問題，再經(jīng)過求解、降階、離散化，最終得到滿足指標(biāo)要求的控制器.

3.1 解耦器的設(shè)計

為了對控制量進行合理的比例分配，需要根據(jù)隔振器的幾何形狀，設(shè)計一個解耦器.首先定義兩組坐標(biāo)系.設(shè)與第i個支腿固聯(lián)的本體坐標(biāo)系{Oi-xiyizi}，原點Oi位于PSA質(zhì)心，Oi-zi沿支腿軸向向上，Oi-xi在支腿軸向縱剖面內(nèi)，垂直支腿軸線向下，Oi-yi由右手定則確定；設(shè)下平臺固聯(lián)坐標(biāo)系{Ob-xbybzb}，原點Ob位于下平臺中心，三坐標(biāo)軸方向的定義與輸出加速度的3個方向一致.定義Oi-zi與豎直方向的夾角為φ，O2-x2在水平面的投影與Ob-xb的夾角為θ.

考慮第i個PSA作動時，將僅沿Oi-zi方向產(chǎn)生某個力，假想此力不加衰減地傳遞到{Ob-xbybzb}3軸，該過程輸入輸出之間的傳遞可由一個3×3的傳遞矩陣T表征

(8)

接著，解耦器DS設(shè)計為該傳遞矩陣的逆：

DS=T-1(φ,θ)

(9)

3.2 H∞控制器的設(shè)計

3.2.1 模型描述與辨識

首先，考慮外環(huán)被控對象的輸入輸出：將PSA控制輸入，定義為外環(huán)控制的輸入u=[u1u2u3]T;隔振器上平臺的三軸加速度作為擾動輸入d=[aupxaupyaupz]T;定義隔振器下平臺的3軸加速度為輸出y=[axayaz]T.接著，外環(huán)被控對象可以被劃分為兩個傳遞路徑，即控制通路和擾動通路，傳遞函數(shù)矩陣分別記為Gu和Gd. 擾動通路Gd表征了隔振器的被動隔振特性；控制通路Gu由3個3×3的傳遞函數(shù)矩陣串聯(lián)

Gu=DSGpztGx2a

(10)

式中,DS為解耦器，Gpzt為PSA閉環(huán)動力學(xué)傳遞函數(shù)矩陣，Gx2a為PSA軸向位移到y(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣. 綜上，結(jié)合假設(shè)1，被控對象的模型可由圖5描述. 求解反饋控制器K3×3是下一步的設(shè)計目標(biāo).

此處，我們直接利用系統(tǒng)辨識的方法獲得Gd與Gu的模型. 設(shè)定采樣頻率為2 kHz，對于擾動通路，輸入上平臺一個寬頻擾動信號，收集上、下平臺的3軸加速度數(shù)據(jù)；對于控制通路，分別獨立向3個支腿輸入10～200 Hz、全行程的掃頻信號，下平臺加速度作為輸出；接著，經(jīng)過10～200 Hz帶通濾波后，使用N4sid子空間辨識算法對兩組輸入輸出數(shù)據(jù)進行求解，并利用平衡截斷方法對模型降階. 最終結(jié)果如表2所示，Gd和Gu均分別由6階的連續(xù)狀態(tài)空間模型(Ad,Bd,Cd,Dd)和(Au,Bu,Cu,Du)給出，傳遞函數(shù)和對應(yīng)矩陣之間的具體關(guān)系為：

(11)

圖5 外環(huán)被控對象描述模型Fig.5 Model description of outer loop plant

3.2.2 問題形成與求解

為了求解反饋控制器K3×3，在前一小節(jié)定義的描述模型的基礎(chǔ)上，進一步引入測量噪聲n、性能輸出z和理想模型M，得到增廣后的閉環(huán)控制系統(tǒng)，如圖6所示.各環(huán)節(jié)的具體含義為：G的定義同圖5虛線框內(nèi)的部分，是系統(tǒng)的開環(huán)被控對象；M為滿足性能指標(biāo)的理想系統(tǒng)，也是閉環(huán)控制系統(tǒng)的匹配目標(biāo)，是待設(shè)計環(huán)節(jié)之一；r是參考輸入，其引出的兩路之一直接輸入給理想系統(tǒng)M，另一路與實際系統(tǒng)的輸出y作差輸入至反饋控制器K;Wn、Wp、Wu分別是對單位有界噪聲n、匹配誤差e1和控制量u傳遞的加權(quán)矩陣，也是3個待設(shè)計環(huán)節(jié). 定義廣義外部輸入w=[rdn]T和性能輸出z=[z1z2]T，則閉環(huán)控制下二者之間的傳遞為

(12)

式中:So=(I+GK)-1，Si=(I+KG)-1分別為輸出、輸入靈敏度傳遞矩陣. 至此，問題形成為一般的H∞控制設(shè)計問題：首先確定理想系統(tǒng)M和加權(quán)矩陣Wn、Wp、Wu，接著求解鎮(zhèn)定的反饋控制器K，使(12)式中傳遞函數(shù)矩陣的‖·‖∞范數(shù)最小化.

表2 擾動通路和控制通路的模型參數(shù)Tab.2 Model parameters of disturbance and control transmission path

圖6 增廣后的閉環(huán)系統(tǒng)示意圖Fig.6 Block diagram of extended closed-loop system

(13)

M的模態(tài)特征值、頻率和阻尼比，如表3所示.

其次，考慮加權(quán)矩陣的設(shè)計.由于對稱性，Wn、Wp、Wu均設(shè)計為對角元素相同的3維對角矩陣，分別定義它們的對角元素為wn、wp、wu.上述對角元素須滿足穩(wěn)定、最小相位：

(14)

(15)

(16)

它們各自的頻域特性曲線對比如圖7所示由于加速度計的測量噪聲隨信號頻率增加而增大，wn設(shè)計為高通濾波器：低頻段噪聲弱，濾波器幅值低，對測量噪聲的加權(quán)權(quán)值較低；高頻段噪聲強，濾波器幅值高，加權(quán)值高.而wp和wu二者相關(guān)，分別設(shè)計為低通和高通濾波器：在閉環(huán)控制的設(shè)定帶寬200 Hz范圍內(nèi)，低頻段匹配理想模型的需求明顯，因此wp幅值較大；隨著頻率的增加，PSA的動態(tài)輸出能力有所衰減，此段應(yīng)盡量滿足能量最優(yōu)，wu幅值增大而wp幅值降低，有利于節(jié)省控制能量消耗.

表3 理想模型M的特征值、頻率和阻尼比Tab.3 Eigenvalues, frequencies and damping ratio of matching model

圖7 3個加權(quán)矩陣對角元素的頻域特性對比Fig.7 Comparison on frequency characteristic of three weighting matrices’ diagonal elements

再次，利用求解雙Riccati方程的經(jīng)典算法[12]，計算得到24階的次最優(yōu)H∞控制控制器；接著，再次利用平衡截斷方法對結(jié)果進行降階，控制器被簡化為6階；設(shè)定采樣頻率為2 kHz，經(jīng)過雙線性變換離散化，最終得到的控制器為

(17)

其中K(z)的分子、分母的具體表達式如表4所示.

表4 控制器K(z)的分母分子表達式Tab.4 Expression of controller K(z)’s denominator and nominators

4 實驗驗證

為了驗證復(fù)合控制的效果，我們搭建了綜合測試平臺.平臺由振動控制系統(tǒng)、反作用輪及其驅(qū)動組件、微振動測試臺組成，其實物圖如圖8所示.振動控制系統(tǒng)的底層包括了傳感器、執(zhí)行器、信號處理器、放大器、I/O板卡、處理器和上位機PC，它們的具體型號和連接關(guān)系如圖9所示.其中，信號調(diào)理儀為加速度計提供恒流源，并對輸出電壓提供濾波與放大；毫伏放大器放大SGS毫伏級的輸出電壓至伏級；電壓放大器將0～10 V的控制電壓放大至0～100 V，用以驅(qū)動PSA.上位機提供MATLAB SIMULINK開發(fā)環(huán)境，利用PXI-8840處理器和實時仿真模塊，實現(xiàn)實時控制. 反作用輪的驅(qū)動方式為閉環(huán)直流驅(qū)動，可以精確控制輪體轉(zhuǎn)速.微振動測試臺用以隔離由地基傳遞的振動.

1)反作用輪穩(wěn)速工況下的控制效果.

設(shè)定反作用輪穩(wěn)定在1 500 r/min和3 000 r/min兩個轉(zhuǎn)速，分別記錄開環(huán)和閉環(huán)情況下的加速度輸出，結(jié)果對比的時域曲線分別如圖10和圖11所示.由于傳感器兩通道的動態(tài)特性不完全一致，結(jié)果示出的x、y方向加速度并不對稱，但閉環(huán)結(jié)果相比于開環(huán)結(jié)果均有不同程度的衰減：a)1 500 r/min情況下，3軸輸出加速度的時域均方誤差值(RMS)，由開環(huán)時的{2.71×10-2，1.97×10-2，6.88×10-3}m/s2，降低至{1.91×10-2，1.31×10-2，5.72×10-3}m/s2，衰減率為{29.5%, 33.5%, 16.9%}；b)3 000 r/min情況下，3軸輸出加速度的RMS由開環(huán)時的{1.74×10-2，2.21×10-2，6.41×10-3}m/s2，降低至{1.31×10-2，1.65×10-2，3.81×10-3}m/s2，衰減率為{24.7%, 25.3%, 43.7%}.因此，上述兩個轉(zhuǎn)速情況的結(jié)果基本滿足時域設(shè)計目標(biāo)要求.

圖8 綜合測試平臺實物圖Fig.8 Photograph of the overall test bench

圖9 振動控制系統(tǒng)的硬件、軟件連接關(guān)系Fig.9 Implementation and inter-connection of the vibration control system’s hardware and software

圖10 反作用輪穩(wěn)速工作在1 500 r/min時，開、閉環(huán)輸出加速度時域曲線對比Fig.10 Comparison of open-loop & closed-loop time-domain output accelerations during RWA’s working at 1 500 r/min

圖11 反作用輪穩(wěn)速工作在3 000 r/min時，開、閉環(huán)輸出加速度時域曲線對比Fig.11 Comparison of open-loop & closed-loop time-domain output accelerations during RWA’s working at 3 000 r/min

實際上，從擾動傳遞來源考慮，反作用運行產(chǎn)生的微振動力，絕大部分來源于轉(zhuǎn)子的不平衡，并與轉(zhuǎn)速成正比[13]. 依此理論，1 500 r/min和3 000 r/min穩(wěn)速工況下，擾動力幅值最大的頻率分別是25 Hz和50 Hz；由于這兩個頻率高度接近理想模型M的特征頻率(表3)，受閉環(huán)阻尼比升高的影響，復(fù)合控制器施加的控制量顯著，進而主動隔振效果最佳，驗證結(jié)果與設(shè)計初衷相一致.

2)轉(zhuǎn)反作用輪轉(zhuǎn)速變化情況下的主動隔振控制效果

將反作用輪由1 500 r/min穩(wěn)定升速至2 500 r/m(升速速率設(shè)定為340 r/min).由于記錄時間較長，這里以頻域的能量譜密度(PSD)為考察指標(biāo)，分別在開、閉環(huán)情況下，記錄全過程3方向加速度輸出，繪制其PSD曲線，結(jié)果對比如圖12所示；選取局部峰值點，記錄幅值及相應(yīng)頻率，結(jié)果對比如表5所示.結(jié)果表明，相比于開環(huán)情況，在復(fù)合控制的作用下，僅ay位于55 Hz和111 Hz處的峰值有微小抬升，其余各方向加速度輸出的PSD峰值均有不同程度(7.9%至29.2%)降低；此外，ax、ay、az能量密度最高的分量(均位于26 Hz附近)全部得到有效衰減，分別降低了17.4%、21.1%和11.2%，再次證明了復(fù)合控制下主動隔振的有效性.

圖12 反作用輪由1 500 r/min到2 500 r/min升速全過程，開、閉環(huán)輸出加速度的能量譜密度圖Fig.12 Power spectral density (open-loop & closed-loop) of output accelerations during RWA’s whole accelerating process from 1 500 r/min to 2 500 r/min

5 結(jié) 論

圍繞一款基于壓電堆的主被動反作用輪隔振器，以被動隔振為基準(zhǔn)，本文提出了一種內(nèi)、外環(huán)結(jié)合的復(fù)合控制主動隔振方案.首先，為了消除壓電堆遲滯非線性引起的輸出位移誤差， 設(shè)計了PI內(nèi)環(huán)控制器， 占全行程17%的峰-峰值折損得到有效補償.接著，設(shè)計了一個由解耦器與模型匹配H∞控制器串聯(lián)而成的輸出反饋外環(huán)控制器.最后，以反作用輪穩(wěn)速、升速兩種工況為例，通過實驗驗證了復(fù)合控制的有效性. 結(jié)果表明，穩(wěn)速工況下，轉(zhuǎn)速位于1 500 r/min和3 000 r/min時主動隔振效果最顯著，擾動輸出進一步衰減約20%；升速工況下，三向加速度輸出能量密度最大的分量，分別衰減17.4%、21.1%和11.2%.

表5 峰值頻率與能量譜密度的開、閉環(huán)結(jié)果對比Tab.5 Peak frequencies and corresponding power spectral density-results comparison under open-loop and closed-loop situation

在后續(xù)工作中，將重點考慮：1)針對內(nèi)環(huán)控制下PSA的位移輸出的時延，考察其對外環(huán)穩(wěn)定性的影響；2)考慮采用分段控制參數(shù)，實現(xiàn)更寬轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的主動隔振；3)現(xiàn)有系統(tǒng)采用加速度反饋，由于一般工程上的微振動隔離指標(biāo)以力和力矩為基準(zhǔn)，可考慮建立輸出加速度與力、力矩之間相對精確的解析關(guān)系.