黃慧卉，何秀麗，時正華

(河海大學 理學院，江蘇 南京 211100)

神經網絡是一門通過對神經元的建模和聯(lián)結來探索模擬神經系統(tǒng)功能的模型的學科，是一種非常重要而復雜的大規(guī)模動力系統(tǒng)，具有十分豐富的動力學屬性[1-3].近些年，其在聯(lián)想記憶、組合優(yōu)化、信號處理、模式識別及實際生活方面都有著廣泛應用，所以關于神經網絡問題的研究一直吸引著國內外眾多學者的關注.

實際神經網絡系統(tǒng)中通常存在著噪聲干擾，噪聲的出現(xiàn)不僅可能使系統(tǒng)失去穩(wěn)定性，損害系統(tǒng)的良好性態(tài)，也可能鎮(zhèn)定不穩(wěn)定的系統(tǒng)，所以怎樣處理系統(tǒng)中的噪聲干擾使得噪聲鎮(zhèn)定神經網絡[4-6]，引起了人們的廣泛關注，由此得到了許多新的研究成果，文獻[7]主要對隨機鎮(zhèn)定理論和研究現(xiàn)狀進行了概述，文獻[8-10]將隨機鎮(zhèn)定理論應用于神經網絡并進行了相關研究.在實際神經網絡問題的研究過程中，通常研究的是基于連續(xù)時間的量，但是實質上我們選取觀測到的狀態(tài)僅針對于離散時間[11-13]，所以對離散時間觀測神經網絡進行分析和設計，找到一個合適的時間間隔進行研究成了問題的關鍵.文中考慮對離散觀測的神經網絡加入噪聲，對其進行隨機鎮(zhèn)定[14].相對于連續(xù)時間系統(tǒng)的隨機鎮(zhèn)定，離散時間觀測的神經網絡的隨機鎮(zhèn)定理論與應用尚未被充分研究，文獻[7]概述了離散時間系統(tǒng)隨機鎮(zhèn)定方面的最新進展.Mao[13]主要研究了基于離散時間隨機反饋控制的指數穩(wěn)定性.

本文考慮離散時間觀測下的神經網絡，選取時間τ,2τ,…,(τ>0)，此時τ為2個連續(xù)時間觀測值之間的時間間隔，對這些時刻的神經網絡的隨機鎮(zhèn)定進行研究.本文將[13]提出的微分方程的隨機鎮(zhèn)定理論應用擴展到具體的神經網絡模型中，實現(xiàn)基于離散觀測下的神經網絡隨機鎮(zhèn)定的研究.

1 預備知識

首先，考慮確定性模型：

(1)

其中D=diag(d1,d2,…,dn)，A=(aij)，x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T，f(x)=(f1(x1),f2(x2),…,fn(xn))，且f(0)=0，在此基礎上加入設計的離散時間觀測的控制項：Σx(δt)dB(t)，得到基于離散時間觀測的神經網絡模型為：

dX=(-DX+Af(x))dt+Σx(δt)dB(t),t≥0

(2)

其中Σ=σΙ，δ：[0,∞)→[0,τ]，δt=[t/τ]，t≥0，τ是一個正數，且[t/τ]是t/τ的整數部分，B(t)為一維布朗運動.對此，我們做出如下假設：

注1 由假設1可得：

|-Dx+Af(x)+Dy-Af(y)|≤|-D(x-y)|+|A(f(x)-f(y))|≤

(|D|+|AK|)|x-y|,x,y∈Rn.

(3)

同樣成立的.同理可知

|-D+Af(x)|≤(|D|+|AK|)|x|.

(4)

引入初值為y(0)=y0的輔助系統(tǒng)y(t;y0)為如下隨機微分方程的解：

類似于文獻[15]可證.

dy(t)=(-Dy(t)+Af(y(t)))dt+Σy(t)dB(t),t≥0

(5)

引理1 令假設1及σ2>|D|+|AK|成立,對任意的p∈(0,1-2σ-2(|D|+|AK|))，使得

0.5(1-p)σ2>|D|+|AK|

(6)

成立.則有

(7)

其中υ=p[0.5(1-p)σ2-(|D|+|AK|)].

參見毛學榮[15]引理2.3.2的證明，可證明引理1.

2 主要結論

定理1 令假設1及σ2>2(|D|+|AK|)成立，且觀測間隔τ∈(0,τ*)，其中τ*為(8)的唯一根，

(8)

其中p∈(0,1-2σ-2(|D|+|AK|))，ε∈(0,1)，M(τ,p)中的Q是一個正定對角陣.則對任意的初值x0∈Rn，系統(tǒng)(2)的解滿足

(9)

證明令(2)式的解的初值為x(0)=x0∈Rn，且記x(t;x0)=x(t),(5)式的解為y(t;x0)=y(t)，選擇常數p∈(0,1-2σ-2(|D|+|AK|))，ε∈(0,1)，對(6)成立.

步驟1 對誤差x(t)-y(t)進行矩估計.

(10)

由上式即得：

令z(t)=x(t)-y(t)，且f(z)=f(x)-f(y)，則

Q=(qij)n×n是一個正定對角矩陣，

由Gronwall不等式：

再次使用Gronwall不等式，得：

(11)

(10)式使用Ito公式得：

對上式求期望：

在 [0,t]上取上確界：

使用Gronwall不等式，則有：

(12)

即可得：

(13)

由Ito公式知：

兩邊取期望可得：

對[0,t]上取上確界，可得：

將(12)代入得：

(14)

將(14)式代入到(11)式中，即有：

綜上，即可得到：

(15)

其中

(16)

(17)

同理，由步驟1及引理1可得：

(18)

聯(lián)立(17)和(18)，可得：

(19)

由不等式(16)可得：

(20)

(21)

步驟3證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

對其求上確界后再求期望:

由Burkholder-Davis-Gandy不等式，可得：

由Gronwall不等式：

(22)

由步驟2且對上式求期望，可知：

此時，令t→∞，可以得到：

綜上，得證.

注2 文獻[5]研究的是用連續(xù)噪聲對混雜神經網絡的動力學影響，本文的主要對采樣離散觀測的鎮(zhèn)定的研究.

3 數值例子

考慮如下離散時間觀測的神經網絡模型：

(23)

注3 本文對具體的神經網絡模型觀測間隔進行了估計，如果觀測間隔過大，則不能鎮(zhèn)定該神經網絡，如果觀測間隔過小則不能節(jié)約成本，所以在具體的范圍內找到觀測間隔使得系統(tǒng)隨機鎮(zhèn)定，即達到了本文的研究目的.

4 結語

眾所周知，噪聲可以鎮(zhèn)定一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，本文通過使用伊藤公式、Gronwall不等式、Burkholder-Davis-Gandy不等式等證明得到了離散時間觀測下的神經網絡可被隨機鎮(zhèn)定.和現(xiàn)有的文獻相比，本文解決了在具體的神經網絡系統(tǒng)中采樣時間觀測間隔，估計出了更優(yōu)的結果.由于基于離散時間觀測在實際應用中具有節(jié)約成本的優(yōu)點，所以生產中如何找到一個合適的間隔τ具有相當重要的研究意義.