王群

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?用扇環(huán)圖代替維恩圖來解決難以表達(dá)隨機(jī)試驗(yàn)中的復(fù)合事件關(guān)系和直觀概率的問題，圖示法概率論入門教學(xué)使復(fù)雜抽象的概率論能夠被直觀理解。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?概率論;維恩圖;扇環(huán)圖

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）32-0234-02

一、概率論圖示法教學(xué)的過往研究

圖示法在概率論教學(xué)中一直備受重視。如陶勝在《概率論中的直觀教學(xué)法》中認(rèn)為“（概率論）概念抽象且不好理解，公式較多且不易記憶，通過列舉實(shí)際例子，使用形象化的圖示法，對幾組概念著重加以區(qū)別，可以較好地幫助學(xué)生正確理解這些概念，有效地記住公式?！蓖艚ň凇秷D示化方法在概率論中的應(yīng)用》一文中則稱“（概率論）所研究的對象的不確定性和復(fù)雜性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對基本概念理解比較困難。無疑抽象而復(fù)雜的概率論實(shí)踐教學(xué)如果能夠以圖形示意的方式具現(xiàn)表達(dá)出來，將會帶來更好的教學(xué)效果，使學(xué)生能夠更直觀、更容易理解接受抽象而復(fù)雜的概率論。

用簡單圖形表達(dá)復(fù)合事件能解決維恩圖難以直觀表達(dá)重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果，而樹狀圖不能直觀表達(dá)概率大小，不能勝任圖示多次隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果等復(fù)雜事件之間的關(guān)系，因而通常采用教學(xué)案例分析復(fù)雜事件，通過案例積累對抽象概率理論的認(rèn)知，學(xué)生耗費(fèi)大量時間來記憶而不能直觀看到原理，而扇環(huán)圖能夠解決上述問題。

二、扇形圖分析在概率論教學(xué)中的應(yīng)用

（一）用扇環(huán)圖畫隨機(jī)實(shí)驗(yàn)示意圖的基本方法

1.以同圓心的不同圓環(huán)表示不同次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間，從內(nèi)至外即為隨機(jī)試驗(yàn)的次序，每一樣本點(diǎn)對應(yīng)于樣本空間上的某一段扇環(huán)，扇環(huán)弧度占圓周角的比例即為該樣本點(diǎn)發(fā)生的概率。

2.一個包含若干個樣本點(diǎn)的復(fù)合事件的概率即為該事件對應(yīng)的扇環(huán)弧度占圓周角的比例。

（二）概率論教學(xué)中經(jīng)常涉及的事件關(guān)系維恩圖與扇環(huán)圖示意法對比

1.事件的包含關(guān)系：事件B包含事件A，或事件A包含于事件B的維恩圖表示法與扇環(huán)圖表示法對比見圖1。

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2.事件A與事件B的積或交的維恩圖表示法與扇環(huán)圖表示法對比見圖2。

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3.事件A與事件B的和或并的維恩圖表示法與扇環(huán)圖表示法對比見圖3。

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4.事件A與事件B的差的維恩圖表示法與扇環(huán)圖表示法對比見圖4。

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5.互斥事件的維恩圖表示法與扇環(huán)圖表示法對比見圖5，對立事件的維恩圖表示法與扇環(huán)圖表示法對比見圖6。

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6.事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率的維恩圖表示法與扇環(huán)圖表示法對比見圖7。

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黑色表示事件A，淺灰色表示事件B，深灰色區(qū)域?yàn)榉e事件AB，由此表達(dá)條件概率P（B|A）與事件A和積事件AB的關(guān)系，在扇環(huán)圖中黑色表示事件A，淺灰色表示事件B，淺灰色填涂外側(cè)、黑色填涂內(nèi)測的扇環(huán)表示積事件AB，既可以從第一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果A事件發(fā)生的黑色扇環(huán)出發(fā)，觀察表示第二次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)B事件發(fā)生的淺灰色區(qū)域占黑色區(qū)域的比例來直觀認(rèn)識條件概率P（B|A），也可以從表示積事件AB發(fā)生的淺灰色填涂外側(cè)、黑色填涂內(nèi)測的扇環(huán)出發(fā)，觀察其占表示A事件的黑色區(qū)域的比例來直觀認(rèn)識條件概率P（B|A）。

7.全概率公式的扇環(huán)圖表示法見圖8。

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涉及全概率公式這樣的復(fù)合事件時，維恩圖難以直接簡潔地表達(dá)出來。用扇環(huán)圖可以簡潔表達(dá)，如圖所示，內(nèi)側(cè)圓環(huán)表示第一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，用不同顏色填涂的A1、A2、A3構(gòu)成第一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的一個劃分，外側(cè)圓環(huán)表示第二次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，對應(yīng)A1、A2、A3外側(cè)圓環(huán)分成三部分的陰影區(qū)域總體表示事件B，那么事件B發(fā)生的概率就可以用事件A1、A2、A3的概率分別乘以它們發(fā)生時B發(fā)生的概率然后求和來計(jì)算。

8.貝葉斯公式的扇環(huán)圖表示法見圖9。

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在理解全概率公式的基礎(chǔ)上，用白色填涂事件B的對立事件，得到右圖，這幅圖直觀地表達(dá)了當(dāng)事件B發(fā)生時，事件A1、A2、A3發(fā)生的概率。

9.獨(dú)立事件與非獨(dú)立事件的對比扇環(huán)圖表示法見圖10。

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維恩圖難以直接簡潔地表達(dá)出獨(dú)立事件與非獨(dú)立事件的區(qū)別，但是扇環(huán)圖能夠做到直觀區(qū)別獨(dú)立事件與非獨(dú)立事件。左圖是獨(dú)立事件，從圖形上可以直觀看到無論以白色表示的事件A是否發(fā)生，以深灰色表示的事件B發(fā)生的概率都是一樣的，而右圖是非獨(dú)立事件，右圖上以深灰色表示的事件B發(fā)生的概率顯著依賴于以白色表示的事件A是否發(fā)生，當(dāng)事件A發(fā)生時，以灰色區(qū)域表示的事件B發(fā)生的概率顯著高于以黑色表示的事件A的對立事件發(fā)生時B發(fā)生的概率。

10.伯努利定理扇環(huán)示意圖見圖11。

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最內(nèi)側(cè)圓環(huán)表示第一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間，事件A未發(fā)生用淺灰扇環(huán)表示，事件A發(fā)生用深灰扇環(huán)表示，由內(nèi)至外每多一環(huán)即表示多重復(fù)了一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。

n重圓環(huán)表示進(jìn)行了n重伯努利試驗(yàn)，那么黑色扇環(huán)表示的是第二次和第三次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生而其他各次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中事件A未發(fā)生的概率，進(jìn)而事件A發(fā)生k次的含義就等價于從最內(nèi)側(cè)扇環(huán)到最外側(cè)扇環(huán)一共n環(huán)里任意k環(huán)為深灰剩余諸環(huán)為淺灰的組合，這個組合的概率就是n重伯努利試驗(yàn)事件A發(fā)生k次的概率。

白色圈出的扇環(huán)表示的是從第一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)開始事件A始終未發(fā)生，直到第n次試驗(yàn)事件A才發(fā)生的概率，圖形上直觀表達(dá)是從最內(nèi)側(cè)開始都是淺灰扇環(huán)，直到最外側(cè)扇環(huán)才是深灰填涂。

三、結(jié)論

在概率論入門教學(xué)中用扇環(huán)圖比用維恩圖或者樹狀圖更適合，它能克服維恩圖和樹狀圖難以直觀表達(dá)復(fù)雜事件概率的缺陷，使抽象且難以被學(xué)生理解接受的概率論變得簡單、直觀、條理清晰，從而能夠極大地提高概率論教學(xué)的效率。

參考文獻(xiàn)：

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◎編輯 馬燕萍