董 皓，劉志宇，方宗德,2

(1.西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021; 2.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072)

0 引言

高速齒輪傳動(dòng)除具有更高的接觸疲勞強(qiáng)度和彎曲疲勞強(qiáng)度外，還提出了傳動(dòng)平穩(wěn)、噪聲小和重量輕等需求。如何建立多種激勵(lì)因素條件下的精確動(dòng)力學(xué)模型，分析其動(dòng)態(tài)特性，是亟需解決的問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這方面開(kāi)展了大量研究，Saghafi[1]進(jìn)行了直齒圓柱齒輪系統(tǒng)混沌動(dòng)力學(xué)控制的分析與研究；Fernandez-del- Rincon[2]提出了一種改進(jìn)后的齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型；王峰[3]考慮了齒輪承載接觸特性，分析了重合度對(duì)單對(duì)人字齒輪副非線性系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響；文獻(xiàn)[4]研究了齒輪內(nèi)部激勵(lì)等參數(shù)對(duì)高速機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性特性的影響；文獻(xiàn)[5]研究了齒面摩擦對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分岔與混沌特性的影響；文獻(xiàn)[6]建立了一種考慮齒側(cè)間隙、齒面摩擦力和時(shí)變嚙合剛度等因素的三齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，研究了摩擦因素對(duì)模型動(dòng)態(tài)特性的影響；文獻(xiàn)[7]采用CPNF方法研究了傳遞功率對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的局部精細(xì)分岔影響。還有一些學(xué)者[8-10]對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了研究。

本文針對(duì)高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題展開(kāi)研究，由輪齒接觸分析以及輪齒承載接觸分析計(jì)算出輪齒綜合嚙合剛度和單齒嚙合剛度，考慮時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)、當(dāng)量嚙合誤差、齒面摩擦、齒側(cè)間隙等激勵(lì)因素的影響，建立高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的彎—扭耦合動(dòng)態(tài)模型，研究各激勵(lì)參數(shù)對(duì)齒輪非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，分析了載荷變化、嚙合剛度、加工精度和彈性支撐剛度對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響。為合理的高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析與設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

1 高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)模型

圖1為高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的彎-扭耦合動(dòng)力學(xué)模型[11]，T1、T2表示主、從動(dòng)輪上作用的力矩；rb1、rb2表示主、從動(dòng)輪的基圓半徑；θ1、θ2表示主、從動(dòng)輪的扭轉(zhuǎn)角位移，以坐標(biāo)點(diǎn)O1、O2為起始點(diǎn)；e12(t)表示主動(dòng)輪與從動(dòng)輪等效到嚙合線上的當(dāng)量嚙合誤差；km(t)、cm表示齒輪副的綜合時(shí)變嚙合剛度和嚙合阻尼；kx1、ky1和kx2、ky2分別表示主動(dòng)輪和被動(dòng)輪上x(chóng)、y方向的彈性支撐剛度；cx1、cy1和cx1、cy1分別表示主動(dòng)輪和被動(dòng)輪上x(chóng)、y方向的彈性支撐阻尼。

圖1 彎-扭耦合動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)圖1，該系統(tǒng)的橫向-扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移陣列為：

(1)

其中，x1、y1表示主動(dòng)輪1在x、y方向的微位移；x2、y2表示主動(dòng)輪2在x、y方向的微位移。

定義該高速齒輪副的動(dòng)態(tài)傳遞誤差yd(t)為：

yd(t)=y2-y1-rb1θ1-rb2θ2

(2)

動(dòng)態(tài)傳遞誤差yd(t)與靜態(tài)當(dāng)量嚙合誤差e12(t)的差值為y(t)可以表示為：

y(t)=y2-y1-rb1θ1-rb2θ2-e12(t)

(3)

輪齒間的動(dòng)態(tài)嚙合力Fp可以表示為：

(4)

式中，f(y(t))為間隙非線性函數(shù)，可以表示為：

(5)

齒面摩擦力Ff可以近似表示為：Ff=λμFp，μ表示等效摩擦系數(shù)；λ表示齒輪摩擦力方向系數(shù)，當(dāng)Ff沿x正方向時(shí)取“+1”，反之取為“-1”。

系統(tǒng)彎扭耦合的動(dòng)力學(xué)分析模型可以表示為：

(6)

式中，S1、S2為嚙合點(diǎn)相對(duì)于主、從動(dòng)輪的摩擦力臂；J1、J2為主、從動(dòng)輪的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

將式(2)～式(6)代入式(7)中，并簡(jiǎn)化得：

(7)

m1和m2分別表示齒輪1和齒輪2的集中質(zhì)量，單位kg。

此動(dòng)力學(xué)微分方程中包含了時(shí)變嚙合剛度、嚙合沖擊和時(shí)變支撐剛度等因素的影響。定義量綱一時(shí)間：τ=ωnt，ωn表示角速度，同時(shí)引進(jìn)位移標(biāo)稱尺度bc，并令bc=b，對(duì)上述動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行量綱一化，采用數(shù)值積分法求解，得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。

2 動(dòng)力學(xué)模型的主要激勵(lì)條件計(jì)算

2.1 時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)計(jì)算

圖2表示了齒輪副輪齒的承載分析模型[2]，圖中接觸曲線表示齒面在接觸橢圓長(zhǎng)軸方向的橫截面，每一對(duì)齒上的i表示瞬時(shí)接觸點(diǎn)(接觸橢圓中心)，j表示沿長(zhǎng)軸方向上的離散點(diǎn)，w表示接觸前初始間距。輪齒變形前，兩對(duì)接觸的輪齒I和II的齒面初始間隙為：

[w]k=[δ]k+[b]k(k為I，II)

(8)

式中，[w]k=[w1k,w2k, …,wik,…,wjk,wnk]T，[b]k=[b1,b2, …,bi,…,bn]T，[δ]k=[1, 1, …, 1,…, 1]T，其中，n為瞬時(shí)接觸橢圓長(zhǎng)軸上離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)，b為齒對(duì)k的齒面法向間隙，在瞬時(shí)接觸橢圓中心bi=0，δ表示齒對(duì)k的幾何傳動(dòng)誤差，Z表示法向位移。

圖2 承載接觸分析模型

在載荷P作用下，輪齒發(fā)生彈性變形，彈性變形的變形協(xié)調(diào)條件為：

[F]k[p]k+[w]k=[Z]k+[d]k(k為I,II)

(9)

式中，[F]k是一對(duì)接觸輪齒k的法向柔度矩陣; [p]k=[p1k,p2k, …,pik,…,pjk,pnk]T是一對(duì)接觸輪齒k的接觸橢圓長(zhǎng)軸離散點(diǎn)j(j=1,2,…,n)處的法向載荷；[Z]k=[1, 1, …, 1,…, 1]T為輪齒在載荷作用下的法向位移；[d]k=[d1k,d2k, …,dik,…,djk,dnk]T是一對(duì)接觸輪齒k的接觸橢圓長(zhǎng)軸離散點(diǎn)j處變形后的齒面間隙。

離散點(diǎn)的法向載荷pj(j=1,…,n)滿足力學(xué)平衡關(guān)系：

(10)

由接觸問(wèn)題的非嵌入條件，滿足pjk>0，則有djk=0，滿足pjk=0，則有djk>0。

輪齒在外載荷P的作用下，產(chǎn)生的彈性變形引起的綜合角變形誤差Δφ主要由幾何傳動(dòng)誤差δ1、彎曲變形δ2和接觸變形δ3三部分組成，則綜合角變形Δφ和齒輪副傳遞扭矩T(k)的關(guān)系滿足下式[12]：

(11)

式中，a，b，c為常數(shù)項(xiàng)，δ1=a，δ2=bT(k)，δ3=cT(k)2/3；T12(k)表示在一個(gè)嚙合周期中被動(dòng)輪對(duì)主齒輪在第k(k=1,…,5) 個(gè)嚙合位置的扭矩。

齒輪副的時(shí)變嚙合剛度km(k)可以按下式求解：

(12)

根據(jù)算例分析中的參數(shù)，計(jì)算時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)如圖3，且與石川法進(jìn)行了對(duì)比，具有較好的一致性。

圖3 時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)條件

2.2 當(dāng)量嚙合誤差激勵(lì)條件計(jì)算

定義主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的偏心誤差Eep、Eeg與嚙合線正向間的夾角ηEep、ηEeg分別為ηEep=-π/2+α+βEep+ωpt、ηEeg=-π/2+α+βEeg+ωgt，ωp、ωg為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)角速度；βEep、βEeg為主、從動(dòng)輪的偏心誤差方位角。

主、從動(dòng)輪的偏心誤差Eep和Eeg當(dāng)量嚙合誤差eEep和eEeg為：

(13)

主、從動(dòng)輪的基節(jié)誤差Ebp和Ebg當(dāng)量嚙合誤差eEbp和eEbg為：

(14)

主、從動(dòng)輪的齒形誤差Efp和Efg當(dāng)量嚙合誤差eEfp和eEfg分別為：

(15)

主、從動(dòng)輪的偏心誤差的當(dāng)量嚙合誤差的總和：

eEpg=eEep+eEbp+eEfp+eEeg-eEbg-eEfg

(16)

主、從動(dòng)輪的安裝誤差A(yù)ep和Aeg當(dāng)量嚙合誤差eAep和eAeg分別為：

(17)

式中，βAep、βAeg為主、從動(dòng)輪的安裝誤差方位角。

主、從動(dòng)輪的安裝誤差的當(dāng)量嚙合誤差的總和eApg：

eApg=eAep+eAeg

(18)

主、從動(dòng)輪的偏心誤差和安裝誤差的當(dāng)量嚙合誤差總和epg可以表示為：

epg=eEpg+eApg

(19)

3 算例分析

各齒輪的參數(shù)為：Z1=20，Z2=53，模數(shù)取2，壓力角20°，變位系數(shù)x1=0.053，x2=-0.053，質(zhì)量m1=1.5 kg，m2=4.5 kg，齒側(cè)間隙取0.1 mm，負(fù)載扭矩132.5 N·m，給定系統(tǒng)輸入功率200 kW，系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)速為15000 r/min，給定加工精度等級(jí)為5級(jí)。給定主動(dòng)輪的偏心誤差和安裝誤差分別為10μm和8μm，基節(jié)誤差和齒形誤差分別為5μm和4μm，從動(dòng)輪的偏心誤差和安裝誤差分別為12μm和11μm，基節(jié)誤差和齒形誤差分別為5.5μm和4.5μm。

計(jì)算得到轉(zhuǎn)速在7000 r/min、10000 r/min和15000 r/min三種條件下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線如圖4所示。

(a) 轉(zhuǎn)速為7000r/min時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性

(b) 轉(zhuǎn)速為10000r/min時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性

(c) 轉(zhuǎn)速為15000r/min時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性圖4 不同轉(zhuǎn)速條件下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性

從圖4可以看出，當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為7000r/min時(shí)，時(shí)間歷程非周期變化，相平面為具有一定寬度的曲線帶，龐加萊截面上的點(diǎn)集近似地分布在一條曲線上，F(xiàn)FT頻譜離散的分布在基頻的整數(shù)倍點(diǎn)上，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為近似的擬1周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為10000 r/min時(shí)，時(shí)間歷程非周期變化，相平面為具有一定寬度的曲線帶，龐加萊截面上的點(diǎn)集近似地分布在兩條曲線上，F(xiàn)FT頻譜離散的分布在基頻整數(shù)倍的1/2點(diǎn)上，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為近似的擬2周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為15000 r/min時(shí)，時(shí)間歷程仍然非周期變化，相平面為互相纏繞和交叉但不重復(fù)不封閉的曲線，龐加萊截面由分布在一定區(qū)域上的不可數(shù)點(diǎn)集構(gòu)成，F(xiàn)FT頻譜是有界區(qū)域上具有一定寬度的連續(xù)譜，表明系統(tǒng)進(jìn)入了混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

在系統(tǒng)的復(fù)雜激勵(lì)的因素影響下，高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)并沒(méi)有出現(xiàn)規(guī)范的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并且系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)非常復(fù)雜，經(jīng)歷了由近似的擬1周期運(yùn)動(dòng)分叉變化為近似的擬2周期運(yùn)動(dòng)，之后由近似的擬2周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，具有很強(qiáng)的非線性性質(zhì)。

系統(tǒng)載荷變化、嚙合剛度、加工精度和彈性支撐剛度對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響如圖5所示。

(a) 載荷變化 (b) 嚙合剛度變化

(c) 加工精度變化 (d) 彈性支撐剛度變化圖5 各因素對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)特性的影響

由圖5可以看出，載荷逐漸從輕載到重載變化時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)頻率帶逐漸增多，主諧波與其余各階諧波的響應(yīng)幅值也在不斷的加大；隨著齒輪嚙合剛度的提高，傳動(dòng)系統(tǒng)的共振動(dòng)頻率帶不斷減少，運(yùn)動(dòng)特性逐漸由混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)向擬周期運(yùn)動(dòng)，主諧波的響應(yīng)幅值也在不斷地降低，提高齒輪副的嚙合剛度從一定程度上可降低系統(tǒng)的振動(dòng)；齒輪的精度對(duì)高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)幅值的影響比較顯著，隨著齒輪精度等級(jí)的降低，傳動(dòng)系統(tǒng)的共振頻率帶逐漸增多，而且各階諧波響應(yīng)的幅值也在不斷地增大；隨著等效支撐剛度的增加，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性基本沒(méi)有發(fā)生變化，系統(tǒng)也一直處于復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，系統(tǒng)主諧波的響應(yīng)幅值變動(dòng)沒(méi)有表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，但從整體的變動(dòng)量來(lái)看非常微小。

4 結(jié)論

本文建立了高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的彎—扭耦合動(dòng)態(tài)模型，分析了轉(zhuǎn)速、載荷變化、嚙合剛度、加工精度和彈性支撐剛度對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響，所得結(jié)論如下：

(1) 基于承載接觸仿真分析方法，能夠獲得符合實(shí)際工況下的時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)條件，更真實(shí)的反映系統(tǒng)各齒輪副每個(gè)嚙合位置下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性；

(2) 轉(zhuǎn)速?gòu)?000r/min變化到15000r/min時(shí)，時(shí)間歷程一直表現(xiàn)為非周期變化，系統(tǒng)經(jīng)歷了從擬1周期運(yùn)動(dòng)、擬2周期運(yùn)動(dòng)到混沌狀態(tài)的變化，具有很強(qiáng)的非線性性質(zhì)；

(3) 適當(dāng)增大輪齒嚙合剛度和提高齒輪副精度等級(jí)可改善系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能，在系統(tǒng)支撐剛度足夠的條件下，不斷的增大支撐剛度并不會(huì)改善系統(tǒng)的振動(dòng)特性。