王 素 白 鑫

(北京航空航天大學 交通科學與工程學院，北京100191)

陳仕賢

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京100191)

離散齒諧波傳動［1－6］是對現有諧波傳動結構的改進:用離散齒輪代替諧波傳動結構中的柔輪，可解決諧波傳動結構采用柔輪帶來的剛度問題;剛輪輪廓曲線不是漸開線而是按等速共軛原理設計的離散齒包絡曲線，嚙合齒數多，可解決諧波傳動的精度;離散齒諧波傳動的傳動比范圍可在12°～80°范圍內，滿足實際應用需求，這是諧波傳動不能達到的.因此，對離散齒諧波傳動性能和結果進行研究極具理論價值和應用前景.

1 離散齒諧波傳動結構

離散齒諧波傳動結構是由離散齒輪、剛輪和波發(fā)生器3個基本構件組成，與諧波傳動結構具有相同的組件，如圖1所示.其中，波發(fā)生器與諧波傳動結構相同，由一個雙波或多波的凸輪外套薄壁軸承組成，以橢圓凸輪最為常用;離散齒輪是由一個開有若干徑向槽的圓環(huán)和槽中的一組中間可動件離散齒組成，離散齒可以是球形、圓柱形或兩側做成平面的圓柱體，以圓柱形較好，齒槽則與離散齒相匹配;剛輪與諧波傳動結構類似，為一剛性厚環(huán)，環(huán)內壁開有輪齒.不同的是，剛輪齒廓曲線不是漸開線而是按等速共軛原理設計的離散齒包絡曲線，即選定離散齒形狀后，在橢圓凸輪波發(fā)生器驅動下，用等速共軛原理計算出離散齒包絡曲線，以此曲線作為剛輪齒廓曲線.運動傳遞在波發(fā)生器作用下，使離散齒運動，與剛輪、離散齒體互相作用實現傳動.不同的輸入輸出構件、波發(fā)生器波數及剛輪齒廓曲線工作區(qū)間等可以得到多種不同的離散齒諧波傳動方案，設計者可以根據實際使用需求進行選擇.

圖1 離散齒諧波傳動結構簡圖

2 剛輪齒廓形成

剛輪齒廓曲線不是漸開線而是按等速共軛原理計算出的離散齒包絡曲線，用橢圓波發(fā)生器驅動圓截面離散齒時，剛輪齒廓曲線的計算方式如圖2所示.

圖2 剛輪齒廓曲線形成原理

圖2所示為剛輪齒廓曲線形成原理圖，圖中，xOy為固定坐標系，x'Oy'為離散齒輪的連體坐標系，x″Oy″為波發(fā)生器連體坐標系，r為離散齒半徑，a為波發(fā)生器長軸半徑，b為波發(fā)生器短軸半徑.令波發(fā)生器在任意時刻轉角為j，與此同時離散齒架帶動離散齒相對于旋轉軸轉過h，轉角j和h 滿足傳動比:h=j/i，令 a0=a+r，b0=b+r，ρ為離散齒中心O'到旋轉中心O的距離，則離散齒中心運動路徑為

由此可得剛輪齒廓曲線的坐標表達式:

3 剛輪齒廓曲線優(yōu)化模型建立

3.1優(yōu)化設計變量

根據剛輪齒廓曲線方程可知，在傳動比確定的情況下，剛輪齒廓曲線可由波發(fā)生器長半軸a，短半軸b以及離散齒半徑r確定，因此設這3個參數為剛輪齒廓曲線的優(yōu)化設計變量.令X=(x1，x2，x3)T=(a，b，r)T

3.2 建立目標函數

剛輪齒廓齒形壓力角αn為剛輪與離散齒嚙合點的法線方向n-n與離散齒中心的圓切線運動方向之間所夾的銳角，見圖 3，其中 αn=α2－α1，α1=h=j/i，α2通過式(4)、式(5)確定.壓力角αn越小，剛輪齒廓與離散齒嚙合副傳遞的力越大，運動表面摩擦越小，嚙合效率越高.

圖3 壓力角示意圖

通過計算，在剛輪齒廓齒頂與齒根處，剛輪齒廓齒形壓力角較大，而在剛輪齒廓腹部，剛輪齒廓齒形壓力角達到最小.并且波發(fā)生器長、短半軸之差越小，剛輪齒廓齒形壓力角越大，而離散齒半徑對壓力角的影響較小.因此，以在某參數下剛輪齒廓齒形壓力的最小值αnmin最小為優(yōu)化設計目標，使離散齒諧波傳動嚙合效率達到最優(yōu)化.

3.3 約束條件

優(yōu)化設計過程中，在達到性能最優(yōu)化的同時，還需滿足相應的約束條件.

1)避免剛輪齒廓發(fā)生頂切約束條件.若剛輪齒廓未發(fā)生頂切，即剛輪齒廓曲線是連續(xù)的，傳動重合度最大，嚙合離散齒為離散齒總數的一半［7］.此時傳動平穩(wěn)性最好，承載能力最強.離散齒結構參數變化會導致剛輪齒廓發(fā)生頂切，此時離散齒與剛輪齒廓實際嚙合段將減小，嚙合離散齒數量減少，影響傳動平穩(wěn)性及承載能力.由分析，a，b差值越大，r值越大，剛輪齒廓越不平緩，越容易發(fā)生頂切.在進行剛輪齒廓齒形壓力角最優(yōu)化，提高傳動效率的同時，希望剛輪齒廓不要發(fā)生頂切，即能保證裝置具有良好的傳動性能.

避免剛輪齒廓發(fā)生頂切的條件是，剛輪齒廓理論曲線(即離散齒中心的運動路徑)齒頂處的曲率半徑小于離散齒半徑，見式(8).

式中，k為剛輪齒廓理論曲線齒頂處的曲率，可通過式(2)、式(3)求導確定.

2)保證正常傳動約束條件.在波發(fā)生器與剛輪齒廓之間存在離散齒體，為保證傳動的連續(xù)性，當離散齒運動到齒根時，離散齒不能脫離離散齒槽，離散齒體外圈半徑需滿足:

當離散齒運動到齒頂時，離散齒也不能脫離離散齒槽，則離散齒體內圈半徑需滿足:

在保證離散齒體擁有足夠的寬度之后，還需滿足不干涉條件:離散齒體外圈不與剛輪齒廓齒頂發(fā)生干涉，內圈不與波發(fā)生器長半軸發(fā)生干涉.即滿足:

聯立上述式(9)～式(12)不等式，可得到在保證正常傳動情況下的參數關系:

3)強度約束條件.離散齒諧波傳動結構是過約束機構，受力復雜，每個離散齒在傳動過程中，與波發(fā)生器、剛輪以及離散齒體3處發(fā)生嚙合，設其嚙合力分別為 FHi，FKi，FSi.在計算嚙合處受力時，需考慮力平衡方程以及變形協調方程，通過連續(xù)取波發(fā)生器輸入角的值可以求出離散齒由進入到退出嚙合.

離散齒處于工作狀態(tài)時，3處嚙合副可分別看成兩同軸圓柱體的接觸.由赫茲公式可知，接觸應力表達式為［8］

式中，F為嚙合力 FHi，FKi，FSi;Lb為離散齒寬度;ρ1，ρ2為接觸處兩物體的曲率半徑;μ1，μ2為泊松比;E1，E2為彈性模量.通過編程計算可求出離散齒與波發(fā)生器、剛輪以及離散齒體的最大接觸應力值σHM，σKM，σSM，在對離散齒諧波傳動結構中剛輪齒廓曲線參數進行優(yōu)化設計時，各參數下計算的最大接觸應力均需分別小于各嚙合構件材料的許用接觸應力［σ］H，［σ］K，［σ］S.

4 設計計算實例

已知離散齒諧波傳動機構，其主要結構參數為:波發(fā)生器的長半軸和短半軸分別為 a=72 mm，b=69 mm，r=5 mm，Lb=15 mm，離散齒齒數ZG=24，剛輪齒廓齒數ZK=22，假設彈性模量E=210 GPa，泊松比 μ=0.3，輸出力矩為 280 N·m，σH=σK=2 300 MPa，σS=1 200 MPa，優(yōu)化計算結果經圓整后見表1.

表1 離散齒諧波傳動機構結構參數圓整后優(yōu)化計算結果

優(yōu)化前后齒形對比如圖4所示.

圖4 優(yōu)化前后齒形對比

優(yōu)化計算結果表明:在滿足約束條件的情況下，剛輪齒廓最小壓力角αnmin減小了18%，使離散齒諧波傳動嚙合效率得以提高.

5 結論

通過建立離散齒諧波傳動結構剛輪齒廓齒形優(yōu)化設計模型，提出了優(yōu)化設計方法，使傳動嚙合效率得到提高，為進行機型設計時剛輪齒廓齒形的確定提供了理論依據，具有實際工程意義.計算結果表明，用上述算法對剛輪齒廓曲線進行優(yōu)化，能夠得到優(yōu)質的剛輪齒廓曲線，有效提高傳動嚙合效率.

References)

［1］Chen Xiaoxia，Lin Shuzhong，Xing Jingzhong.Modeling of flexspline and contact analyses of harmonic drive［J］.Key Engineering Materials，2010:419－420，597－600

［2］GaoWei，FurukawaM，KiyonoS，etal.Cuttingerror measurement of flexspline gears of harmonic speed reducers using laser probes［J］.Precision Engineering，2004，28(3):358－363

［3］Kayabasi O，Erzincanli F.Shape optimization of tooth profile of a flexspline for a harmonic drive by finite element modeling［J］.Materials and Design，2007，28(2):441－447

［4］Ostapski W.Analysis of the stress state in the harmonic drive enerator-flexspline system in relation to selected structural arameters and manufacturing deviations［J］.Technical Sciences，2010，58(4):683－698

［5］毛彬彬.諧波齒輪的齒形研究和發(fā)展概述［J］.煤礦機械，2008，29(7):6－8

Mao Binbin.Research and development outlined of tooth profile of harmonic gear［J］.Coal Mine Machinery，2008，29(7):6－8(in Chinese)

［6］陳仕賢.離散齒諧波傳動:中國，200810172261.6［P］.2008-11-04

Chen Shixian. Discrete teeth harmonic drives:China，200810172261.6［P］.2008-11-04(in Chinese)

［7］曲繼方.活齒傳動理論［M］.北京:機械工業(yè)出版社，1993:125－139

Qu Jifang.Theory of movable teeth transmission［M］.Beijing:China Machine Press，1993:125－139(in Chinese)

［8］章希勝，武震，張景春.機械零件的接觸應力計算［J］.機械，2000，27(1):24－26

Zhang Xisheng，Wu Zhen，Zhang Jingchun.The calculation of mechanic parts contacting［J］.Machinery，2000，27(1):24－26(in Chinese)