常會敏

（國家開放大學(xué)，北京 100039）

一、引言

微積分的產(chǎn)生可追溯到我國戰(zhàn)國時期《莊子·天下篇》中曾提到的“一尺之棰，日取其半，萬事不竭”；魏晉時期劉徽的割圓術(shù)思想——用圓的內(nèi)接正n邊形分割圓，當(dāng)n的取值越大，正多邊形的周長與圓的實際周長越接近，進(jìn)而求得圓周率π的近似值。這其中蘊(yùn)涵了分割、求和、極限等思想。除了文學(xué)、語言等文科性質(zhì)專業(yè)外，微積分課程幾乎是所有專業(yè)的必修課，微積分理論涉及領(lǐng)域的廣泛性及重要性可見一斑。

國家開放大學(xué)（以下簡稱“國開”）堅持大眾化教育，教育對象多是已經(jīng)走向崗位的成年人。成人教育不同于全日制教育，具有顯著的特點：1.學(xué)習(xí)時間有限。選擇接受繼續(xù)教育的成年人多是利用工作之余的時間學(xué)習(xí)，因而學(xué)習(xí)時間有限且理論基礎(chǔ)相對薄弱。2.學(xué)習(xí)目的性強(qiáng)。選擇成人教育多是為了提升學(xué)歷、進(jìn)修專業(yè)，因此他們會選擇性的學(xué)習(xí)課本中認(rèn)為最有用的知識，而不像全日制學(xué)生有時間和精力進(jìn)行系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)。3.學(xué)習(xí)形式多樣化。除了普通的面授以外，他們最主要的學(xué)習(xí)方式是利用空余時間自學(xué)，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等方式。因此，傳統(tǒng)面授的教學(xué)設(shè)計和講課思路對于成人教育不再適用，我們需要針對成人學(xué)習(xí)的特點，革新教學(xué)方法。

一般地，教材中介紹微積分的順序是函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分、積分的應(yīng)用等。作為教師，這樣鏈條式的講給學(xué)生，邏輯上嚴(yán)謹(jǐn)，推理嚴(yán)密。然而，微積分定義較長且符號繁多，作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實的學(xué)生很難理解概念并掌握，定義中一旦有一個符號不明白，就會對整個概念產(chǎn)生疑惑和不解。因此，我們急需打破傳統(tǒng)課程構(gòu)建模式，從解決實際問題出發(fā)，引起學(xué)生興趣，使之掌握微積分知識的精髓，從而達(dá)到理解并會應(yīng)用微積分知識解決實際問題的目的。

二、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)現(xiàn)狀及改革需求分析

（一）“大眾化教育”背景下的數(shù)學(xué)發(fā)展

“大眾化教育”相對于“精英化教育”，學(xué)生入學(xué)門檻低。作為一所“沒有圍墻”的大學(xué)，國開以寬進(jìn)嚴(yán)出、面向全體社會成員為辦學(xué)理念。在此“大眾化教育”背景下，會出現(xiàn)學(xué)生入學(xué)時水平參差不齊、數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)普遍較差的現(xiàn)象。然而，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)作為一門基礎(chǔ)理論性較強(qiáng)的專業(yè)，相關(guān)教材的內(nèi)容設(shè)計和教師的講課方式一直以來都是以嚴(yán)格的理論推導(dǎo)為主線，忽略數(shù)學(xué)知識的實用性，這與大眾化教育背景下成人對于數(shù)學(xué)知識的需求是相悖的。因此，我們應(yīng)以數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性為主線，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力為目標(biāo)，適當(dāng)減少理論知識的推導(dǎo)和證明，化繁為簡，產(chǎn)教融合。

（二）現(xiàn)有教材中關(guān)于微積分概念的引入沒有體現(xiàn)成人教育的特點

縱觀我國普通高校使用的微積分教材，導(dǎo)數(shù)和積分的應(yīng)用都是放在章節(jié)末尾講解。對于全日制學(xué)生來講，他們有足夠的時間去理解前面的理論知識，最后過渡到其應(yīng)用順理成章。而成人學(xué)習(xí)時間有限，且目的性強(qiáng)的特點使得他們在最開始學(xué)習(xí)時就迫切想知道為什么學(xué)習(xí)微積分理論，有什么用？因此，急需研究出版針對成人教育特點的微積分教材。

（三）教師忽略教學(xué)設(shè)計，學(xué)生理解概念困難

微積分知識中涉及了三個重要概念——導(dǎo)數(shù)、微分和積分。根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍認(rèn)為微分和積分的概念理解起來困難，導(dǎo)數(shù)和微分容易混淆等[1]。究其原因，還是學(xué)生沒有充分理解微積分知識的內(nèi)涵和應(yīng)用。從教師的角度分析，照本宣科式的講解，符號化的語言描述及嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，冗長復(fù)雜的計算無疑會掣肘學(xué)生對微積分知識的理解。美國數(shù)學(xué)史家M.克萊因（Morries Kline）認(rèn)為數(shù)學(xué)不應(yīng)該是說得越嚴(yán)密越好，而要把它描繪成盡可能地靠直覺接受。作為教師，要有能建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的能力，即從生動形象的簡單例子開始，讓學(xué)生學(xué)會去猜想、構(gòu)思，嚴(yán)格的理論推導(dǎo)只是最后的一步。

三、針對數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)發(fā)展的建議和措施

（一）教材內(nèi)容的改革

1.介紹微積分理論產(chǎn)生的背景

人類認(rèn)識微積分的過程并不是按照現(xiàn)有課本介紹的順序發(fā)展的。微積分教材中應(yīng)將微積分理論產(chǎn)生的背景作為介紹，放在教材最前面，使讀者了解微積分概念的演變和發(fā)展，使之對微積分理論有一個直觀感性的認(rèn)識。

微積分理論是社會需求的產(chǎn)物。除了我國莊子和劉徽的割圓術(shù)蘊(yùn)涵微積分萌芽，古希臘人阿基米德的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中提到拱形面積、球和螺旋線下的面積等曲線面積問題[2]，都為微積分的誕生打下基礎(chǔ)。到了17世紀(jì)，由于生產(chǎn)力的發(fā)展和社會實踐的需要，人們開始研究運(yùn)動物體的變化率和復(fù)雜圖形的面積問題。在前人工作的基礎(chǔ)上，牛頓和萊布尼茲獨立發(fā)表著作，從不同的角度闡述微積分理論。牛頓研究一個變量相對于另一變量的瞬時變化率，發(fā)表《流數(shù)法》、《分析學(xué)》和《曲線求積術(shù)》，以無窮小量為基礎(chǔ)建立微積分。萊布尼茲則研究曲線的切線和極值，首次引入微分記號dx，發(fā)表《一種求極大值和極小值以及求切線的新方法》，從而創(chuàng)立微積分。然而牛頓和萊布尼茲都不能夠?qū)⒆约航⒌奈⒎e分理論嚴(yán)格定義，從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)以及芝諾悖論。為了解決危機(jī)及出現(xiàn)的矛盾，在實數(shù)稠密性理論完善的基礎(chǔ)上，柯西利用ε-δ語言嚴(yán)格定義了無窮小量的概念，在函數(shù)上定義了極限和連續(xù)性的概念，在極限的基礎(chǔ)上，重新定義和闡述微積分理論。經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的不懈努力，形成了現(xiàn)有的微積分理論框架。

2.重新安排教材章節(jié)內(nèi)容，重視微積分知識的實用性

教材內(nèi)容決定了課程之綱，合適的教材編排能夠幫助學(xué)生理解概念。

①積分相對于微分學(xué)比較容易理解，且按照微積分歷史發(fā)生的順序，積分學(xué)早于微分學(xué)，故可將積分學(xué)放在微分學(xué)的前面講述。

③對于微分學(xué)篇，首先，在簡單理解導(dǎo)數(shù)意義的基礎(chǔ)上，介紹導(dǎo)數(shù)的計算。包括導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、常見導(dǎo)數(shù)的基本公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等。其次，著重講解導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，即通過生活中的實例介紹導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域。例如，導(dǎo)數(shù)在幾何學(xué)中可以用于求曲線的切線、斜率、極值和最值等問題；在物理學(xué)中可以用于求運(yùn)動物體的瞬時速率和變力做功等問題；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以用于求需求彈性、邊際利潤及收入最大化等問題。通過具體的應(yīng)用介紹，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，暫時繞開理論知識的推導(dǎo)，更容易使學(xué)生形成形象直觀的感受。微分以導(dǎo)數(shù)為工具，用于求函數(shù)改變量的近似計算。導(dǎo)數(shù)和微分無論從定義還是從應(yīng)用來說，都是兩個完全不同的概念，學(xué)生之所以容易混淆二者，是因為定義復(fù)雜記不住，求微分時也需要求導(dǎo)數(shù)，感覺二者沒有區(qū)別，卻沒有從應(yīng)用的角度將二者徹底區(qū)分開。最后，將極限、導(dǎo)數(shù)和微分的嚴(yán)格定義作為升級內(nèi)容留給感興趣的同學(xué)進(jìn)一步了解。這樣的章節(jié)設(shè)計，既滿足了基礎(chǔ)理論較差學(xué)生的需求，又不妨礙高層次學(xué)生對理論知識的渴求。

（二）教師應(yīng)注重教學(xué)設(shè)計，不斷提高教學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量

教師就是教材的“代言人”，是連接學(xué)生需求與教材之間的橋梁。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，精心的教學(xué)設(shè)計會帶給學(xué)生事半功倍的學(xué)習(xí)效果。就微積分理論而言，可從不同的角度設(shè)計教學(xué)過程，在學(xué)生的思維水平范圍之內(nèi)，使之掌握知識并能夠解決實際問題。

1.利用發(fā)生教學(xué)法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

發(fā)生教學(xué)法是托普利茨（O.Toeplitz）早在1926年提出的一種教學(xué)思想方法，即依據(jù)歷史發(fā)生原理，教師根據(jù)需要重構(gòu)歷史，追溯問題的本源，以便找到所要解決數(shù)學(xué)問題的核心所在[4，5]。

學(xué)生在學(xué)習(xí)一個新知識點的時候最想知道的是來源于哪里？所要解決什么樣的數(shù)學(xué)問題[6]？通過發(fā)生教學(xué)法，教師可以介紹微積分產(chǎn)生的背景，重點強(qiáng)調(diào)積分最早用來求封閉圖形的面積（如阿基米德與拋物線），導(dǎo)數(shù)用來求瞬時速率、切線斜率等，微分則用于求函數(shù)微小變化量的近似值。

其次，教師可通過介紹第二次數(shù)學(xué)危機(jī)和芝諾悖論的典型例子，使學(xué)生充分理解極限的概念，激發(fā)其求知欲。例如下面的例子：

例2：0.999999999……（無限循環(huán)下去）與1是否相等？

通過以上兩個問題，引發(fā)學(xué)生的討論，以達(dá)到發(fā)生教學(xué)法的目的。

2.利用微電影和幾何圖形等教學(xué)工具，加深學(xué)生的理解能力

數(shù)學(xué)專業(yè)不同于其他學(xué)科，理論知識較強(qiáng)，公式符號繁雜，難以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，容易使學(xué)生產(chǎn)生倦怠。利用網(wǎng)絡(luò)工具，教師可通過制作微電影方式[7]，使學(xué)生參與視頻制作，從而提高學(xué)生觀看的積極性，同時將微積分知識形象的展示在學(xué)生面前，例如國開的5分鐘課程，通過時間短、內(nèi)容精的微課，學(xué)生使用平板、手機(jī)等移動設(shè)備，利用碎片化的時間即可方便的學(xué)習(xí)。教師亦可利用漫畫形象、寓教于樂的特點，通過制作動漫的方式，將微積分知識通俗易懂的展現(xiàn)給學(xué)生。

圖1 導(dǎo)數(shù)的概念

3.通過實例分析，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

微積分知識應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，教師可通過實例講解，啟發(fā)學(xué)生思考，以培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

在近似計算中往往用到微分知識。例如：一個半徑為10cm的金屬圓片，受熱后半徑伸長了0.05cm，問面積增大了大約多少？設(shè)面積S=πr2，則ΔS≈ dS=S'Δr=2πr.Δr= π，因而可求出面積大約增長了π。

四、結(jié)束語

根據(jù)“社會需求，因材施教”的原則，深化產(chǎn)教融合，如何培養(yǎng)社會需求的應(yīng)用型數(shù)學(xué)人才，是值得深入思考的問題[8]。從教材改革出發(fā)，注重數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性，弱化理論推導(dǎo)；結(jié)合社會熱點，列舉與數(shù)學(xué)有關(guān)的熱門問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。教師應(yīng)注重教學(xué)設(shè)計，利用網(wǎng)絡(luò)資源，多將實用且有趣的例子應(yīng)用于教學(xué)課堂，將抽象的概念形象具體化，提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，使知識點易于接受和理解。統(tǒng)籌兼顧，多策并舉，以期為社會培養(yǎng)具有實踐能力和創(chuàng)新精神的應(yīng)用型數(shù)學(xué)人才。