孔春香

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

1 引 言

本文考慮拉格朗日坐標(biāo)下一維可壓縮向列型液晶系統(tǒng)[1-3]的初邊值問(wèn)題：

(1)

其中(ρ,u,n):[0,1]×[0,)→R+×R×S2, 分別代表流體密度、流體速度場(chǎng)以及液晶分子的單位方向向量場(chǎng).壓力函數(shù)P(ρ)=Aργ(A>0,γ>0),μ、λ、θ為正的物理參數(shù).為便于計(jì)算，取μ=λ=θ=1. 系統(tǒng)初始值和邊界條件滿(mǎn)足：

(ρ,u,n)t=0=(ρ0,u0,n0)(y),?y∈[0,1]

(2)

ρ(0,τ)=ρ(1,τ)=0

(3)

有關(guān)液晶流體系統(tǒng)問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者做了一些研究;當(dāng)小密度函數(shù)有正的下界時(shí)，文獻(xiàn)[4]考慮了在不同邊界條件下一維液晶流體系統(tǒng)整體解和強(qiáng)解的存在性和唯一性以及弱解的存在性.文獻(xiàn)[5]獲得了整體對(duì)稱(chēng)強(qiáng)解的存在性.文獻(xiàn)[6]研究了三維歐氏空間有界區(qū)域中向列型液晶流體的一個(gè)耦合的非拋物耗散動(dòng)力系統(tǒng)的全局弱解的存在性.

假設(shè)初始值滿(mǎn)足下列條件：

(A2)u0,(ρ0u0y)y∈L2([0,1])

定義1 函數(shù)ρy,τ、uy,τ、n(y,τ)為初邊值問(wèn)題(1)-(3)的一個(gè)整體弱解，若對(duì)任意的T>0,有

ρ,u,n∈L0,T∩C0,T,L2(0,1)

ρny∈L0,T∩C0,T,L2(0,1)

ρuy,ρ(ρny)y∈L

進(jìn)一步方程(1)是成立的，對(duì)幾乎所有的y∈0,1和?τ≥0,并且

2 先驗(yàn)估計(jì)和唯一性的證明

引理1[2]0

‖u‖L([0,1]×[0,T])+‖ρ(ρny)y‖L([0,1]×[0,T])≤c

本文中‖?‖表示L2范數(shù)，c表示通用常數(shù)，不同的地方代表不同的常數(shù).

定理1 在條件(A1)、(A2)、A3下，令ρ1,u1,n1(y,τ)、ρ2,u2，n2(y,τ)為初始邊界值問(wèn)題(1)-(3)在0≤τ≤T的兩個(gè)解，并滿(mǎn)足正則性條件，則對(duì)于幾乎處處的(y,τ)∈[0,1]×[0,T],有

ρ1,u1,n1(y,τ)=ρ2,u2,n2(y,τ)

證明:設(shè)(ρ1,u1,n1)、(ρ2,u2,n2)都是方程的解，并設(shè)

首先由(1)知(ρ1,u1)和(ρ2,u2)滿(mǎn)足?yui=?τvi,i=1,2

(4)

由(2)和 (4)式，可得

(5)

方程(5)兩邊乘以u(píng)1-u2在[0,1]上積分，并分部積分，利用邊界條件(3)和(4)式、引理1、Lagrange中值定理、Young不等式及嵌入定理得到

即

(6)

hτ(y,τ)≤c1(v2τ+v1τ-v2τ)

(7)

(8)

將(8)代入 (6) ，其結(jié)果在(0,τ)積分，利用已知條件得到

由于h(y,τ)≥c>0，所以有

(9)

利用嵌入定理 得

對(duì)(9)式利用Gronwall不等式，可得

即ρ1(y,τ)=ρ2(y,τ),u1(y,τ)=u2(y,τ).

由(1)的第3式，有

(10)

J1+J2+J3+J4+J5+J6+J7+J8

(11)

利用引理1和Young不等式得

則有

(12)

由Gronwall不等式和引理1，得

即n1(y,τ)=n2(y,τ).定理得證.