賴海琳，吳海彬

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引言

目前，轉(zhuǎn)子磁場定向的矢量控制方法因諸多優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于PMSM控制系統(tǒng)中[1].其中，電流控制環(huán)是PMSM矢量控制技術(shù)中的一部分.基于比例積分(PI)控制器的電流矢量控制是一種常規(guī)的方案[2]，傳統(tǒng)的PMSM矢量控制就是一個例子[3-4].通過2次坐標(biāo)變換，將自然坐標(biāo)系下定子的三相電流分解成在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的勵磁電流和轉(zhuǎn)矩電流，分別與速度環(huán)輸出的電流信號進(jìn)行比較后輸入PI控制器進(jìn)行電流環(huán)控制，再將PI控制器輸出的控制信號通過1次坐標(biāo)變換到靜止坐標(biāo)系下進(jìn)行矢量調(diào)制.傳統(tǒng)PMSM矢量控制的整個過程需要進(jìn)行3次坐標(biāo)變換，增加了控制算法的難度[5-6].同時(shí)，由于電機(jī)自身結(jié)構(gòu)，為了獲得更好的性能，通過PI控制器進(jìn)行電流矢量控制需實(shí)現(xiàn)電壓解耦控制，消除動態(tài)耦合[7]，增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性，并且解耦項(xiàng)的部分參數(shù)隨溫度的變化而改變，使電機(jī)運(yùn)行時(shí)性能有所下降[8].

近年來，比例諧振(PR)控制器在逆變電源控制中有著廣泛的應(yīng)用[9]，但是在PMSM控制上使用較少.PR控制器可以避免多次坐標(biāo)變換，使計(jì)算量大為降低，并且控制效果與同步坐標(biāo)系下的PI控制器幾乎相同，能無穩(wěn)態(tài)誤差地跟蹤特定頻率的信號.由于PR控制器的優(yōu)點(diǎn)，可以將其應(yīng)用在PMSM控制上.PR控制器雖然在基頻處有著高增益，但是頻帶過窄[10]，而在非基頻處低增益頻帶寬，這使PR控制器無法抑制大部分處在非基頻處的干擾信號[11]，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定.為使PR控制器在PMSM控制上得到更好的應(yīng)用，通常用改進(jìn)的PR控制器實(shí)現(xiàn)對PMSM的矢量控制.目前，改進(jìn)的PR控制器在PMSM上的應(yīng)用，大多是通過分解廣義積分項(xiàng)和脈沖響應(yīng)不變法對PR控制器進(jìn)行離散化處理.這兩種離散方法計(jì)算復(fù)雜，且會產(chǎn)生頻率混疊.雙線變換法不存在頻率混疊效應(yīng)[12].因此，本研究通過雙線性變換法對PR控制器進(jìn)行離散處理，提出一種基于改進(jìn)PR控制器的在靜止坐標(biāo)下對PMSM電流的矢量控制策略.經(jīng)實(shí)驗(yàn)和仿真，證實(shí)了該方法的正確性.該控制算法實(shí)現(xiàn)在靜止坐標(biāo)系下對交流信號的無靜差調(diào)節(jié)[13]，對指定頻率的諧波可以進(jìn)行有選擇性的補(bǔ)償[14]，無需通過對解耦項(xiàng)進(jìn)行精確解耦的方式來提高電機(jī)的工作性能，使PMSM控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更加簡單.同時(shí)，靜止坐標(biāo)下的計(jì)算降低了算法的復(fù)雜度，提高了系統(tǒng)的魯棒性.控制性能與PI控制器相比有所改善.

1 建立PMSM數(shù)學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)變換原理

在ABC自然坐標(biāo)系下，三相PMSM的物理模型如圖1所示.圖1中，A、B和C分別為電機(jī)三相定子繞組的軸線；θe為轉(zhuǎn)子位置角；Φm為永磁體磁鏈，ωe為轉(zhuǎn)速；a-a、b-b和c-c表示三組線圈，線圈上存在電感和電阻.

為簡化自然坐標(biāo)系下三相PMSM的數(shù)學(xué)模型，采用坐標(biāo)變換包括靜止坐標(biāo)變換和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換.它們之間的關(guān)系如圖2所示.圖2中，ABC為自然坐標(biāo)系，A、B和C三個坐標(biāo)軸空間互差120°；d-q為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，d和q兩個坐標(biāo)軸空間互差90°；α-β為靜止坐標(biāo)系，α和β兩個坐標(biāo)軸空間互差90°.θe為轉(zhuǎn)子位置角.

圖1 PMSM物理模型Fig.1 PMSM physical model

圖2 各坐標(biāo)之間的關(guān)系Fig.2 Relationship between the coordinates

靜止坐標(biāo)變換是將自然坐標(biāo)ABC變換到α-β靜止坐標(biāo)系，根據(jù)圖2所示的各坐標(biāo)系之間的關(guān)系，可得變換方程：

(1)

旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換是將靜止坐標(biāo)系變換到d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，根據(jù)圖2所示的各坐標(biāo)系之間的關(guān)系，可得變換方程：

(2)

式(1)、(2)中，f代表電機(jī)的電壓、電流或磁鏈等變量的各軸分量.

1.2 PMSM數(shù)學(xué)模型

經(jīng)過坐標(biāo)變換，PMSM 在與轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)的d-q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型[15]如下.

定子電壓方程為：

(3)

定子磁鏈方程為：

λq=Lqiq，λd=Ldid+Φm

(4)

將式(4)代入式(3)，得：

(5)

其中：vd、vq分別是定子在d軸和q軸的電壓分量；id、iq分別是定子在d軸和q軸的電流分量；r是定子電阻；λd、λq分別是定子在d軸和q軸的磁鏈分量；ωe為電角速度；Ld、Lq分別是在d軸和q軸的電感分量；Φm為永磁體磁鏈.

如果此時(shí)q軸和d軸實(shí)現(xiàn)完全解耦，則電磁轉(zhuǎn)矩方程：

(6)

當(dāng)id=0時(shí)，式(6)變?yōu)椋?/p>

(7)

由式(7)可以看出，在實(shí)現(xiàn)完全解耦的前提下，當(dāng)id=0時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩只與iq有關(guān).通過坐標(biāo)變化，使交流電機(jī)復(fù)雜的電磁轉(zhuǎn)矩關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚闹绷麟姍C(jī)電磁轉(zhuǎn)矩模型.但從式(5)可見，在同步坐標(biāo)系下，兩個坐標(biāo)軸上的電壓相互耦合，電流id在q軸上產(chǎn)生的耦合電動勢為ωeLdid，電流iq在d軸產(chǎn)生耦合電動勢為-ωeLqiq.進(jìn)一步，當(dāng)ωe增大時(shí)，耦合電動勢在式(5)中所占的比例也相應(yīng)增大，會造成高速時(shí)給電流環(huán)帶來額外的負(fù)擔(dān)，嚴(yán)重時(shí)甚至使電流環(huán)不穩(wěn)定[16].

2 改進(jìn)的PR控制器

目前，有多種電壓解耦策略是通過在矢量控制中對電流環(huán)的PI控制器進(jìn)行控制調(diào)節(jié)的，如電流前饋解耦、交叉解耦和電流偏差解耦[17].雖然基于PI控制器的矢量控制技術(shù)能夠很好地實(shí)現(xiàn)電機(jī)解耦控制，但是電流前饋解耦對參數(shù)十分敏感，交叉解耦在低速時(shí)解耦的效果較差，電流偏差解耦計(jì)算量大且結(jié)構(gòu)復(fù)雜[18].為解決這些問題，通過改進(jìn)的PR控制器，實(shí)現(xiàn)一種在靜止坐標(biāo)系下的電流矢量控制策略.

2.1 改進(jìn)的PR控制器控制原理

比例諧振控制器，簡稱PR控制器，該控制器是通過比例和諧振兩個環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)控制.PR控制器可對交流信號實(shí)現(xiàn)無靜差控制與跟蹤[19].

理想的PR控制器傳遞函數(shù)[20]：

(8)

理想的PR控制器，雖然在諧振頻率點(diǎn)處有高增益，但是頻帶很窄，在非諧振頻率點(diǎn)處增益低，頻帶寬，這使得PR控制器很難抑制大部分處在非諧振頻率點(diǎn)處的干擾信號，在實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用中不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性.為了提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，采用改進(jìn)的PR控制器.改進(jìn)的PR傳遞函數(shù)：

(9)

其中：ω0為諧振頻率；Kp為比例增益；Ki為積分增益；ωc為截止頻率.

在設(shè)計(jì)中，諧振頻率與電機(jī)轉(zhuǎn)速一致.因此，從式(9)中可以看出，控制器中有3個參數(shù)，ωc，Kp，Ki.假設(shè)其中兩個參數(shù)不變，改變第三個參數(shù)，通過博德圖來分析三個參數(shù)分別對系統(tǒng)性能的影響.博德圖如圖3所示.

通過圖3分析可知，當(dāng)Kp增大，在基頻處以外的幅值隨之增大，而基頻處的幅值雖然也有所增大，但是增大的幅度并不是十分明顯，表明Kp太大后對諧振的影響并不大；ωc決定系統(tǒng)的帶寬，ωc越小系統(tǒng)的頻帶越窄，對信號具有良好的選擇性；Ki起消除穩(wěn)態(tài)誤差的作用，隨著Ki的增大，基波頻率處增益增大，但是同時(shí)系統(tǒng)頻帶范圍變大，使無用的信號被放大，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定.所以選擇改進(jìn)比例諧振參數(shù)，應(yīng)調(diào)節(jié)Ki來減少系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)調(diào)節(jié)ωc來選擇有用信號，抑制頻率波動帶來的誤差影響.

圖3 分別改變PR三個參數(shù)的伯德圖Fig.3 Bode map that changes the three parameters of PR, respectively

2.2 改進(jìn)的PR控制器在PMSM上的實(shí)現(xiàn)

使用改進(jìn)的PR控制器代替?zhèn)鹘y(tǒng)PMSM電流環(huán)的PI控制器，設(shè)計(jì)了一種在靜止坐標(biāo)系下PMSM控制策略，其系統(tǒng)框圖如圖4所示.

圖4 靜止坐標(biāo)系下基于改進(jìn)PR控制器的PMSM矢量控制圖Fig.4 PMSM vector control based on improved PR regulator in stationary coordinate

用數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn)該控制策略時(shí)，為避免頻率混疊效應(yīng)，采用雙線性變換法對式(9)進(jìn)行離散化處理.變換公式為：

(10)

將式(10)代入式(9)，得：

(11)

整理后，得差分方程：

y(k)=y1(k)+y2(k)

(12)

其中：

y1(k)=b0x(k)-b0x(k-2)-a1y1(k-1)-a2y1(k-2)

(13)

y2(k)=Kpx(k)

(14)

式(12)實(shí)現(xiàn)了對誤差信號的穩(wěn)態(tài)控制，相比于傳統(tǒng)的PI控制器解耦反饋控制，PR控制器控制簡單，易于實(shí)現(xiàn).

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)基于改進(jìn)PR控制器的PMSM矢量控制效果，根據(jù)圖4所示的靜止坐標(biāo)系下基于改進(jìn)PR控制器的PMSM矢量控制框圖，在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建仿真模型，如圖5所示.

圖5 Matlab/Simulink環(huán)境下基于改進(jìn)PR搭建系統(tǒng)仿真模型Fig.5 System simulation model based on improved PR in Matlab/Simulink environment

同時(shí)，為便于比較，根據(jù)文[1]在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建基于PI控制器的系統(tǒng)仿真模型(近似文[1]的圖6).

① 仿真電機(jī)參數(shù).電機(jī)極對數(shù)2，定子電感Lq和Ld均為6×10-3H，轉(zhuǎn)動慣量為0.001 2 kg·m2，永磁磁通0.182 7 Wb，定子電阻0.6 Ω.

② 仿真條件.仿真時(shí)間0.4 s，采樣周期1×10-6s ，參考轉(zhuǎn)速1 500 r·min-1，初始時(shí)刻負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=0 N·m，在t=0.2 s時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=10 N·m.

③ 控制器參數(shù)選擇.在圖6所示的基于PI控制器搭建的系統(tǒng)仿真模型中，通過內(nèi)?？刂撇呗?，對交叉耦合電動勢進(jìn)行解耦，可以得到PI控制器參數(shù)滿足如下關(guān)系[21]：

(15)

其中：α為調(diào)節(jié)參數(shù)，與系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間有關(guān)，受電機(jī)的時(shí)間常數(shù)限制；τ為電機(jī)的時(shí)間常數(shù)；R為定子電阻；Ld、Lq分別是在d軸和q軸的電感分量.

圖6 仿真轉(zhuǎn)速變化曲線Fig.6 Simulation speed transformation curve

在實(shí)際控制過程中，系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間受電機(jī)的時(shí)間參數(shù)限制，在PMSM中，電機(jī)的時(shí)間參數(shù)為：

(16)

根據(jù)仿真電機(jī)參數(shù)和式(15)、(16)，當(dāng)電流環(huán)PI控制器參數(shù)為Kp=4，Ki=375時(shí)，基于PI控制器的PMSM矢量控制對該仿真電機(jī)控制性能較好.為便于比較兩種控制器的控制性能，設(shè)定改進(jìn)的PR控制器參數(shù)與PI控制器的參數(shù)一致，均為Kp=4，Ki=375，ωc=10.改進(jìn)PR控制器的PMSM矢量控制仿真的轉(zhuǎn)速如圖6所示.

基于改進(jìn)PR控制器的PMSM矢量控制仿真靜止坐標(biāo)下的α和β電流如圖7所示.

圖7 靜止坐標(biāo)系下的電流情況Fig.7 Current situation in a stationary coordinate system

為對比基于PI控制器的PMSM矢量控制，所用PI仿真模型中的速度環(huán)和電流環(huán)的增益參數(shù)和電機(jī)參數(shù)與基于改進(jìn)PR控制器仿真矢量控制條件一致，二者仿真的轉(zhuǎn)速結(jié)果，如圖8所示.

從仿真結(jié)果可以看到，當(dāng)轉(zhuǎn)矩在t=0.2 s突變時(shí)，在改進(jìn)的PR控制下，PMSM靜止坐標(biāo)系下的定子電流分量能快速響應(yīng)轉(zhuǎn)矩的變化，速度曲線稍有波動，但是很快恢復(fù)至設(shè)定的速度，驗(yàn)證了該控制策略的有效性.同時(shí)，基于PI控制器的PMSM矢量控制與基于改進(jìn)PR控制器的PMSM矢量控制，二者在電機(jī)參數(shù)以及電流環(huán)和速度環(huán)增益參數(shù)一致的情況下，轉(zhuǎn)速曲線基本相同，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間相近.但是，在仿真情況下，電機(jī)電感和磁鏈參數(shù)都為精確值，不會隨時(shí)間而改變，實(shí)現(xiàn)完全解耦，說明基于改進(jìn)PR控制器矢量控制性能與基于PI控制器的解耦矢量控制的最優(yōu)性能接近.當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速從0轉(zhuǎn)速上升到1 500 r·min-1時(shí)，基于改進(jìn)的PR控制器矢量控制的電機(jī)轉(zhuǎn)速超調(diào)量略小于使用基于PI控制器解耦的控制系統(tǒng)，且在t=0.2 s時(shí)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩從0突變?yōu)門L=10 N·m，其轉(zhuǎn)速波動也小于使用傳統(tǒng)PI控制器的控制系統(tǒng).

為進(jìn)一步驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)PR控制器的PMSM矢量控制效果，根據(jù)圖5基于改進(jìn)PR搭建的仿真模型，設(shè)計(jì)和焊接了實(shí)物驅(qū)動板.驅(qū)動板處理器采用STM32F103VET6芯片，用于接收轉(zhuǎn)子位置信息和定子三相電流信息來實(shí)現(xiàn)對應(yīng)于仿真模型中的坐標(biāo)變換和改進(jìn)PR控制器中的算法，并且輸出控制信號.驅(qū)動電路采用IR2103s芯片，逆變電路采用6個型號為75NF75的mos管構(gòu)成，通過驅(qū)動電路，逆變電路和處理器輸出的控制信號，實(shí)現(xiàn)仿真模型中的SVPWM空間矢量調(diào)制.仿真模型中轉(zhuǎn)子位置信息和三相電流信息在驅(qū)動板上分別通過1 000線增量式編碼器和三相電阻法采樣得到.電機(jī)參數(shù)與仿真電機(jī)參數(shù)一致.實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)500 μs采集一次，通過串口將電機(jī)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置的測試數(shù)據(jù)上傳到上位機(jī).實(shí)物圖如圖9所示.

圖8 仿真對比轉(zhuǎn)速變換曲線Fig.8 Simulation and contrast speed transformation curve

圖9 實(shí)物連接圖Fig.9 Connection material object

電機(jī)運(yùn)行過程中PR控制器控制下轉(zhuǎn)子位置如圖10(a)所示，實(shí)際轉(zhuǎn)子位置與理論位置對比情況如圖10(b)所示，其中理論位置通過線性擬合得到.

圖10 轉(zhuǎn)子位置情況Fig.10 Rotor position diagram

圖11 實(shí)驗(yàn)對比轉(zhuǎn)速變換曲線Fig.11 Experiment and contrast speed transformation curve

從圖10可見，所設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)PR控制器的PMSM矢量控制的轉(zhuǎn)子位置與理論轉(zhuǎn)子位置曲線幾乎重合.說明電機(jī)在運(yùn)行過程中較為穩(wěn)定，驗(yàn)證了該改進(jìn)的PR控制器在PMSM矢量控制上的有效性.

進(jìn)一步地，通過實(shí)驗(yàn)比較了PI控制器與改進(jìn)PR控制器的PMSM矢量控制，實(shí)驗(yàn)條件為轉(zhuǎn)速從0加速至1 500 r·min-1再減速到0時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速情況, 如圖11所示.從圖11可見，兩種控制方法所得的轉(zhuǎn)速曲線相近，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間基本相同.但是在轉(zhuǎn)速從0加速至1 500 r·min-1時(shí)，改進(jìn)PR控制器的PMSM矢量控制轉(zhuǎn)速超調(diào)量略小于改進(jìn)PI控制器的PMSM矢量控制，且轉(zhuǎn)速波動量小.

4 結(jié)語

將改進(jìn)的PR控制器應(yīng)用到PMSM矢量控制中，利用雙線性變換法對控制器進(jìn)行離散化處理.通過實(shí)驗(yàn)得到轉(zhuǎn)子的位置、轉(zhuǎn)速情況和仿真得到的轉(zhuǎn)速情況以及靜止坐標(biāo)系下的電流情況, 驗(yàn)證了該矢量控制的有效性.與傳統(tǒng)的PI解耦控制對比，兩種控制器實(shí)驗(yàn)和仿真的轉(zhuǎn)速曲線基本相同，說明兩種控制器在PMSM上的控制性能相似.但是相比于PI控制器，通過改進(jìn)的PR控制器設(shè)計(jì)的PMSM控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，不需要精確地估計(jì)電機(jī)參數(shù)，無需補(bǔ)償解耦項(xiàng)，避免了PI控制器下復(fù)雜的多次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)計(jì)算，易于實(shí)現(xiàn)，且控制性能好.