高國(guó)琴，周輝輝，方志明

（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013）

前言

現(xiàn)有汽車電泳涂裝輸送系統(tǒng)如RoDip輸送機(jī)和多功能穿梭機(jī)等都是懸臂梁串聯(lián)結(jié)構(gòu)，存在承載能力和靈活性較差等缺陷［1］?；炻?lián)機(jī)構(gòu)是將串并聯(lián)機(jī)構(gòu)合理結(jié)合應(yīng)用的一類機(jī)械結(jié)構(gòu)，具有剛度高、承載能力大和動(dòng)態(tài)特性好的優(yōu)點(diǎn)，能實(shí)現(xiàn)多自由度、多模式運(yùn)動(dòng)［2-3］。因此，本文中基于混聯(lián)機(jī)構(gòu)研制了一種新型混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)。但該機(jī)構(gòu)系統(tǒng)是一種強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合的多輸入多輸出復(fù)雜系統(tǒng)，對(duì)該機(jī)構(gòu)的控制存在以下問(wèn)題：首先，該機(jī)構(gòu)的閉鏈結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)學(xué)約束導(dǎo)致機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型較為復(fù)雜［4］，傳統(tǒng)的建模方法難以建立既能全面反映其動(dòng)力學(xué)特性、又能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制的數(shù)學(xué)模型；此外，該系統(tǒng)存在多種復(fù)雜的不確定性因素，如耦合動(dòng)力學(xué)影響、摩擦和外界干擾等，使機(jī)構(gòu)的高性能控制難以實(shí)現(xiàn)。因此有必要從建模方法和解決系統(tǒng)不確定性問(wèn)題方面研究提高該輸送機(jī)構(gòu)的控制性能。

針對(duì)傳統(tǒng)建模方法如拉格朗日法與牛頓 歐拉法等難以建立既能全面反映動(dòng)力學(xué)特性、又能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制的新型混聯(lián)式輸送機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，本文中引入時(shí)延估計(jì)技術(shù)［5］實(shí)時(shí)在線獲取系統(tǒng)模型，該模型包含混聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)未知?jiǎng)恿W(xué)、摩擦和外界干擾等不確定因素。時(shí)延估計(jì)方法不需要復(fù)雜被控對(duì)象如機(jī)器人、混聯(lián)機(jī)構(gòu)等的動(dòng)力學(xué)模型，避免了其逆動(dòng)力學(xué)的在線實(shí)時(shí)計(jì)算［6］，但存在時(shí)延估計(jì)誤差。該誤差是與狀態(tài)有關(guān)的非線性項(xiàng)，其大小影響系統(tǒng)的魯棒性［7］。

本文中針對(duì)混聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)存在不確定性和采用時(shí)延估計(jì)技術(shù)估計(jì)機(jī)構(gòu)未知?jiǎng)恿W(xué)存在時(shí)延估計(jì)誤差的問(wèn)題，引入滑?？刂撇呗??；？刂凭哂许憫?yīng)快速、對(duì)外界干擾和系統(tǒng)參數(shù)變化不敏感、無(wú)需系統(tǒng)在線辨識(shí)和物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)［8］。但滑模控制系統(tǒng)為確保其穩(wěn)定性和魯棒性，要求滑模控制切換增益的選擇需大于不確定性的上界［9］，然而在實(shí)際工程中，由于上界未知，因此切換增益的選擇要求盡可能大，以覆蓋大范圍的不確定性。但過(guò)大的切換增益會(huì)使滑?？刂飘a(chǎn)生抖振，從而減弱其控制效果。對(duì)于滑?？刂频亩墩駟?wèn)題，目前已有解決方法，主要有邊界層設(shè)置法［10］、低通濾波法［11］和高階滑?？刂品椒ǎ?2］等。但是這些方法仍然需要不確定系統(tǒng)的上界信息，所以仍然存在魯棒性和抖振的矛盾。與上述解決抖振的方法相比，自適應(yīng)滑?？刂撇粌H能夠很好地抑制抖振，且其自適應(yīng)增益的調(diào)整與不確定系統(tǒng)的上界無(wú)關(guān)，目前自適應(yīng)滑?？刂频难芯恳岩鹑藗冴P(guān)注。文獻(xiàn)［13］中考慮系統(tǒng)非結(jié)構(gòu)化的上界，提出一種當(dāng)上界未知和上界非結(jié)構(gòu)化時(shí)的自適應(yīng)滑?？刂品桨?，但由于滑模面附近切換增益變化緩慢，所以仍然會(huì)產(chǎn)生較大抖振。文獻(xiàn)［14］中設(shè)計(jì)了一種魯棒自適應(yīng)終端滑?？刂品桨?，將邊界層的概念用以減小抖振，但這種方法會(huì)降低系統(tǒng)的跟蹤性能。分析可知，上述自適應(yīng)滑?？刂品桨鸽y以保證系統(tǒng)在跟蹤性能好的同時(shí)減小抖振。為解決上述問(wèn)題，引入一種新型自適應(yīng)規(guī)則，該規(guī)則不僅能自適應(yīng)調(diào)整滑模切換增益的大小，且能自適應(yīng)調(diào)整滑模切換增益的調(diào)整速度，從而在系統(tǒng)具有較好跟蹤性能的同時(shí)有效減弱滑?？刂频亩墩?。即當(dāng)滑動(dòng)變量遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，切換增益的導(dǎo)數(shù)與滑動(dòng)變量到滑模面的距離成正比，從而能快速適應(yīng)滑模切換增益的調(diào)整和快速收斂到滑模面，以提高系統(tǒng)的跟蹤性能。另外，一旦滑動(dòng)變量接近滑模面，切換增益的導(dǎo)數(shù)將與滑動(dòng)變量到滑模面的距離成反比從而減小抖振。

綜上所述，針對(duì)新型混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)，提出一種時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂品椒?，以解決傳統(tǒng)建模方法難以建立實(shí)時(shí)的、精確的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，以及在無(wú)需不確定系統(tǒng)上界信息的條件下，解決系統(tǒng)中存在的不確定性和滑?？刂拼嬖诘亩墩駟?wèn)題，從而提高系統(tǒng)的跟蹤性能。

1 輸送機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

所研制的新型混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。該混聯(lián)機(jī)構(gòu)由行走機(jī)構(gòu)與升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分組成。其中，升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)作為輸送機(jī)構(gòu)的主體，對(duì)輸送機(jī)構(gòu)的性能影響較大，控制要求較高，為此，著重研究升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)。此外，在該機(jī)構(gòu)中，兩組對(duì)稱并聯(lián)式升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)間通過(guò)連接桿相連，連接桿上安放車體固定架及待涂裝輸送的白車身。因此本文中以連接桿中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)作為新型輸送機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)。

對(duì)于多輸入多輸出的新型混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)方程［9］為

式中：q=（z，β）T為連接桿中點(diǎn)的位移；q·，q··為連接桿中點(diǎn)的速度和加速度；M（q）為對(duì)稱正定的慣性矩陣；C（q）為哥氏力和離心力項(xiàng)；G（q）為重力項(xiàng)；F（）為摩擦力項(xiàng)；為外界干擾項(xiàng)；τ為控制力矩向量。

圖1 新型混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖

基于拉格朗日法、凱恩法等方法求解混聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程過(guò)程十分復(fù)雜，且難以建立既能全面反映動(dòng)力學(xué)特性、又能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制的數(shù)學(xué)模型。據(jù)此，引入一個(gè)正定常數(shù)矩陣M，并對(duì)式（1）兩邊同時(shí)乘以M-1（q）以求出·q·：

則式（1）混聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程可簡(jiǎn)化為

如果能簡(jiǎn)化Γ（t）的計(jì)算或能實(shí)時(shí)估計(jì)出其大小，則式（3）的計(jì)算相當(dāng)簡(jiǎn)單。時(shí)延估計(jì)技術(shù)就是將 Γ（t）的樣本采樣值 ~Γ（t）=Γ（t-L）代入控制律中。Γ（t-L）為 Γ（t）的時(shí)延值，即 t-L時(shí)刻的值，t是當(dāng)前時(shí)間，L是估計(jì)延遲時(shí)間，如果L足夠小，則跟蹤誤差趨向于零。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，所能設(shè)置的最小L是采樣周期，當(dāng)采樣頻率大于系統(tǒng)帶寬的30倍時(shí)，數(shù)字控制系統(tǒng)可視為連續(xù)系統(tǒng)，因而L的選擇足以滿足性能要求。

由于通過(guò)時(shí)延估計(jì)技術(shù)能夠?qū)崟r(shí)在線估計(jì)函數(shù)Γ（t）的大小，故能實(shí)時(shí)獲取包含混聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)未知?jiǎng)恿W(xué)、摩擦和外界干擾等不確定因素的系統(tǒng)模型。

2 時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

基于通過(guò)時(shí)延估計(jì)獲取的混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，擬設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)滑?？刂破鳎越鉀Q系統(tǒng)中存在的各種復(fù)雜不確定性問(wèn)題和滑?？刂拼嬖诘亩墩駟?wèn)題，提高系統(tǒng)的跟蹤性能。時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)目標(biāo)是：確保整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；此外，保證新型輸送機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)動(dòng)位移q能準(zhǔn)確、快速地跟蹤其期望運(yùn)動(dòng)位移qd。

2.1 控制器設(shè)計(jì)

選取滑模面為

其中：e=qd-q；e·=q·d-q·；Ks=diag（Ks1，Ks2）

式中：Ks1，Ks2為滿足霍爾伍茲穩(wěn)定條件的可調(diào)參數(shù)；qd，q·d為連接桿中點(diǎn)的期望位移和速度向量；e，e·為連接桿中點(diǎn)的位移誤差和速度誤差向量。對(duì)式（4）中的S求導(dǎo)，并將e，e·代入得

由式（3）可得

取等速指數(shù)趨近律：

式中：β∈R，為正的可調(diào)參數(shù)；K為切換增益，且K=diag（K1（t），K2（t））。

將式（6）和式（7）代入式（5）整理可得

結(jié)合式（3）可得

將式（9）代入式（8）可得控制律為

為進(jìn)一步提高系統(tǒng)跟蹤性能，同時(shí)減小滑?？刂贫墩瘢O(shè)計(jì)滑?？刂破髑袚Q增益具有如下自適應(yīng)規(guī)則：

從式（11）可以看到，所設(shè)計(jì)自適應(yīng)律無(wú)需使用不確定系統(tǒng)的上界信息。當(dāng) Ki（t）＞0時(shí)，λ（t）的正負(fù)對(duì)應(yīng)自適應(yīng)律的兩種形式如下。

（1）當(dāng) γ（t）＞0，即‖S（t）‖∞＞δ時(shí)，此時(shí)切換增益的導(dǎo)數(shù)為正，切換增益遞增，直到‖S（t）‖∞＜δ；此外，切換增益的導(dǎo)數(shù)與滑動(dòng)變量到滑模面的距離成正比，從而能快速適應(yīng)滑模切換增益的調(diào)整和快速收斂到滑模面，以提高系統(tǒng)的跟蹤性能。

（2）當(dāng) λ（t）≤0，即‖S（t）‖∞≤δ時(shí)，切換增益的導(dǎo)數(shù)為負(fù)，切換增益Ki（t）遞減；此外，滑模切換增益的導(dǎo)數(shù)與滑動(dòng)變量到滑模面距離成反比，從而減小抖振。

因此，所引入的新型自適應(yīng)規(guī)則能夠使系統(tǒng)在具有較好跟蹤性能的同時(shí)有效減弱滑模控制的抖振。所設(shè)計(jì)時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂破髟砜驁D如圖2所示。

圖2 時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂破髟砜驁D

2.2 穩(wěn)定性證明

引理2：對(duì)于由式（10）和式（11）控制的混聯(lián)機(jī)構(gòu)，切換增益 Ki（t）具有上界［9］：Ki（t）＜K*i，K*i為常數(shù)，t≥0。

證明：定義Lyapunov函數(shù)為

對(duì)式（13）求導(dǎo)可得

將式（4）和式（6）代入式（14）可得

將式（9）和式（10）代入式（15）中可得

式（18）表明滑動(dòng)變量 S（t）在有限時(shí)間 tδ＞0內(nèi)到達(dá)滑模面的鄰域中。

式（22）表明當(dāng) t≥tδ時(shí)，滑動(dòng)變量 S（t）有界，且上界可通過(guò)參數(shù)αi，γi和δ來(lái)調(diào)節(jié)。

3 仿真結(jié)果與分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂扑惴ǖ挠行?，以包含未知?jiǎng)恿W(xué)、摩擦力和外界干擾等集總擾動(dòng)的混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型［16］為被控對(duì)象，分別對(duì)本文所設(shè)計(jì)的新型時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂疲∟ASMC＋TDE）和未考慮滑模切換增益調(diào)整速度的自適應(yīng)滑模控制（ASMC）在給定期望運(yùn)動(dòng)軌跡下進(jìn)行MATLAB仿真。其中，混聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型為

上述動(dòng)力學(xué)模型可轉(zhuǎn)化為

為將連接桿中點(diǎn)的廣義力轉(zhuǎn)化為各個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析得到雅可比矩陣：

式中各參數(shù)值如表1所示。為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的魯棒性能，仿真時(shí)加入集總擾動(dòng)：

表1 機(jī)構(gòu)參數(shù)

對(duì)升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析［17］可知，連接桿中點(diǎn)在執(zhí)行升降翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)只存在z方向位移分量和β角度位移分量，此外，由于升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)兩邊對(duì)稱，兩邊對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)一致，故只給出連接桿中點(diǎn)位移各分量和單邊升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)各主動(dòng)關(guān)節(jié)的仿真曲線。圖3為連接桿中點(diǎn)位移各分量期望軌跡。圖4為連接桿中點(diǎn)位移各分量軌跡跟蹤誤差曲線。圖5為單邊升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)3個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)的控制量變化曲線。

圖3 連接桿中點(diǎn)位移各分量期望軌跡

圖4 連接桿中點(diǎn)位移各分量軌跡跟蹤誤差曲線

圖5 單邊升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)3個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)的控制量變化曲線

由圖4可知，所設(shè)計(jì)的時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂圃趜方向位移分量和β角度位移分量的軌跡跟蹤誤差明顯小于未考慮滑模切換增益調(diào)整速度的自適應(yīng)滑?？刂圃趜方向位移分量和β角度位移分量的軌跡跟蹤誤差。這是由于與未考慮滑模切換增益調(diào)整速度的自適應(yīng)滑?？刂葡啾龋瑫r(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂圃诨瑒?dòng)變量遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，切換增益的導(dǎo)數(shù)與滑動(dòng)變量到滑模面的距離成正比，從而能快速適應(yīng)滑模切換增益的調(diào)整和快速收斂到滑模面，從而提高系統(tǒng)的跟蹤性能。

由圖5可知，與未考慮滑模切換增益調(diào)整速度的自適應(yīng)滑?？刂葡啾?，所設(shè)計(jì)的時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑模控制的控制輸入量具有較小的抖振。這是由于時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂圃诨瑒?dòng)變量接近滑模面時(shí)，其切換增益的導(dǎo)數(shù)與滑動(dòng)變量到滑模面的距離成反比，從而能減小抖振。

此外，仿真時(shí)所采用的混聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型加入了集總擾動(dòng)等不確定項(xiàng)，且未提供系統(tǒng)不確定項(xiàng)上界信息，從仿真結(jié)果可以看出，所提出的時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂圃谙到y(tǒng)存在集總擾動(dòng)的情況下仍然具有良好的控制性能，表明該控制方法在無(wú)需不確定系統(tǒng)上界信息的條件下能夠有效解決系統(tǒng)中存在的不確定性問(wèn)題。

綜上所述，基于時(shí)延估計(jì)在線獲取的系統(tǒng)模型所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑?？刂扑惴ㄔ跓o(wú)需不確定系統(tǒng)上界信息的條件下有效地解決了系統(tǒng)中存在的復(fù)雜不確定性問(wèn)題，且能在系統(tǒng)具有較好跟蹤性能的同時(shí)有效減弱滑?？刂贫墩?。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提出時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑模控制器的可行性與有效性，將該控制算法與未考慮滑模切換增益調(diào)整速度的自適應(yīng)滑?？刂茟?yīng)用于輸送機(jī)構(gòu)樣機(jī)，分別進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)。圖6為新型混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)樣機(jī)系統(tǒng)。圖7為連接桿中點(diǎn)位移各分量的跟蹤誤差實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖8為單邊升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)3個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)控制輸入的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖6 混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)樣機(jī)系統(tǒng)

圖7 連接桿中點(diǎn)位移各分量的跟蹤誤差實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由圖7可知，將未考慮滑模切換增益調(diào)整速度的自適應(yīng)滑?？刂茟?yīng)用于樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到連接桿中點(diǎn)在z方向的跟蹤誤差最大值為2.0×10-3m，轉(zhuǎn)動(dòng)角度β的跟蹤誤差最大值為7.0×10-4rad。將時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑模控制應(yīng)用于樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到連接桿中點(diǎn)在z方向的跟蹤誤差最大值為1.5×10-4m，轉(zhuǎn)動(dòng)角度β的跟蹤誤差最大值為2.3×10-4rad。因此，與未考慮滑模切換增益調(diào)整速度的自適應(yīng)滑?？刂葡啾?，采用時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑模控制時(shí)，機(jī)構(gòu)樣機(jī)的跟蹤誤差較小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂颇苡行岣呦到y(tǒng)的跟蹤性能。

由圖8可知，將時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑模控制應(yīng)用于機(jī)構(gòu)樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)得到控制量輸入抖振明顯小于將未考慮滑模切換增益調(diào)整速度的自適應(yīng)滑?？刂茟?yīng)用于樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)得到的控制量輸入抖振。實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂凭哂袦p弱抖振的效果。

5 結(jié)論

圖8 單邊升降翻轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)3個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)控制輸入實(shí)驗(yàn)結(jié)果

（1）采用時(shí)延估計(jì)技術(shù)實(shí)時(shí)在線獲取包含混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)系統(tǒng)未知?jiǎng)恿W(xué)、摩擦和外界干擾等不確定因素的系統(tǒng)模型。

（2）提出一種滑?？刂扑惴ㄒ越鉀Q新型混聯(lián)式汽車電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)系統(tǒng)中存在的如耦合動(dòng)力學(xué)、時(shí)變參數(shù)和外界干擾等不確定性因素以及時(shí)延估計(jì)誤差問(wèn)題，提高了系統(tǒng)的魯棒性。

（3）設(shè)計(jì)了一種滑?？刂魄袚Q增益的自適應(yīng)規(guī)則，使系統(tǒng)在無(wú)需不確定系統(tǒng)上界信息的條件下具有較好跟蹤性能的同時(shí)有效減弱滑模控制抖振。

（4）將所提出的時(shí)延估計(jì)自適應(yīng)滑?？刂婆c未考慮滑模切換增益調(diào)整速度的自適應(yīng)滑?？刂七M(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)，結(jié)果驗(yàn)證了該方案能在不使用不確定系統(tǒng)上界信息的條件下使系統(tǒng)具有較好跟蹤性能的同時(shí)有效減弱滑模控制抖振。