☉江蘇省泰興中學 李建新

提升學生的數(shù)學水平必須著眼于學生思維水平的提升，因此，教師在數(shù)學這場思維盛宴的教學中應關注學生對數(shù)學思維方法的掌握，使學生能夠在靈活運用數(shù)學思維方法的同時獲得發(fā)散性思維與聚合性思維的鍛煉與發(fā)展.對于教師來說，開啟學生的創(chuàng)造之門是教師不可推卸的職責，不斷提升學生的科學素養(yǎng)才能為民族振興打下堅實的基礎.

一、兩種思維的特性

發(fā)散性思維和聚合性思維是人的思想源頭逐漸分成的兩大支流，這兩大支流縱橫交錯并最終衍生出層級眾多的各種思維方法.

又被稱為求異、擴散思維的發(fā)散性思維是一種從不同角度進行各種設想的思想活動.又被稱為求同思維、集中思維的聚合性思維是對同一事物進行各種猜想并令問題最終獲得全面解決的思想活動.從這兩種思維的定義不難看出，思維者在解決問題時需將用于解決問題的相關內容聚集、重組并最終獲得全面的答案.這一思想運用于數(shù)學解題時同樣能夠起到很好的作用，教師在解題教學中，首先應引導學生進行正確的讀題并將原題中有用的信息進行搜集、篩選、翻譯和重組，引導學生調動頭腦中已有的知識和方法對題中的信息進行對照，以及第二次篩選、翻譯和重組，使題中信息與已有知識、方法得以融合并進行新的構建，這是解題思路的形成，解題思路形成過程中的信息搜集、調動和篩選正是聚合性思維在數(shù)學解題中的應用表現(xiàn)，也是數(shù)學教師在教學中經常運用到的“歸納”；解題思路形成過程中的翻譯、重組正是發(fā)散性思維在數(shù)學解題中的應用表現(xiàn)，數(shù)學教師在解題教學中經常將其稱為演繹或模擬.拉普拉斯曾經說過的“歸納與模擬是發(fā)現(xiàn)真理的主要工具”一言可以說是一語道破玄機了.

相互關聯(lián)的發(fā)散性思維和聚合性思維的產生并沒有先后之分，兩種思維在性質上也沒有高低之分，同時產生、相輔相成的兩種思維并不是獨立存在的，發(fā)散性思維的拓展和延伸必須要建立在聚合性思維這一基礎之上，聚合性思維所特有的凝聚作用能使發(fā)散性思維更具有同一性.值得注意的是，兩種思維在數(shù)學解題中的應用必須恰當且合理才能將問題更加圓滿地解決.

二、培養(yǎng)學生發(fā)散性思維和聚合性思維的策略

很多精通數(shù)學的人在復雜、高深問題的解決上往往會從簡單、淺顯的方向進行思考并最終獲得簡單而淺顯的解題方法，事實上，很多難題的解決方法都相對簡潔且令人驚嘆，不過思考、探索這些難題的解決過程往往是很有難度與深度的.教師在培養(yǎng)學生發(fā)散性思維和聚合性思維的過程中所進行的思考與設計也是值得深思的，即便其中所運用到的方案簡單、平凡而瑣碎，但為這一目標的實現(xiàn)所進行的思考與方案的設計卻極具深度且用心良苦.

首先，對這兩種思維的培養(yǎng)不可能運用強行灌輸?shù)姆绞?，教師應有意識地在教學活動中進行這兩種思維的滲透，知識的發(fā)生過程、問題的解決過程、新知識的感悟過程、舊知識的溫習回顧過程等各個環(huán)節(jié)都值得有效利用.不僅如此，教師在課堂教學之余，還應重視學生課外生活中這兩種思維意識的養(yǎng)成，讓學生能夠不時感受到這兩種思維結合的存在及其價值.

例如，以下這道高中數(shù)學組合題就是滲透發(fā)散性思維和聚合性思維教學的一道好題.

題目某廠家倉庫有液晶電視機6臺、數(shù)字電視機5臺，廠家決定在其中任選5臺送給某養(yǎng)老院，要求5臺電視機中至少有液晶電視機和數(shù)字電視機各2臺，共有幾種不同的取法？

錯解：很多學生在選取液晶電視機和數(shù)字電視機的臺數(shù)上進行了分類，最終得出了選2臺液晶電視機和3臺數(shù)字電視機、選3臺液晶電視機和2臺數(shù)字電視機這兩種方法.這種錯誤是因為學生只是對完成任務的兩類辦法進行了理解，對每類辦法中的不同取法并沒有做到真正的認識與理解.

正解：根據(jù)題意的分析可知，根據(jù)第一類辦法進行電視機的選取可以分成以下兩個步驟進行：（1）在液晶電視機中任意選取2臺有種方法；（2）在數(shù)字電視機中任意選取3臺有種方法，由乘法原理可知，共有種方法.同理，根據(jù)第二類辦法進行電視機的選取共有種方法.因此，要完成本次電視機的選取，一共有=350（種）方法.

筆者在此題的解題教學中始終沒有進行直接講解，為學生提供最初的解題方向后就引導學生進行自主思考，當發(fā)現(xiàn)學生在解題思考中的思路有所轉折或斷裂時及時進行了點撥，引導學生在各種不同的角度下進行新的思考并及時發(fā)現(xiàn)新的解法，引導學生將復雜問題進行簡單化的思考和處理并變抽象為直觀，使學生的思維在多角度的思考方式中獲得最大限度的提升.很多學生因為思維的發(fā)散而獲得了多樣化的思考與解決方法，整體思想、排列組合等多種知識在解題中得到了應用與相互轉化，知識和步驟的整合也將聚合思維的應用過程體現(xiàn)得淋漓盡致.

由此可見，思維方法的成功滲透離不開授課方式的改變，教師應將教師講學生聽的傳統(tǒng)授課方式進行改變，并對學生的自主思考進行啟發(fā)，使學生能夠在解題的思考中獲得更加充裕的自主思考的空間與時間，并因此獲得思維的發(fā)展.當然，滲透思維養(yǎng)成的方式并不單一，組織學生講數(shù)學故事、玩數(shù)學益智游戲等都是進行數(shù)學思維培養(yǎng)與滲透的好方法，除此以外，教師還可以有針對性地進行專門性的強化訓練.比如，教師在解題教學中可以引導學生進行一題多解的思考，引導學生自己編題并進行自主解決，使學生能夠在數(shù)學問題的思考與聯(lián)想中獲得思維意識與能力的養(yǎng)成.同時，教師還可以精心選擇一些題干長、條件多的題目供學生練習并使學生的聚合性思維得到鍛煉，不僅如此，學生聚合性思維的鍛煉與養(yǎng)成還可以在信息的提取這一專門性的訓練中實現(xiàn)，教師可以從題目信息的提取、課堂教學內容的歸納、題目類型的總結、解題規(guī)律的提煉等多方面對學生聚合性思維的養(yǎng)成進行專門性的訓練.

三、培養(yǎng)學生發(fā)散性思維和聚合性思維的再思考

第一，教師在實際教學中始終不能忘記“工夫在詩外”的道理，一定要引導學生對思維的奧妙進行理解并充分認識到發(fā)散性思維和聚合性思維在數(shù)學學習中的重要價值，使學生養(yǎng)成勤于思考的習慣，并因此將這種理性思維精神內化成自己的行為方式、生活方式和生命特質，這種超越數(shù)學解題的思維將使學生受益終身.

第二，教師始終不能忘記學生的實際認知水平，并由此進行教學的設計，引導學生從數(shù)學概念、語言、解題方法等多方面對問題展開多角度的探討，在解題思路的探究與拓展中，應盡量將學生眾所周知的方法進行重點介紹，使學生能夠在觀察、嘗試、手腦并用中對問題展開多方面的探討并因此獲得切身的感受，使學生能夠在有意義的啟發(fā)中展開聯(lián)想并獲得更加深刻的思考.

第三，教師在實際教學中始終不能忽略的還有學生的數(shù)學學習興趣，學習興趣的有效激發(fā)才能保障學生發(fā)散性思維和聚合性思維的更好發(fā)展，因此，教師在實際教學中應想方設法地發(fā)展學生的數(shù)學學習興趣，根據(jù)學生原有的知識基礎與認知水平進行后續(xù)學習場景的變換和設計，使學生能夠在一定的認知基礎上不斷對新知識的學習保持良好的興趣及情緒.不僅如此，設置懸念也是激發(fā)和保持學生數(shù)學學習興趣的好辦法，引導學生在數(shù)學學習中不斷產生疑問并進行積極的思考和探索，這也是幫助學生保持數(shù)學學習興趣的好辦法.

第四，數(shù)學與語言類學科的最大區(qū)別在于不崇尚口舌之巧，因此，教師在實際教學中應不斷幫助學生學會靜心學習，使學生能夠真正潛心于數(shù)學的學習中并因此獲得深刻的思考與感悟，這對于學生的思維發(fā)展來說是極有意義的.W