☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第八中學(xué) 陸 燕

反例，簡(jiǎn)單地說，就是與命題相反的例子.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中選擇反例教學(xué)法，目的就是引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握命題中的條件，了解條件的適用范圍，并就此形成更深刻的認(rèn)知，既有助于推動(dòng)教學(xué)工作的順利開展，同時(shí)可以保障高效的學(xué)習(xí)效果.反例教學(xué)的方式，既有助于突破學(xué)生的思維定式，同時(shí)在提升學(xué)生思維能力方面，也具有極大的裨益.所以為了使學(xué)生獲得更大的進(jìn)步，教師可在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中巧妙引入反例教學(xué)法，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的高效掌握.

一、借助反例教學(xué)，深入理解數(shù)學(xué)概念

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，概念是基礎(chǔ)和關(guān)鍵所在.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所涉及的概念大都比較直觀，更貼近學(xué)生生活，但是步入初中階段之后，概念教學(xué)逐步轉(zhuǎn)向抽象，同時(shí)具有邏輯性特質(zhì)，因此在學(xué)習(xí)概念的過程中，比較容易出現(xiàn)片面理解或錯(cuò)誤認(rèn)知，如果教師僅僅依靠正面例子引導(dǎo)學(xué)生自主糾錯(cuò)，往往難以保障更深層面的理解和認(rèn)知，此時(shí)教師可以巧妙地引入反例，必然有助于消除學(xué)生的疑惑，還能夠從側(cè)面幫助學(xué)生緊抓概念本質(zhì)，有效彌補(bǔ)正面例子的不足，使學(xué)生對(duì)概念產(chǎn)生更深層面的理解，既要弄清“是什么”，還要了解“不是什么”.［1］

1.借助反例進(jìn)行概念辨析

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于借助反例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念辨析，以此促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解.

例如，在教學(xué)“有理數(shù)”這一概念的過程中，教師可以結(jié)合以下練習(xí)：“請(qǐng)?jiān)谙铝袛?shù)中找出所有的有理數(shù)：-2，|13|，0.56，1.1010010001……（1和1之間每次增加一個(gè)0），|π|”，并以此為突破口引入概念教學(xué)，學(xué)生們很有可能就此認(rèn)為1.1010010001……（1和1之間每次增加一個(gè)0）和|π|，都為有理數(shù).鑒于此，教師可引導(dǎo)學(xué)生著重分析有理數(shù)的概念及其內(nèi)涵，特別是其中所包含的分?jǐn)?shù)，因此，對(duì)于有理數(shù)而言，不但包括整數(shù)和有限小數(shù)，除此之外，還包括無限循環(huán)小數(shù)，這也就意味著，這兩組數(shù)字雖然是無限小數(shù)，但是它們并非循環(huán)小數(shù)，所以不可將其判定為有理數(shù).

2.借助反例糾正錯(cuò)誤理解

初中生對(duì)于一些數(shù)學(xué)概念會(huì)存在錯(cuò)誤理解，教師在教學(xué)中要善于借助反例幫助學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的概念理解進(jìn)行糾正.［2］

例如，在學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念時(shí)，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生這樣的想法：只要其中一個(gè)變量會(huì)因?yàn)榱硪粋€(gè)變量而發(fā)生改變就是函數(shù).鑒于此，教師可引入如下反例引導(dǎo)學(xué)生展開思考.對(duì)于以下變量關(guān)系，哪些說法是正確的：①若|y|=x，則y是x的函數(shù)；②若y=2|x|（x≥0），則y是x的函數(shù)；③通過水管的水流速度與水管的長(zhǎng)度呈函數(shù)關(guān)系.經(jīng)過學(xué)生的簡(jiǎn)單思考之后，教師給出正確答案為②.之后展開解題，對(duì)于說法①，假如x=5，|y|=5，y=±5，對(duì)于這一函數(shù)關(guān)系來說，當(dāng)給定x的值之后，對(duì)于y而言，有兩個(gè)值與它相對(duì)應(yīng)，所以是錯(cuò)誤的.說法③：對(duì)于水管中的水流速度來說，并不會(huì)因?yàn)樗艿拈L(zhǎng)度而受到任何影響，這也就意味著它們之間并不存在函數(shù)關(guān)系.可見，通過恰當(dāng)?shù)姆蠢?，能夠幫助學(xué)生更深入、更透徹地把握所要學(xué)習(xí)的概念和知識(shí)點(diǎn).

二、借助反例教學(xué)，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)定理

數(shù)學(xué)定理的存在也需要限定在一定的范圍內(nèi).在初中階段，數(shù)學(xué)定理及推論同樣具備明確的應(yīng)用范圍，這也是學(xué)生容易忽視的關(guān)鍵點(diǎn)，由此導(dǎo)致錯(cuò)誤的出現(xiàn).教師需要結(jié)合反例展開教學(xué)，使學(xué)生聚焦于定理及推論的適用范圍并加大重視.

1.借助反例教學(xué)，明確定理?xiàng)l件

一些數(shù)學(xué)定理是需要判定條件的，這些判定條件容易被學(xué)生忽視，借助反例教學(xué)能夠讓學(xué)生對(duì)這些定理的條件更加明確.

以“一元二次方程的實(shí)數(shù)根判別式”的教學(xué)為例，假使一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有實(shí)數(shù)根，則判定條件Δ=b2-4ac≥0；如果方程具備兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則Δ＞0.對(duì)于此題來說，必須要關(guān)注a≠0這一條件，一旦忽視，就可能出現(xiàn)錯(cuò)誤.可結(jié)合以下反例進(jìn)行教學(xué)：如果方程tx2-3x+2=0具備兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求t的取值范圍.有部分學(xué)生得出Δ=（-3）2-4×2×t＞0，由此，求得，很顯然，這個(gè)答案并不正確.因?yàn)楫?dāng)t等于0時(shí)，此方程只具備一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，針對(duì)此題的正確答案應(yīng)當(dāng)是且t≠0.通過這一習(xí)題，學(xué)生必然能夠?qū)ε袆e式中a≠0這一限定條件產(chǎn)生更深層面的認(rèn)知.

2.借助反例教學(xué)，明確定理范圍

一些數(shù)學(xué)定理是具有一定的適用范圍的，借助反例教學(xué)，能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定理的適用范圍更加明確化.

例如，在教學(xué)韋達(dá)定理時(shí)，涉及方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根與方程中系數(shù)的關(guān)系因?yàn)檫@一定理常被用于求兩個(gè)根所組成的關(guān)系式的值，這是一種有效且便捷的解題方式，但同時(shí)韋達(dá)定理也具備相應(yīng)的適用范圍.其一，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，其二，函數(shù)和x軸有公共點(diǎn).然而在實(shí)際使用韋達(dá)定理進(jìn)行解題的過程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)忽視這一使用范圍.為了強(qiáng)化學(xué)生的注意，教師可以引入相應(yīng)的反例：如果方程x2-的兩根為x1和x2，求的取值范圍.有學(xué)生就作出如下解答很顯然，這并非正確答案，如果將終點(diǎn)值19代入其中，得到-k2-10k-6=19，由此得解k=-5，然后將k值代入方程中，會(huì)將方程變?yōu)閤2+7x+15=0.而Δ=72-4×15=-11＜0，說明并不存在實(shí)數(shù)根，這點(diǎn)很顯然違背了題意.學(xué)生出錯(cuò)的根源在于沒有考慮到方程的實(shí)數(shù)根，也就是忽視了韋達(dá)定理的適用范圍.針對(duì)此題，必須要明確附加條件（k-2）2-4（k2+3k+5）＞0.反例教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，能夠使學(xué)生對(duì)概念及定理的具體限定范圍產(chǎn)生更深層面的認(rèn)知，并加大關(guān)注，所以教師應(yīng)善于靈活利用反例，這樣有助于提高教學(xué)的實(shí)效性.

三、借助反例教學(xué)，有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是重要的教學(xué)目標(biāo)之一.反例是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效素材.反例的運(yùn)用有助于促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，因?yàn)樵诓饺氤踔兄?，單純的知識(shí)教學(xué)在促進(jìn)學(xué)生能力提升方面的作用有限，必須加強(qiáng)反思能力及發(fā)散思維能力方面的培養(yǎng)，才有助于真正提升學(xué)習(xí)實(shí)效.傳統(tǒng)教學(xué)模式下，學(xué)生大都以被動(dòng)的方式接受教師所教的內(nèi)容，這樣的過程很有可能忽略其中的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn).在完成基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)之后，教師可結(jié)合反例的方式，引導(dǎo)學(xué)生立足于不同的視角思考相同的問題，這樣學(xué)生必然能夠在這一過程中，了解到知識(shí)的多樣性，這也是對(duì)思維的有效鍛煉，能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生了解對(duì)于任何問題而言，都要立足于不同的視角去考慮.［3］

例如，在完成幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)之后，很多學(xué)生都對(duì)多邊形具備了一定的了解，在此基礎(chǔ)上可引發(fā)學(xué)生思考：多邊形本身具備怎樣的特點(diǎn)？正多邊形又具備怎樣的特點(diǎn)？很多學(xué)生都能夠基于所學(xué)得出正確的解答.為了引發(fā)學(xué)生更深層面的思考，我提出如下問題：對(duì)于一個(gè)多邊形來說，如果每一條邊長(zhǎng)都相等的情況下，是否就可以認(rèn)定其為正多邊形？實(shí)際上，對(duì)于這一問題而言，就是引導(dǎo)學(xué)生立足于反向思維，考慮多邊形和正多邊形之間的區(qū)別，這樣必然能夠幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)產(chǎn)生更清晰的認(rèn)知.由于思考的角度不同，學(xué)生也會(huì)在實(shí)際思考的過程中，擁有更多的發(fā)現(xiàn)，也能夠就此意識(shí)到：正多邊形不僅僅涉及邊長(zhǎng)相等，同時(shí)包括內(nèi)角度數(shù)相等.只有滿足上述兩個(gè)條件之后，才能真正判定這一結(jié)論.通過這樣的學(xué)習(xí)方式，能夠使學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣.

基于反例教學(xué)，有助于提升學(xué)生思維的發(fā)散性.在教學(xué)中，教師應(yīng)借助科學(xué)的訓(xùn)練方式，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知.通過反例教學(xué)，能夠提升學(xué)生思維的發(fā)散性，使學(xué)生可以考慮到更多的方面及更多的內(nèi)容，立足于不同的情況，選擇不同的解題方式，這樣才能夠幫助學(xué)生高效地掌握知識(shí)，也能夠在考試或集中訓(xùn)練的過程中，快速找到正確的解題方法.

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)且靈活地運(yùn)用反例這一教學(xué)方式，能夠幫助學(xué)生更全面、更深刻地理解數(shù)學(xué)概念，高效地掌握知識(shí)，同時(shí)有助于突破思維定式，自主發(fā)現(xiàn)問題，自主糾正錯(cuò)誤，既有助于促進(jìn)發(fā)散思維的發(fā)展，也有助于提升邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.所以，教師必須加強(qiáng)對(duì)反例教學(xué)的研究，這樣才能做到靈活運(yùn)用，恰當(dāng)運(yùn)用.