楊小芬

（西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400715）

近年來(lái)，旅游業(yè)對(duì)各國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展，環(huán)境保護(hù)等有著重要的影響. 隨著我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，國(guó)際地位的顯著提高，我國(guó)更加注重旅游業(yè)的發(fā)展，旅游業(yè)已經(jīng)成為我國(guó)第三產(chǎn)業(yè)的重要組成部分，許多城市也希望借助旅游業(yè)的發(fā)展帶動(dòng)整個(gè)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展. 旅游人數(shù)是旅游業(yè)的重要環(huán)節(jié)之一，科學(xué)準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)旅游需求，能夠準(zhǔn)確把握其發(fā)展趨勢(shì)，從而制定相應(yīng)的政策來(lái)確保旅游業(yè)健康持續(xù)發(fā)展，進(jìn)一步提升我國(guó)的綜合實(shí)力和國(guó)際影響力，同時(shí)也促進(jìn)我國(guó)各地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和文化交流.

目前，國(guó)內(nèi)外旅游需求預(yù)測(cè)的主要方法包括回歸模型、時(shí)間序列、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色模型，指數(shù)平滑法、組合模型等，但是哪種方法更好尚無(wú)定論，因此要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題綜合考慮模型的選擇，以達(dá)到較高的預(yù)測(cè)效果. 由于灰色GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)圖形是一條平滑的指數(shù)型曲線(xiàn)，所以它不能充分提取數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，因而對(duì)波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)序列擬合較差，且預(yù)測(cè)精度較低. 而馬爾科夫模型的研究對(duì)象是一個(gè)隨機(jī)變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它是根據(jù)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)的發(fā)展情況，轉(zhuǎn)移概率反映了各種隨機(jī)因素的影響程度，反映了各狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的內(nèi)在規(guī)律性[1]. 所以，把兩者進(jìn)行組合，形成一個(gè)灰色馬爾科夫模型，其中GM(1,1)模型用來(lái)揭示數(shù)據(jù)序列的發(fā)展變化趨勢(shì)，而馬爾科夫模型用來(lái)確定狀態(tài)的轉(zhuǎn)移規(guī)律，從而組合后的模型能充分提取數(shù)據(jù)中的信息，提高擬合和預(yù)測(cè)精度.

灰色馬爾科夫模型已經(jīng)在糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)，客流量預(yù)測(cè)，房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)等方面得到了廣泛應(yīng)用，但是多數(shù)學(xué)者在使用灰色馬爾科夫模型時(shí)并沒(méi)有對(duì)用來(lái)劃分狀態(tài)的序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)和馬氏性檢驗(yàn)，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性. 關(guān)于旅游需求的預(yù)測(cè)，我國(guó)學(xué)者主要集中在對(duì)我國(guó)入境游客量或某一地區(qū)旅游人數(shù)預(yù)測(cè)的研究，而對(duì)國(guó)內(nèi)游客量的預(yù)測(cè)研究甚少.因此，本文基于灰色馬爾科夫模型，對(duì)我國(guó)國(guó)內(nèi)游客數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)研究，并且在方法的使用上更為科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn).

1 實(shí)例分析

1.1 模型的建立

選取我國(guó)2004-2015 年國(guó)內(nèi)游客數(shù)據(jù)建立模型，利用2016年和2017年的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)精度，全部數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局.

1.1.1 灰色GM(1,1)模型

（1）原始數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)及處理[2]

建立灰色模型之前，首先要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行級(jí)比檢驗(yàn)和光滑度檢驗(yàn).

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為：

計(jì)算光滑比：

對(duì)我國(guó)2004-2015年國(guó)內(nèi)游客數(shù)據(jù)進(jìn)行級(jí)比檢驗(yàn)和光滑度檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)級(jí)比并沒(méi)有全部落入(e)=(0.8574,1.1663)范圍之內(nèi)，且光滑比不是k 的減函數(shù)，因此原始數(shù)據(jù)沒(méi)有通過(guò)級(jí)比檢驗(yàn)和光滑度檢驗(yàn)，如表1所示.

表1 2004-2015年原始數(shù)據(jù)級(jí)比檢驗(yàn)和光滑度檢驗(yàn)

對(duì)我國(guó)2004-2015 年國(guó)內(nèi)游客數(shù)據(jù)做開(kāi)方處理，并對(duì)開(kāi)方數(shù)據(jù)進(jìn)行級(jí)比檢驗(yàn)和光滑度檢驗(yàn)，級(jí)比全部落入(=(0.8574,1.1663)范圍之內(nèi)，且光滑比是k 的減函數(shù)（見(jiàn)表2），兩種檢驗(yàn)都通過(guò)，可進(jìn)一步對(duì)開(kāi)方數(shù)據(jù)建立灰色模型.

表2 2004-2015年開(kāi)方數(shù)據(jù)級(jí)比檢驗(yàn)和光滑度檢驗(yàn)

（2）建立灰色GM(1,1)模型

根據(jù)灰色模型的理論，利用R編寫(xiě)程序，對(duì)我國(guó)2004-2015 年國(guó)內(nèi)游客開(kāi)方數(shù)據(jù)建立灰色GM(1,1)模型，并對(duì)模型進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，后驗(yàn)差檢驗(yàn)和模型預(yù)測(cè).結(jié)果如表3所示.

表3 對(duì)2004-2015年開(kāi)方數(shù)據(jù)建立灰色GM(1,1)模型結(jié)果

其中X?(0)(1)=X(0)(1).

②殘差檢驗(yàn)中，平均相對(duì)誤差為1.2668%，模型精度為98.7332%，模型精度較高；后驗(yàn)差檢驗(yàn)中，小誤差概率P=1 ＞0.95，方差比C=0.0770 ＜0.35,參照表4，可得模型精度等級(jí)為優(yōu)；再計(jì)算關(guān)聯(lián)度r=0.6031 ＞0.6，模型較好. 所以該灰色GM(1,1)模型通過(guò)了三種檢驗(yàn).

表4 后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表

將灰色GM(1,1)模型的擬合值還原后，與真實(shí)值比較，利用平均相對(duì)誤差計(jì)算公式：

計(jì)算擬合平均相對(duì)誤差為2.5350%，模型精度為97.4650%，模型精度較高.

（3）灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的檢驗(yàn)

利用灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)我國(guó)2016年和2017年國(guó)內(nèi)游客數(shù)據(jù)的開(kāi)方值，并將其還原后和真實(shí)值比較，計(jì)算預(yù)測(cè)平均絕對(duì)殘差為182.986 4（表5）.

表5 灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的檢驗(yàn)

1.1.2 無(wú)偏灰色模型

灰色GM(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)值為：

計(jì)算無(wú)偏灰色模型的參數(shù)值為：

則無(wú)偏灰色模型的序列預(yù)測(cè)方程為：

利用無(wú)偏灰色模型擬合我國(guó)2004-2015年國(guó)內(nèi)游客開(kāi)方數(shù)據(jù)，并將擬合值還原，利用式(3)和(4)計(jì)算擬合平均相對(duì)誤差為2.5316%，模型精度為97.4684%，模型精度較高.

利用無(wú)偏灰色模型預(yù)測(cè)我國(guó)2016 年和2017 年的開(kāi)方值，將預(yù)測(cè)值還原后和真實(shí)值比較，計(jì)算預(yù)測(cè)平均絕對(duì)殘差為182.357 0（表6）.與灰色GM(1,1)模型相比，降低了0.629 4.

表6 無(wú)偏灰色模型預(yù)測(cè)精度的檢驗(yàn)

1.1.3 灰色馬爾科夫模型

灰色馬爾科夫模型是利用馬爾科夫模型對(duì)灰色模型的預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，從而提高擬合和預(yù)測(cè)精度.具體步驟如下：

①對(duì)原始數(shù)據(jù)建立灰色模型，并求出擬合值X?(0)(k)，計(jì)算殘差的相對(duì)值：

②馬爾科夫模型要求用于劃分狀態(tài)的數(shù)據(jù)序列具有近似平穩(wěn)的過(guò)程，因此，對(duì)殘差相對(duì)值序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn).

③當(dāng)殘差相對(duì)值序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)通過(guò)后，對(duì)其進(jìn)行狀態(tài)劃分，并確定原始序列所處的狀態(tài).

④計(jì)算轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，并對(duì)序列進(jìn)行馬氏性檢驗(yàn).

⑤如果序列沒(méi)有通過(guò)馬氏性檢驗(yàn)，則不能建立馬爾科夫模型；反之，則計(jì)算n步轉(zhuǎn)移概率矩陣來(lái)確定下一時(shí)刻所處狀態(tài).

⑥利用式(6)修正灰色模型的擬合預(yù)測(cè)值.

其中，X?(0)(k)為灰色模型的擬合預(yù)測(cè)值，ε1(k)和ε2(k)分別取序列值所處狀態(tài)區(qū)間的左端點(diǎn)值和右端點(diǎn)值.

（1）傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型

①利用灰色GM(1,1)模型擬合我國(guó)2004-2015年國(guó)內(nèi)游客開(kāi)方數(shù)據(jù)，根據(jù)式(5)計(jì)算出殘差相對(duì)值序列.

②利用ADF 方法檢驗(yàn)得殘差相對(duì)值序列為平穩(wěn)序列（α=0.05），所以可以對(duì)該序列進(jìn)行狀態(tài)劃分，如表7所示.

表7 差相對(duì)值序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)（傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型）

③殘差相對(duì)值序列的狀態(tài)劃分為：E1=(-3.1%,-1%],E2=(-1%,1%],E3=(1%,3%]，表8為殘差相對(duì)值序列所處狀態(tài).

表8 殘差相對(duì)值序列所處狀態(tài)（傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型）

④根據(jù)殘差相對(duì)值序列所處狀態(tài)，計(jì)算得轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為：

對(duì)序列進(jìn)行馬氏性檢驗(yàn)，首先計(jì)算邊際概率值：

表9 邊際概率值

表10 統(tǒng)計(jì)量χ2=2計(jì)算表

表10 統(tǒng)計(jì)量χ2=2計(jì)算表

狀態(tài)1 2 3合計(jì)fi1| |||| |||ln pi1 p?1 1.212 3 0.597 8 0.087 0 1.897 1 fi2| |||| |||ln pi2 p?2 0 1.502 3 0.087 0 1.589 3 fi3| |||| |||ln pi3 p?3 0.200 7 0.310 2 0.200 7 0.711 6合計(jì)1.412 9 2.410 3 0.374 7 8.395 9

⑤利用式(6)對(duì)灰色GM(1,1)模型2004-2015 年開(kāi)方數(shù)據(jù)的擬合值進(jìn)行修正，將修正值還原后，利用式(3)和(4)計(jì)算得擬合平均相對(duì)誤差為0.8978%，模型精度為99.1022%. 可見(jiàn)，與灰色GM(1,1)模型相比，模型精度提高了1.6372%；與無(wú)偏灰色模型相比，模型精度提高了1.6338%.

⑥利用傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)我國(guó)2016年和2017 年國(guó)內(nèi)游客數(shù)，預(yù)測(cè)平均絕對(duì)殘差為11.022 3（表11）. 與灰色GM(1,1)模型相比，減少171.964 1；與無(wú)偏灰色模型相比，減少171.334 7.

表11 傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)精度的檢驗(yàn)

2016 年和2017 年國(guó)內(nèi)游客數(shù)計(jì)算的具體步驟如下：

①2015 年的殘差相對(duì)值所處狀態(tài)為1，故初始向量為v0=(1,0,0)，由一步轉(zhuǎn)移概率得到2016 年的狀態(tài)分布為：

由灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)出2016年的開(kāi)方數(shù)據(jù)為67.875 94，對(duì)該值進(jìn)行修正得：

將此修正值還原后，得到我國(guó)2016年國(guó)內(nèi)游客為4 424.840 8百萬(wàn)人次.

②計(jì)算兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣. 因?yàn)闅埐钕鄬?duì)值序列平穩(wěn)，所以可以視為齊次馬氏鏈，n步轉(zhuǎn)移概率矩陣就是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的n次方.

計(jì)算得兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

由兩步轉(zhuǎn)移概率得到2017年的狀態(tài)分布為：

所以2017 年所處的狀態(tài)為max(0.5556,0.1111,0.3333)，即為狀態(tài)E1：(-3.1%,-1%].

由灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)出2017年的開(kāi)方數(shù)據(jù)為72.102 91，對(duì)該值進(jìn)行修正得：

將此修正值還原后，得到我國(guó)2017年國(guó)內(nèi)游客為4 993.114 5百萬(wàn)人次.

（2）無(wú)偏灰色馬爾科夫模型

①利用無(wú)偏灰色模型擬合我國(guó)2004-2015年國(guó)內(nèi)游客開(kāi)方數(shù)據(jù)，根據(jù)式(5)計(jì)算出殘差相對(duì)值序列.

②利用ADF 方法檢驗(yàn)得殘差相對(duì)值序列為平穩(wěn)序列，所以可以對(duì)該序列進(jìn)行狀態(tài)劃分，如表12所示.

表12 殘差相對(duì)值序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)（無(wú)偏灰色馬爾科夫模型）

③確定劃分狀態(tài)為：E1=(-3%,-1%],E2=(-1%,1%],E3=(1%,3%]，表13 為殘差相對(duì)值序列所處狀態(tài).

表13 殘差相對(duì)值序列所處狀態(tài)（無(wú)偏灰色馬爾科夫模型）

④根據(jù)殘差相對(duì)值序列所處狀態(tài)，計(jì)算得轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為：

⑤利用式(6)對(duì)無(wú)偏灰色模型2004-2015年開(kāi)方數(shù)據(jù)的擬合值進(jìn)行修正，將修正值還原后和真實(shí)值比較，利用式(3)和(4)計(jì)算擬合平均相對(duì)誤差為0.8838%，模型精度為99.1162%. 與傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型相比，模型精度提高了0.0140%.

⑥利用無(wú)偏灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)我國(guó)2016年和2017年國(guó)內(nèi)游客數(shù)（計(jì)算方法同傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型），預(yù)測(cè)平均絕對(duì)殘差為7.101 6（見(jiàn)表14）.與傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型相比，減少了3.920 8.

表14 無(wú)偏灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)精度的檢驗(yàn)

1.2 利用相對(duì)最優(yōu)模型預(yù)測(cè)

通過(guò)比較各模型的精度，擬合平均相對(duì)誤差和預(yù)測(cè)平均絕對(duì)殘差，選出相對(duì)最優(yōu)模型為無(wú)偏灰色馬爾科夫模型（表15）.

表15 各模型精度比較

繪制無(wú)偏灰色馬爾科夫模型的擬合預(yù)測(cè)圖，發(fā)現(xiàn)擬合值與真實(shí)值幾乎完全重合，無(wú)偏灰色馬爾科夫模型充分提取了原始數(shù)據(jù)中存在的波動(dòng)性.利用無(wú)偏灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)我國(guó)2018-2020年的國(guó)內(nèi)游客數(shù)分別為5 639.366 8 百萬(wàn)人次，6 363.854 百萬(wàn)人次，7 181.415 7百萬(wàn)人次，表明我國(guó)未來(lái)三年國(guó)內(nèi)游客數(shù)仍呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)（圖1）.

2 結(jié)論

在對(duì)我國(guó)2004-2015年國(guó)內(nèi)游客數(shù)據(jù)建模的實(shí)例中，與灰色GM(1,1)模型和無(wú)偏灰色模型相比，傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型和無(wú)偏灰色馬爾科夫模型的建立，都取得了非常高的擬合和預(yù)測(cè)精度. 尤其是無(wú)偏灰色馬爾科夫模型，模型精度為99.1162%，擬合平均相對(duì)誤差為0.8838%，它充分提取了數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢(shì)和波動(dòng)性；同時(shí)也取得了較高的預(yù)測(cè)效果，預(yù)測(cè)平均絕對(duì)殘差為7.101 6. 因此，在預(yù)測(cè)旅游人數(shù)時(shí)可以考慮該模型；同時(shí)在研究人口問(wèn)題，或是數(shù)據(jù)序列波動(dòng)比較大的問(wèn)題時(shí)，都可以嘗試擬合灰色馬爾科夫模型來(lái)充分提取已知數(shù)據(jù)中的信息，還可以對(duì)其進(jìn)行修正以獲得更高的擬合和預(yù)測(cè)精度，從而更好地掌握和解決實(shí)際問(wèn)題.

圖1 無(wú)偏灰色馬爾科夫模型擬合預(yù)測(cè)圖

從預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)看，我國(guó)2018-2020 年的國(guó)內(nèi)游客數(shù)分別為5 639.366 8 百萬(wàn)人次、6 363.854 百萬(wàn)人次、7 181.415 7 百萬(wàn)人次，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)增長(zhǎng)態(tài)勢(shì). 國(guó)家統(tǒng)計(jì)局最新公布的2018年國(guó)內(nèi)游客數(shù)為5 540百萬(wàn)人次，2018 年的模型預(yù)測(cè)值比實(shí)際值高99.366 8 百萬(wàn)人次，相對(duì)誤差為1.7936%. 因此，無(wú)偏灰色馬爾科夫模型的實(shí)際預(yù)測(cè)效果很好.