趙江平，丁 潔，陳敬龍

(西安建筑科技大學 資源工程學院，陜西 西安 710055)

0 引言

化工企業(yè)的生產(chǎn)特點決定了化工設(shè)備可靠性的重要性，準確預測設(shè)備可靠性趨勢，制定合理的預防性維修計劃，才能保障設(shè)備長期穩(wěn)定運行[1]。對化工設(shè)備進行可靠性分析時，大多數(shù)學者采用威布爾分布模型來描述化工設(shè)備的壽命。裴峻峰等[2]將威布爾分布應用于往復式壓縮機壽命建模，對壓縮機維修周期進行了分析；徐子軍[3]使用威布爾分布擬合離心泵各單元故障分布，預測了離心泵系統(tǒng)可靠性。但前者所研究的內(nèi)容都是基于樣本數(shù)據(jù)足夠豐富，而在化工企業(yè)實際生產(chǎn)運行中，數(shù)據(jù)樣本常常呈現(xiàn)出小樣本的特征，且較少有人將小樣本數(shù)據(jù)分析方法應用到化工設(shè)備的可靠性評估中。因此，小樣本條件下的化工設(shè)備壽命分布及可靠性預測存在很大的困難。

對小樣本數(shù)據(jù)分析的研究在機械、航空等行業(yè)已有大量研究。宋明順等[4]采用灰色估計法與貝葉斯方法對小樣本機械系統(tǒng)進行可靠性估計；金星等[5]通過蒙特卡羅模擬對小樣本條件下的近似服從威布爾分布的設(shè)備壽命進行了評估；馬憲民等[6]使用粒子群算法估計了礦用減速器可靠性壽命。但大量的研究表明，以上方法都或多或少有其應用的局限性。Bayes方法受驗前信息影響較大；應用蒙特卡羅模擬法的前提是必須要保證現(xiàn)場數(shù)據(jù)樣本服從的分布模型是高度精確的[7]；粒子群算法和灰色估計法在小樣本的情況下預測精度不高。所以當故障樣本為小樣本時，通過建立化工設(shè)備可靠性模型，研究1種精度較高的參數(shù)估計方法，對于預測設(shè)備可靠性非常重要。

近年來，支持向量機(SVM)作為1種高度適用于小樣本情況的機器學習規(guī)律理論，在兩參數(shù)威布爾分布參數(shù)的估計中得到了廣泛的應用[8]。支持向量回歸(SVR)在SVM的基礎(chǔ)上引入了損失函數(shù)，使支持向量機的應用拓展到了回歸分析的領(lǐng)域。由于SVR具備SVM適合于小樣本數(shù)據(jù)的特點，即同樣適合于對歷史故障數(shù)據(jù)積累不足的化工設(shè)備可靠性分析。此外，雖然灰色估計法的預測精度不高，但研究表明其在小樣本數(shù)據(jù)下可以獲得精度較高的位置參數(shù)估計值，故可通過GM(1，1)模型將三參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計轉(zhuǎn)化為兩參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計問題[9]。本文以某化工企業(yè)壓縮機投運以來的部分故障數(shù)據(jù)為實例，建立了三參數(shù)威布爾模型，用GM(1，1)和SVR對威布爾分布參數(shù)進行估計，并與單獨使用灰色估計法及最小二乘法的估計結(jié)果進行對比，以此來驗證GM-SVR模型參數(shù)估計在化工設(shè)備可靠性預測中的有效性。

1 化工機械設(shè)備可靠性模型

1.1 小樣本失效數(shù)據(jù)

在化工企業(yè)生產(chǎn)運行期間，隨著科學技術(shù)不斷發(fā)展，化工設(shè)備更新?lián)Q代速度快，許多設(shè)備在短周期運行中根本沒有發(fā)生故障，這使得同型號設(shè)備的故障數(shù)據(jù)更少；此外，由于企業(yè)管理的不足，我國不少化工企業(yè)(尤其是中小型企業(yè))的維修報告、調(diào)度中心運行報告、臺賬系統(tǒng)等記錄表易出現(xiàn)缺失的情況，導致積累的故障維修歷史數(shù)據(jù)不足。綜上所述，對在役化工設(shè)備維修情況調(diào)研獲得的故障壽命數(shù)據(jù)極有可能呈現(xiàn)出比較典型的小樣本特征。

1.2 威布爾分布模型

威布爾分布函數(shù)是由物理學家Weibull在研究鏈的強度中提出的1種分布函數(shù)，在工程應用中常用來擬合機械、電子、化工等設(shè)備的壽命分布。三參數(shù)威布爾分布模型的分布函數(shù)F(t)和失效率函數(shù)λ(t)的表達式分別為[10]：

(1)

(2)

式中：t為失效時間,h；η為尺度參數(shù)，η>0；m為形狀參數(shù)，m>0；r為位置參數(shù)。形狀參數(shù)m的取值大小不同，則對應的設(shè)備失效類型也不同。當m<1時，為早期故障期，隨著設(shè)備的持續(xù)運行，失效率逐漸降低，設(shè)備的可靠性程度越來越高；當m=1時，設(shè)備處于偶然故障期，此時的失效率是1個常數(shù)，即此時的失效率服從指數(shù)分布；當m>1時，設(shè)備處于耗損故障期，隨著運行時間的增加，設(shè)備逐漸出現(xiàn)老化和劣化。由此可見，威布爾分布可以很好地描述各種失效模式，故可以使用三參數(shù)威布爾分布作為化工機械設(shè)備的失效分布函數(shù)，可靠度函數(shù)R(t)為[10]：

(3)

2 威布爾分布模型的參數(shù)估計

為了能夠準確獲得某個設(shè)備的失效率模型，根據(jù)該設(shè)備運行中產(chǎn)生的故障樣本數(shù)據(jù)建立威布爾分布模型。具體實現(xiàn)方法是用平均秩次法或中位秩法計算出F(ti)，采用相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法計算三參數(shù)威布爾分布的位置參數(shù)r，再將威布爾分布模型線性化，然后采用擬合方法識別分布參數(shù)。目前的參數(shù)估計方法有灰色估計法、最小二乘法、極大似然估計法等方法。但這些方法對于小樣本參數(shù)估計的精度不高。灰色估計法在小樣本的情形下對形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)η的估計精度不高，但是對位置參數(shù)r的估計精度較高。故本文先使用GM(1，1)模型對位置參數(shù)r進行求解，在r已知的基礎(chǔ)上，再利用SVR估計形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)η。

2.1 經(jīng)驗分布函數(shù)

在對威布爾分布參數(shù)進行回歸分析時，必須計算樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)。設(shè)某化工設(shè)備失效樣本數(shù)量為n，失效樣本的運行時間分別為t1≤t2≤≤tn(完全樣本)，相應的累計失效概率(經(jīng)驗分布函數(shù))為F(t1)≤F(t2)≤≤F(tn)，當數(shù)據(jù)樣本為小樣本時，工程上常使用中位秩公式或平均秩次法對第i個產(chǎn)品的累計失效概率F(ti)進行計算[11]。

平均秩公式為：

(4)

中位秩公式為：

(5)

2.2 基于GM(1，1)的位置參數(shù)估計

灰色GM(1，1)模型主要用于復雜系統(tǒng)某一主導因素特征值的擬合和預測，預測過程中所需信息較少，迭代快，精度高。在化工設(shè)備運行過程中，引起其失效的因素有很多，這使得可靠性預測和風險研究存在一定的灰色問題，這種情況下，可以依據(jù)故障數(shù)據(jù)建立灰色預測模型?；疑獹M(1，1)模型的微分方程為[12]：

(6)

對式(6)進行變形可得：

(7)

令

則式(7)變形為：

xi=b+cexp(-aτi)

(8)

將(xi,τi)視為一般時間序列，灰色GM(1，1)的時間響應模型為：

(9)

式(6)與式(9)具有相似性，則通過一次對GM(1，1)模型的求解，即可得到參數(shù)a，u，c的估計值，使用最小二乘法計算灰色模型的參數(shù)：

(10)

式中：

(11)

由于本文所研究的故障樣本較少，尺度參數(shù)η和形狀參數(shù)m的估計效果一般，故只保留位置參數(shù)r的估計值，并應用支持向量機對η和m進行估計，令t=x-r，式(1)變形為兩參數(shù)威布爾分布：

(12)

2.3 基于支持向量機的參數(shù)估計

2.3.1 威布爾分布模型線性化

分別對等式(12)兩端取2次對數(shù)得：

(13)

令

(14)

式(13)可以簡化為y=wx+b，對參數(shù)η和m的估計轉(zhuǎn)化為對參數(shù)w和b的估計。如果把x和y看作SVR模型中的訓練樣本，T={(xi,yi)}；i為樣本序號；n為樣本數(shù)量；i=1,2,,n；xi為輸入變量；yi為相應的系統(tǒng)輸出變量，就可以使用SVR對其進行回歸分析。

2.3.2ε-支持向量回歸機方法

ε-支持向量機估計回歸函數(shù)(ε-SVR)是通過引入ε線性不敏感損失函數(shù)，將回歸問題轉(zhuǎn)化為最小化結(jié)構(gòu)風險函數(shù)的問題。即尋找1個使風險最小的最優(yōu)超平面f(x)=wφ(x)+b=0，w為權(quán)值系數(shù)，b為偏差，φ(x)為非線性映射[13]。

為了使f(x)平坦，引入松弛變量ξi，ξi*和懲罰參數(shù)C建立優(yōu)化模型如下[14]：

(15)

由于高維空間的內(nèi)積運算極其復雜，引入核函數(shù)k(xi,yi)來替代內(nèi)積運算。對于線性樣本，本文采用線性核函數(shù)k(x,y)=x·y作為訓練核函數(shù)。式(15)是凸二次規(guī)劃問題，求解該優(yōu)化問題是通過求解它的Lagrange對偶問題而得到的。引入Lagrange函數(shù)構(gòu)造并求解[15]：

(16)

2.3.3 參數(shù)選擇

(17)

2.3.4 誤差分析

為了驗證模型的擬合精度，有必要對數(shù)據(jù)的擬合效果進行誤差分析。本文使用相對均方根誤差(NRSME)及擬合優(yōu)度(R2)對數(shù)據(jù)擬合效果進行誤差分析[17]。

相對均方根誤差的計算公式為：

(18)

擬合優(yōu)度(R2)的計算公式為：

(19)

3 分析案例

由于某化工企業(yè)進行了搬遷，導致某壓縮機機組部分運行的臺賬及設(shè)備維修記錄丟失。不考慮預防性維修，只對泄漏、停機、斷裂等嚴重影響設(shè)備運行的故障進行統(tǒng)計。收集到10臺同型號的壓縮機故障數(shù)據(jù)如表1所示，將其故障時間數(shù)據(jù)(完全樣本數(shù)據(jù))按從小到大的順序排列，假定該組故障時間數(shù)據(jù)服從三參數(shù)威布爾分布，采用式(4)和式(5)計算各失效時間點對應的累計失效概率，記于表1中。

將失效時間ti及其對應的累計失效概率F(ti)作為GM-SVR模型的2組初始樣本集T1={ti,F1(ti)}和T2={ti,F2(ti)}。使用GM(1，1)模型對初始樣本集進行參數(shù)估計，保留位置參數(shù)r的估計值，按式(14)對初始樣本集進行處理，分別得到SVR模型的2組訓練樣本集T1′={xi,F1(xi)}和T2′={xi′,F2(xi′)}，將樣本集輸入SVR進行訓練，采用交叉驗證和網(wǎng)格搜索法對擬合過程中的參數(shù)進行優(yōu)化選擇。參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果及可靠性分布參數(shù)估計值如表2所示。

表2中的誤差分析結(jié)果表明，2種經(jīng)驗公式的擬合優(yōu)度均大于0.98。一般當R2≥0.9時，就可以說明擬合精度較高。由此可見，該組故障數(shù)據(jù)與中位秩、平均秩

表1 壓縮機故障記錄及其累計失效概率Table 1 Operating record of compressor and cumulative failure probability

表2 GM-SVR模型估計結(jié)果Table 2 Estimation results of GM-SVR

之間存在明顯的線性關(guān)系，所以接受該壓縮機失效壽命數(shù)據(jù)服從三參數(shù)威布爾分布的假定。當選擇平均秩公式時，相對均方根誤差及擬合優(yōu)度均優(yōu)于中位秩公式，故選擇平均秩公式作為該壓縮機壽命數(shù)據(jù)的經(jīng)驗分布函數(shù)更合適。

為檢驗GM-SVR模型的有效性，將使用平均秩公式的訓練樣本分別運用最小二乘參數(shù)估計法(LSR)、灰色估計法(GM)進行參數(shù)估計，計算得出不同方法下的威布爾分布參數(shù)估計結(jié)果，分別對其進行誤差分析，對比估計效果。估計結(jié)果及誤差分析分別如表3、表4所示。

表3 各擬合方法參數(shù)估計值Table 3 Estimated results of parameters of each fitting method

表4 各擬合方法誤差分析Table 4 Error analysis of each fitting method

通過表3和表4對比參數(shù)估計及誤差分析可以看出，使用灰色估計法和GM-SVR這2種方法所得的尺度參數(shù)η和形狀參數(shù)m的估計值基本一致。GM-SVR的NRSME值為0.045 0，灰色估計法的誤差為0.050 7，說明GM-SVR可以實現(xiàn)GM(1，1)的參數(shù)估計效果，而且精度高于GM(1，1)。由此可見，在小樣本條件下，GM-SVR的參數(shù)估計精度有明顯優(yōu)越性，而LSR是最差的。圖1為3種估計方法的威布爾分布函數(shù)與該壓縮機機組平均秩擬合曲線對比圖，從圖1中可以更直觀的看出GM-SVR對整體數(shù)據(jù)有明顯的擬合優(yōu)勢，可以有效地應用于小樣本故障數(shù)據(jù)下的壓縮機可靠性預測。

圖1 3種方法的擬合對比Fig.1 Comparison of the three fitting methods

根據(jù)式(3)及GM-SVR模型估計參數(shù)，可得該組壓縮機可靠度函數(shù)為：

通過壓縮機的可靠性模型，可以計算出該型號壓縮機的平均無故障時間為：

由可靠度函數(shù)R(t)可以得出該型號壓縮機的動態(tài)可靠性曲線，如圖2所示。由圖2可知，可靠度隨著運行時間的增長逐漸下降，當運行了19 118 h后，其可靠度明顯下降。根據(jù)可靠性曲線可以預測每個運行時間點的可靠度，本例中，預測設(shè)備運行34 177 h后可靠度為22%，企業(yè)可根據(jù)自身工藝情況對風險的接受程度決定是否采取預防性維修。

圖2 壓縮機動態(tài)可靠性曲線Fig.2 Reliability dynamic curve of compressor

4 結(jié)論

1)通過實例應用證明，三參數(shù)威布爾分布可以用作化工設(shè)備的可靠性建模。通過分析故障樣本數(shù)據(jù)，可以為預測設(shè)備可靠度及制定設(shè)備維修策略提供依據(jù)，同時也為化工企業(yè)的風險評估提供數(shù)據(jù)支持，具有工程應用價值。

2)GM-SVR模型可以有效地應用于小樣本數(shù)據(jù)條件下的化工機械設(shè)備可靠性分析，該方法的估計精度要高于傳統(tǒng)最小二乘估計法和灰色估計法。在參數(shù)估計過程中，利用程序?qū)崿F(xiàn)回歸分析，可以提高參數(shù)的估計精度和設(shè)備可靠性分析的效率。