賈文艷， 王淑麗， 郭祖記

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

0 引 言

p-Laplacian型方程不僅在生物化學(xué)以及生物種群動(dòng)態(tài)等許多物理領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用, 而且在幾何學(xué)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也有很重要的理論意義. 因此p-Laplacian型問題的研究受到了許多中外學(xué)者的關(guān)注, 并取得了很多研究成果[1-5].

文獻(xiàn)[6]研究了如下的p-Laplacian型問題

并利用變分法討論了當(dāng)λ滿足一定條件時(shí), 該問題解的存在性. 考慮如下的p-Laplacian型問題

當(dāng)λ<0時(shí), 該問題沒有非平凡解[7-8]. 當(dāng)λ>0時(shí), 問題可分為p=2和p≠2兩種情況討論.文獻(xiàn)[9-10]討論了p=2時(shí), 問題非平凡非負(fù)解的存在性. 文獻(xiàn)[11-13]討論了p≠2 且λ滿足一定條件時(shí), 該問題有一個(gè)非平凡解的情況. 然而, 關(guān)于帶有變號(hào)對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的p-Laplacian型方程沒有過多的研究. 受以上工作以及文獻(xiàn)[14]的啟發(fā), 本文研究以下帶有變號(hào)對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的p-Laplacian型方程

式中：Ω為Rn中的光滑有界區(qū)域,λ>0, Δpu=div(|u|p-2R. 與文獻(xiàn)[15]中帶有正非線性項(xiàng)的p-Laplacian型方程相比, 因?yàn)閒是變號(hào)的, 所以本文具有一定的研究?jī)r(jià)值.

得到的主要結(jié)果如下.

(1)

則問題(P)至少有兩個(gè)非平凡解, 其中|Ω|n為Ω在Rn中的測(cè)度, Lp由式(2)定義.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1 (對(duì)數(shù)Sobolev不等式[16]) 設(shè)p>1,μ>0且u∈W1,p(Rn){0}, 則

其中，

(2)

(3)

(4)

因此, 問題(P)的解等價(jià)于泛函J的臨界點(diǎn). 以下假設(shè)式(1)滿足.

(5)

(6)

(7)

(8)

由對(duì)數(shù)Sobolev不等式(3)和式(8)得

(9)

將式(7)～(9)代入式(6)可得

2 解的多重性

顯然,J的非平凡臨界點(diǎn)一定在N上.由式(4)可知

(10)

則

(11)

證明由式(10)和式(11)可得

若u∈N, 則

因此我們可將N分為三部分: N+, N-和N0, 其中

引理4 若u0是J在N上的一個(gè)局部極小元且u0?N0, 則J′(u0)=0.

證明設(shè)u0是J在N上的一個(gè)局部極小元, 則由拉格朗日乘數(shù)法知, 存在δ∈R使得

J′(u0)=δφ′(u0),

0=〈J′(u0),u0〉=δ〈φ′(u0),u0〉.

另一方面, 由于u0?N0, 因此

故δ=0, 進(jìn)而J′(u0)=0.

引理5 N+, N-均非空.

證明由式(11)知,gu有唯一駐點(diǎn)

因此, N+, N-均非空.

引理6 N+是有界的.

vn→v0在空間Lp(Ω)中.

又由un∈N和式(10)知

(12)

直接計(jì)算可得

(13)

類似式(7)～(9), 應(yīng)用‖vn‖=1知

(14)

其中C與n無(wú)關(guān). 再由式(13)～(14)及‖un‖→∞(n→∞)可得

(15)

J(v0)≥

(16)

(17)

(18)

(19)

再結(jié)合式(13)和式(15)有

矛盾!

另一方面, 由vn→v0知, 存在{vn}的子列, 仍記作{vn}, 使得式(17)和式(19)成立, 且有

(20)

再結(jié)合式(13)和式(15)有

矛盾! 因此, N+是有界的.

引理7 1)J在N+上下方有界;

2)J在N+上有極小元.

證明1) 因?yàn)閡∈N+, 所以由式(10)可得

由引理6知, N+是有界的, 故J在N+上下方有界.

un→u0在空間Lp(Ω)中.

(21)

(22)

(23)

(24)

成立, 再結(jié)合式(12)有

因此, 存在

使得t(u0)u0∈N+, 則gu0在t(u0)處取得極小值, 再結(jié)合式(21)～(24)有

即u0是J在N+上的極小元.

引理8J在N-上的每一個(gè)極小化序列都是有界的.

證明設(shè){un}是J在N-上的一個(gè)極小化序列, 即

vn→v0在空間Lp(Ω)中.

由un∈N知, 式(12)成立. 直接計(jì)算可得式(13) 和

(25)

結(jié)合式(25)及‖un‖→∞(n→∞)可得式(15).

矛盾!

另一方面, 由vn→v0知, 存在{vn}的子列, 仍記作{vn}, 使得式(17)～(20)成立, 再結(jié)合式(15)和式(25)有

矛盾! 因此,J在N-上的每一個(gè)極小化序列都有界.

vn→v0在空間Lp(Ω) 中.

因?yàn)閡n∈N-, 所以

由un∈N知, 式(13)成立. 直接計(jì)算可得式(13) 和式(14). 再由‖un‖→0(n→∞)可得式(15).

矛盾!

再由式(15)和引理2得

另一方面, 由vn→v0知, 存在{vn}的子列, 仍記作{vn}, 使得式(17)～(20)成立, 再結(jié)合式(13)和式(15)有

2)J在N-上存在極小元.

n→∞.

un→u0在空間Lp(Ω) 中.

因此

(26)

由un∈N知, 式(12)成立.

矛盾!

另一方面, 由un→u0知, 存在{un}的子列, 仍記作{un}, 使得式(22)～(24)成立, 且有

再結(jié)合式(12)和式(26)有

un→u0在空間Lp(Ω) 中.

則存在

因此

又由于映射gun(t)在t=1取得極大值. 因此

故

定理1證明由引理7(2), 引理9(2)表明泛函J有兩個(gè)極小元u+∈N+和u-∈N-. 再由引理4知,u+和u-是問題(P)的兩個(gè)非平凡解.