王寶生，唐秀歡，包利紅，朱 磊

(西北核技術(shù)研究所，陜西 西安 710024)

西安脈沖堆(XAPR)作為池式研究堆，具有停堆后的非能動(dòng)安全性，即當(dāng)反應(yīng)堆發(fā)生事故時(shí)，依靠堆池水的自然循環(huán)冷卻將堆芯余熱非能動(dòng)安全導(dǎo)出。然而這樣的B型非能動(dòng)系統(tǒng)[1]在緩解嚴(yán)重事故時(shí)，易受到不確定性的影響，從而引起系統(tǒng)的功能失效[2]。因此，有必要對(duì)XAPR自然循環(huán)功能失效進(jìn)行研究與分析，并發(fā)展一種評(píng)價(jià)其失效概率的方法，為XAPR概率安全評(píng)價(jià)提供重要的信息。

研究表明，功能失效概率的計(jì)算可采用響應(yīng)面(RS)法、一次二階矩法(FOSM)、直接蒙特卡羅(DMCS)法、自適應(yīng)蒙特卡羅(AMCS)法、自適應(yīng)重要抽樣(AIS)法和重要抽樣蒙特卡羅(ISMCS)法等[3-8]。然而，RS法和FOSM能簡(jiǎn)化復(fù)雜模型的處理，但對(duì)于高非線性問題的精度不夠理想；DMCS法能很好地模擬真實(shí)的概率，但需進(jìn)行大量抽樣，計(jì)算效率低下；各種改進(jìn)的蒙特卡羅(MCS)法通過引入重要密度函數(shù)，可提高計(jì)算效率，但對(duì)隱式關(guān)系的熱工水力過程，仍依賴響應(yīng)面方程來替換熱工水力程序，難以避免RS法的固有缺點(diǎn)。

本文提出一種重要方向最優(yōu)化線抽樣(OLS)法來評(píng)價(jià)XAPR自然循環(huán)功能的可靠性?；谧匀谎h(huán)系統(tǒng)功能可靠性[9-11]的評(píng)價(jià)內(nèi)容及流程，考慮系統(tǒng)模型及輸入?yún)?shù)的不確定性，利用OLS法獲得輸出響應(yīng)的累積分布函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算功能失效概率及靈敏度系數(shù)。以XAPR自然循環(huán)冷卻堆芯能力的可靠性評(píng)價(jià)為例，結(jié)合中破口失水事故，對(duì)功能失效進(jìn)行評(píng)估，并與其他幾種方法進(jìn)行比較。

1 功能失效概率評(píng)估數(shù)學(xué)模型

假設(shè)影響系統(tǒng)功能可靠性的輸入變量X=(x1,x2,…,xn)由n個(gè)不確定輸入?yún)?shù)組成，那么功能失效概率Pf可由下式表示：

(1)

式中：g(X)=A-y(X)為功能函數(shù)，A為失效準(zhǔn)則，y(X)為用函數(shù)映射關(guān)系表示的熱工水力學(xué)程序，g(X)>0表示系統(tǒng)處于安全狀態(tài)，g(X)<0表示系統(tǒng)處于失效狀態(tài)，g(X)=0表示系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；fX(X)為輸入變量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

為便于計(jì)算，式(1)可改寫為如下形式：

(2)

式中：I[g(X)]為指示性函數(shù)，若g(X)<0，則I[g(X)]=1，若g(X)≥0，則I[g(X)]=0；Ω為整個(gè)積分區(qū)域。

對(duì)于復(fù)雜的自然循環(huán)系統(tǒng)，難以用快速積分的方法求解式(2)，因?yàn)間(X)是一個(gè)復(fù)雜的熱工水力學(xué)程序，其功能函數(shù)都是模擬程序，需用數(shù)值方法求解。由于功能失效概率一般較小，采用MCS法計(jì)算需進(jìn)行多次抽樣，且每次抽樣均要運(yùn)行熱工水力學(xué)程序，計(jì)算量非常大。針對(duì)這一問題，本文提出重要方向OLS法進(jìn)行求解。

2 重要方向OLS法

2.1 線抽樣法基本思想

該方法的基本原理是利用直線代替隨機(jī)點(diǎn)確定出高維復(fù)雜系統(tǒng)的失效域，通過重要方向α上的插值和n-1維上的隨機(jī)抽樣來高效地實(shí)現(xiàn)失效概率的計(jì)算。圖1示出線抽樣法示意圖。

(3)

圖1 線抽樣法示意圖Fig.1 Sketch map of line sampling method

(4)

(5)

2.2 最優(yōu)化重要方向的確定

線抽樣法的有效性取決于重要方向的選取，當(dāng)重要方向與最優(yōu)重要方向一致時(shí)，效率達(dá)到最佳。定義最優(yōu)化重要方向αopt為使系統(tǒng)失效概率估算值方差最小的重要方向。那么最優(yōu)化重要方向可表述為αopt=Xopt/‖Xopt‖，其中Xopt位于失效域內(nèi)。以系統(tǒng)失效概率估算值方差最小為目標(biāo)，構(gòu)建如下所示具有約束條件的優(yōu)化模型：

minM=Var[PN(F)]=σ2[PN(F)]

s.t.αopt=Xopt/‖Xopt‖

Xopt∈F,{g(Xopt)<0}

(6)

采用遺傳算法對(duì)所建立的優(yōu)化模型進(jìn)行求解，其主要步驟如下。

1) 通過遺傳算法模擬產(chǎn)生NT個(gè)條件樣本點(diǎn)Xj(j=1,2,…,NT)，計(jì)算樣本點(diǎn)的質(zhì)心

2.3 OLS法實(shí)現(xiàn)過程

2.4 OLS法的適用范圍

OLS法無需找到設(shè)計(jì)點(diǎn)，該方法只需確定失效域中的質(zhì)心，即可通過遺傳算法求解約束條件準(zhǔn)確確定最優(yōu)化重要方向，且采用3點(diǎn)二次插值在非線性情況下更易逼近真實(shí)的隱式功能函數(shù)方程。該方法不依賴于功能函數(shù)方程的顯式表達(dá)，且在重要方向上具有極高的效率，因此該方法適用于非線性程度較高的大型復(fù)雜自然循環(huán)系統(tǒng)可靠性分析中的高維小功能失效概率問題，對(duì)于具有不規(guī)則極限狀態(tài)曲面的功能函數(shù)，該方法尤其適用。此外，對(duì)于含有非正態(tài)隨機(jī)變量的情況，需先將非正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，再運(yùn)用該方法求解。

圖2 OLS法的計(jì)算流程Fig.2 Flow chart of optimized line sampling method

3 OLS法的應(yīng)用

以XAPR自然循環(huán)冷卻堆芯能力的可靠性評(píng)價(jià)為例，考慮模型與輸入?yún)?shù)的不確定性，對(duì)中破口失水事故下的自然循環(huán)功能失效概率進(jìn)行量化分析。

3.1 系統(tǒng)安全功能

XAPR采用池式反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)，堆芯采用自然循環(huán)冷卻，當(dāng)反應(yīng)堆發(fā)生冷卻劑喪失事故時(shí)，依靠池水自然循環(huán)冷卻，或與環(huán)境的熱量交換即可將堆芯余熱非能動(dòng)導(dǎo)出。當(dāng)發(fā)生失水事故時(shí)，事故進(jìn)程可劃分為3個(gè)階段：1) 水冷自然循環(huán)冷卻階段；2) 堆芯半裸露階段；3) 空氣冷卻自然循環(huán)階段。這樣即可在失水事故時(shí)建立堆芯長(zhǎng)期自然循環(huán)冷卻，將堆芯余熱導(dǎo)出，保證燃料元件的完整性。

3.2 系統(tǒng)模型與功能準(zhǔn)則

采用RELAP5模擬失水事故堆芯自然循環(huán)冷卻過程。XAPR熱工水力建模計(jì)算節(jié)點(diǎn)示于圖3。圖3中控制體101～107為堆池，120～124為堆池混凝土壁外空氣邊界，150～163為一回路管道，170～172為簡(jiǎn)化二回路邊界，109為堆池頂部空氣邊界。為驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，采用運(yùn)行工況作為邊界條件進(jìn)行計(jì)算，得到堆芯自然循環(huán)流量為12.21 kg/s，該流量與實(shí)際自然循環(huán)流量12.13 kg/s基本一致。

定義功能準(zhǔn)則為：當(dāng)包殼溫度低于或等于500 ℃時(shí)，燃料芯體最高溫度應(yīng)低于1 150 ℃；高于500 ℃時(shí)，應(yīng)低于970 ℃。從概率安全角度出發(fā)，假設(shè)燃料芯體最高溫度超過安全限值970 ℃則認(rèn)為功能失效。設(shè)向量X為不確定性參數(shù)，To,max(X)為燃料芯體最高溫度，則功能函數(shù)g(X)可表示為：g(X)=970-To,max(X)，當(dāng)g(X)<0時(shí)，即認(rèn)為功能失效。

3.3 系統(tǒng)不確定性參數(shù)

XAPR運(yùn)行時(shí)涉及到2種不確定性：第1種是偶然不確定性，它與模型的幾何性質(zhì)有關(guān)；第2種是認(rèn)知局限不確定性，它與運(yùn)行和試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺乏而導(dǎo)致對(duì)有關(guān)現(xiàn)象認(rèn)知的局限性有關(guān)[2]。本文重點(diǎn)研究因認(rèn)知局限的不確定性。

圖3 RELAP5計(jì)算節(jié)點(diǎn)Fig.3 Nodalization of RELAP5 calculation

利用層次分析法及專家判斷相結(jié)合的方式，識(shí)別出對(duì)XAPR堆芯自然循環(huán)影響較大的不確定性參數(shù)。在目前處理中，當(dāng)可得到的數(shù)據(jù)有限時(shí)，各輸入?yún)?shù)的概率分布及取值區(qū)間主要以工程設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，并結(jié)合專家評(píng)價(jià)的主觀方法得出。表1列出輸入?yún)?shù)的概率分布及特征參數(shù)。這些參數(shù)的取值及分布考慮了所有可能的事故工況，是一種較為保守的方法。

表1 輸入?yún)?shù)的概率分布類型及特征參數(shù)Table 1 Probability distribution and characteristic parameter of input parameter

3.4 功能失效概率評(píng)估與結(jié)果分析

為便于比較，本文同時(shí)采用了DMCS、OLS、AMCS和AIS等方法進(jìn)行計(jì)算。圖4示出不同方法的功能失效概率隨樣本數(shù)的變化。由圖4可見，當(dāng)OLS法樣本數(shù)增大至5 000后，失效概率幾乎不再隨NT的增加而波動(dòng)，且計(jì)算結(jié)果即可達(dá)到DMCS法樣本數(shù)為105時(shí)的計(jì)算精度(對(duì)于概率為10-3數(shù)量級(jí)，抽樣105次對(duì)于置信水平99%能獲得滿意結(jié)果，因此以105次抽樣結(jié)果作為基準(zhǔn)值)[6]。同時(shí)從圖4還可看出，當(dāng)樣本數(shù)分別達(dá)到50 000及20 000時(shí)，AMCS法和AIS法也能達(dá)到較好的收斂效果。因此，本文分別選取105、5 000、50 000、20 000作為DMCS、OLS、AMCS及AIS等方法的樣本數(shù)。

圖4 失效概率隨NT的變化Fig.4 Failure probability convergence with NT

圖5示出4種不同方法得到的反映模型輸出To,max不確定性的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)。由圖5可見：To,max近似服從正態(tài)分布；

OLS法抽樣NT=5 000次的計(jì)算結(jié)果與DMCS法抽樣NT=105次的基準(zhǔn)值吻合較好，但樣本數(shù)卻少得多，約為DMCS法樣本數(shù)的1/20。

為便于比較引入兩個(gè)指標(biāo)：相對(duì)誤差ξ和單位變異系數(shù)Δ[8]：

(7)

(8)

式中，δ為變異系數(shù)。顯然，單位變異系數(shù)Δ越小，計(jì)算效率越高；相對(duì)誤差ξ越小，計(jì)算精度越高。不同方法計(jì)算得到的失效概率Pf、單位變異系數(shù)Δ、相對(duì)誤差ξ和計(jì)算時(shí)間tcom分別列于表2。由表2可見：DMCS法存在抽樣效率低、計(jì)算耗時(shí)的缺點(diǎn)，在抽樣數(shù)NT=105時(shí)才能達(dá)到誤差要求；RS法實(shí)質(zhì)上是曲線擬合的近似方法，其計(jì)算精度依賴于功能函數(shù)的線性程度，對(duì)于功能函數(shù)非線性程度較高時(shí)計(jì)算結(jié)果偏差較大，本算例自然循環(huán)系統(tǒng)為非線性，所以結(jié)果欠佳；AMCS法和AIS法均屬于重要抽樣的蒙特卡羅方法，但對(duì)于隱式關(guān)系的熱工水力過程，仍依賴RS法替代熱工水力程序，無法避免RS法的缺點(diǎn)；OLS法的計(jì)算結(jié)果與基準(zhǔn)值相近，具有較高計(jì)算效率的同時(shí)保持了良好的計(jì)算精度。更重要的是，該方法只需不確定性參數(shù)輸入變量和對(duì)應(yīng)熱工水力程序的輸出響應(yīng)值，不依賴于功能函數(shù)的顯式表達(dá)式。

3.5 參數(shù)靈敏度分析

靈敏度分析可反映輸入?yún)?shù)的不確定性對(duì)系統(tǒng)功能可靠性的影響，并給出量化的重要度排序，從而為提高系統(tǒng)功能可靠性提供指導(dǎo)性建議，有效減小不確定性。由于非能動(dòng)物理過程為隱式非線性關(guān)系，傳統(tǒng)表征參數(shù)靈敏度的相關(guān)系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)、秩相關(guān)系數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)秩回歸系數(shù)等具有局限性[10]。本文將基本變量均值變化引起功能失效概率變化的比率表征為靈敏度，在數(shù)學(xué)上由失效概率Pf對(duì)基本變量均值μx的偏導(dǎo)數(shù)予以表達(dá)，即?Pf/?μx。為消除量綱影響，引入了無量綱靈敏度系數(shù)Sμxi=(?Pf/?μxi)×(σxi/Pf)[12]。靈敏度分析結(jié)果如圖6所示。

圖5 To,max的不確定性Fig.5 Uncertainty of To,max

計(jì)算方法NT103PfΔξ/%tcom/hDMCS1053.48017.0901 002.8RS1573.1973.238.13159.8AMCS+RS50 0003.12510.1710.20687.4AIS+RS20 0003.0574.1312.16365.3OLS5 0003.4051.682.15127.8

由圖6可見，衰變熱功率相對(duì)偏差Q、空氣入口溫度Tg、流道進(jìn)口阻力系數(shù)kin、流道出口阻力系數(shù)kout、排水泵開啟延遲時(shí)間tp對(duì)系統(tǒng)輸出有較大影響，其中Q、Tg和tp最為敏感。因?yàn)檫@些參數(shù)直接影響事故發(fā)生后自然循環(huán)的輸熱能力和建立的時(shí)間，對(duì)自然循環(huán)余熱排出功能可靠性影響較大。因此，減小上述影響較大的輸入?yún)?shù)的不確定性可有效降低自然循環(huán)的失效概率，提高系統(tǒng)的功能可靠性。

選取Q、Tw、Tg、ξ2、ξ4、kin、kout、tm及tp等9個(gè)參數(shù)作為關(guān)鍵參數(shù)，其余6個(gè)參數(shù)采用均值保持不變。這樣15個(gè)輸入?yún)?shù)的模型可變?yōu)?個(gè)輸入?yún)?shù)，大幅簡(jiǎn)化了模型。對(duì)簡(jiǎn)化模型分別采用DMCS法和OLS法進(jìn)行計(jì)算，與初始模型的結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，結(jié)果列于表3(50次計(jì)算的統(tǒng)計(jì)結(jié)果)。由表3可知，當(dāng)考慮9個(gè)關(guān)鍵參數(shù)時(shí)，DMCS法和OLS法計(jì)算的失效概率均值分別為3.401×10-3及3.359×10-3，很接近初始模型的計(jì)算均值，但其計(jì)算效率更高、計(jì)算時(shí)間更少。

圖6 輸入?yún)?shù)歸一化靈敏度系數(shù)Fig.6 Normalized sensitivity coeffcient of input parameter

計(jì)算方法NT初始模型簡(jiǎn)化模型1)失效概率均值標(biāo)準(zhǔn)差Δtcom/h失效概率均值標(biāo)準(zhǔn)差Δtcom/hDMCS1053.484×10-31.892×10-417.171 002.53.401×10-31.061×10-410.06701.9OLS5 0003.409×10-37.854×10-51.64127.93.359×10-35.117×10-51.2176.7OLS2)5 0001.042×10-42.076×10-61.1460.1

注：1) 9個(gè)關(guān)鍵參數(shù)模型

2) 忽略9個(gè)關(guān)鍵參數(shù)模型

4 結(jié)論

1) 本文采用遺傳算法求解具有約束條件的優(yōu)化模型，找出最優(yōu)化重要方向，并將失效域的條件樣本用作隨機(jī)樣本，使得計(jì)算效率大為提高。相比于其他方法，該方法具有較高的抽樣效率和計(jì)算精度，且該方法只需基本變量和對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)輸出值，不依賴功能函數(shù)的顯式表達(dá)式，對(duì)于隱式關(guān)系具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。

2) XAPR破口失水事故時(shí)，不確定性導(dǎo)致的功能失效總是有非零的發(fā)生概率，其失效概率為3.480×10-3。在涉及XAPR自然循環(huán)的可靠性評(píng)估中，功能失效是重要的，其失效概率應(yīng)基于熱工水力計(jì)算和概率論方法進(jìn)行全面評(píng)價(jià)。

3) 減小Q、Tg、kin、kout及tp等5個(gè)關(guān)鍵參數(shù)的不確定性，可更有效地降低自然循環(huán)的失效概率，提高XAPR自然循環(huán)冷卻堆芯的能力。同時(shí)，通過靈敏度分析將模型簡(jiǎn)化后，計(jì)算量大幅減少，但計(jì)算結(jié)果仍很接近。