左萬里,黃家瀚

(寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院,浙江 寧波 315211)

微電子機(jī)械系統(tǒng)(MEMS)在科學(xué)和工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2],如微傳感器與微諧振器等。對于諧振器,品質(zhì)因數(shù)(Q)是一重要參數(shù),其關(guān)系到器件的測量精度。品質(zhì)因數(shù)越高,器件振動(dòng)時(shí)的能量損失越小。在過去的幾十年中,為了制造高精度即低能量損失的諧振器,眾多學(xué)者研究了多種不同的阻尼機(jī)理。在這些阻尼機(jī)理中又可分為外部阻尼和內(nèi)部阻尼。外部阻尼如空氣阻尼[3]和支撐阻尼[4]可以通過合理的設(shè)計(jì)與優(yōu)化運(yùn)行環(huán)境來降低和消除。但是內(nèi)部阻尼,如熱彈性阻尼很難像外部阻尼那樣消除。因此,熱彈性阻尼長期以來一直是研究熱點(diǎn)。

上個(gè)世紀(jì)三十年代Zener[5-6]針對均質(zhì)、各向同性的板簧首次提出了熱彈性阻尼這一概念。當(dāng)板簧做橫向周期振動(dòng)時(shí),板簧上下部分會(huì)周期性的被壓縮與拉伸,壓縮部分溫度會(huì)上升,拉伸部分溫度會(huì)降低,從而產(chǎn)生了一個(gè)溫度梯度。這一溫度梯度又會(huì)產(chǎn)生不可逆熱流,即帶來了熵增,這一能量損失則被稱為熱彈性阻尼。其模型表達(dá)式定義如下:

(1)

在過去的數(shù)十年間,許多學(xué)者研究了均質(zhì)結(jié)構(gòu)中的熱彈性阻尼。Lifshitz和Roukes[7]優(yōu)化了Zener的模型。Li[8]給出了out-of-plane振動(dòng)時(shí)均質(zhì)矩形板和圓板中的熱彈性阻尼模型。Li模型與LR模型之間的關(guān)系如下

(2)

式中:ν為泊松比。

近年來,隨著MEMS技術(shù)的進(jìn)步,層疊微結(jié)構(gòu)在諧振器中得到了應(yīng)用[9]。層疊微結(jié)構(gòu)通常采用化學(xué)汽相淀積,真空噴鍍淀積等工藝制造,與宏觀復(fù)合材料有較大的區(qū)別。在層疊微結(jié)構(gòu)器件中,每一層材料都是各向同性的,層層之間沒有間隙,界面處無熵增。層疊結(jié)構(gòu)中的熱彈性阻尼理論最早由Bishop和 Kinra[10-11]提出——熱彈性阻尼為單位弧度內(nèi),所有層中能量損失之和與最大儲(chǔ)存能之和的比值。但Bishop和Kinra理論框架中含有待定的未知量,不能方便地、直接地用于計(jì)算諧振器件中的熱彈性阻尼。基于Bishop和Kinra的理論框架,Vengallatore[12]研究了對稱三層梁中的熱阻尼,Vengallatore研究團(tuán)隊(duì)[13-14]給出了雙層微梁中熱彈性阻尼解析模型。本文基于Bishop和Kinra理論框架,建立了橫向振動(dòng)時(shí),雙層矩形板微諧振器中熱彈性阻尼模型。

1 方法

在Bishop和Kinra[10-11]的理論框架下,雙層板中的熱彈性阻尼定義如下

(3)

式中:下標(biāo)( )1表示基板,下標(biāo)( )2表示鍍層。

(4)

式中:Vm是第m層板的體積,σij,m和εij,m分別為第m層板內(nèi)的應(yīng)力張量和應(yīng)變張量。

(5)

式中:σkk,m是第m層板中合應(yīng)力,εT,m是第m層中熱應(yīng)變,Im( )表示取虛部。

2 應(yīng)變和應(yīng)力場

(6)

假定變化的溫度場為?=T-T0,其中T0為初始溫度,在均質(zhì)各向同性材料中,機(jī)械應(yīng)變和熱應(yīng)變可表示為

(7)

式中:合應(yīng)力σkk如下所示

σkk=σxx+σyy+σzz

(8)

克羅內(nèi)克函數(shù)δij可表示為

(9)

則總的應(yīng)變場為

(10)

由式(10)可以推導(dǎo)出應(yīng)力場為

(11)

式中:體應(yīng)變e為

e=εxx+εyy+εzz

(12)

當(dāng)微板進(jìn)行小變形振動(dòng)時(shí),平面內(nèi)的應(yīng)變分量εij與位移向量ui之間的關(guān)系如下[14]

(13)

一般記平面內(nèi)位移為ux=u(x,y,z),uy=v(x,y,z),橫向位移為w(x,y,z)。

假設(shè)板在角頻率為ω的激振力作用下進(jìn)行橫向振動(dòng),則板的橫向變形可記為[8,14]

w(x,y,z,t)=w0(x,y)eiωt

(14)

平面內(nèi)位移為

(15)

(16)

由于波動(dòng)溫度場?是由振動(dòng)而產(chǎn)生的,根據(jù)熱彈性效應(yīng),則有

?(x,y,z,t)=?0(x,y,z)eiωt

(17)

在直角坐標(biāo)系下,坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)定在雙層板底面,如圖1所示。z1為基板厚度,z2為基板與鍍層總厚度。由式(10)可得到雙層板中應(yīng)變分量的本構(gòu)方程;同時(shí)由式(13)、式(15)和式(16)可得雙層板中應(yīng)變場與位移函數(shù)之間的關(guān)系式如下

m=1,2

(18)

式中:Em、νm、αm分別是第m層中材料的楊氏模量、泊松系數(shù)、熱膨脹系數(shù),z0為中性面距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。2008年,Zhang和Zhou[16]給出了非均質(zhì)板內(nèi)中性面近似計(jì)算方法,運(yùn)用這一方法,可得雙層板中性面為

(19)

圖1 雙層板結(jié)構(gòu)示意圖及其坐標(biāo)系

雙層板中的應(yīng)力分量的本構(gòu)方程為[8,15]

m=1,2

(20)

3 雙層微板中熱彈性阻尼

3.1 雙層矩形板中儲(chǔ)存的最大彈性能

將式(18)和式(20)代入式(4),可得雙層板內(nèi),每一層所儲(chǔ)存的最大彈性能為

(21)

(22)

式中:

(23)

A為板在(x,y)平面內(nèi)的面積。

3.2 損失的耗散能

當(dāng)薄板橫向振動(dòng)時(shí),z向溫度梯度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于x向和y向的溫度梯度。對于雙層板,含有內(nèi)部熱源項(xiàng)時(shí)的一維熱傳導(dǎo)方程可記為[11,17]

(24)

式中:內(nèi)部熱源項(xiàng)

(25)

當(dāng)雙層板為外表面絕熱,且內(nèi)部界面無熱量損失時(shí),其對應(yīng)熱邊界條件為

(26)

由積分變換[18]可解得雙層板的穩(wěn)態(tài)溫度場為

(27)

式中:

(28)

(29)

式中:φmn(z),βn為下列問題的特征函數(shù)和特征值

(30)

則特征函數(shù)為

(31)

(32)

式中:

而βn是下列超越方程的根:

(33)

將式(7)、式(8)和式(27)代入式(5)得每一層損失的能量為

(34)

(35)

式中:

(36)

(37)

(38)

(39)

則將式(21)、式(22)、式(34)和式(35)代入式(3)可得雙層矩形板中的熱彈性阻尼如式(40)所示

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

3.3 周邊固定板

根據(jù)板殼理論[19],高斯曲率G(w)在直角坐標(biāo)系記為

(46)

當(dāng)雙層板為周邊固定時(shí)(Fully clamped),對高斯曲率進(jìn)行積分后,所得結(jié)果都為零,即

(47)

將式(47)代入式(42)和式(43)后,式(40)中板的振型項(xiàng)可以化減,得雙層周邊固定板中熱彈性阻尼模型為式(48):

(48)

4 結(jié)果和討論

利用已建模型分別討論周邊固定雙層矩形微板中,鍍層的體積比Vf、板的幾何尺寸等對熱彈性阻尼的影響。其中Vf為鍍層厚度與雙層板總厚度的比值,即

Vf=(z2-z1)/z2

(49)

300 K時(shí)材料的力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 300 K時(shí)材料特性

4.1 當(dāng)前模型理論結(jié)果

圖2為在硅板上鍍有不同材料時(shí),熱彈性阻尼隨頻率的變化關(guān)系。為了與均質(zhì)單層硅板進(jìn)行比較,圖中也給出了均質(zhì)微板中熱彈性阻尼模型[8]計(jì)算結(jié)果。由圖可知,當(dāng)鍍層材料的Zener模量大于硅的Zener模量時(shí),最大熱彈性阻尼會(huì)增加;而鍍層材料的Zener模量小于硅的Zener模量時(shí),最大熱彈性阻尼會(huì)降低。

圖2 不同鍍層時(shí)頻率對熱彈性阻尼的影響

圖3為在SiO2基板上鍍有金屬Au后,熱彈性阻尼隨頻率的變化關(guān)系。圖中也給出了均質(zhì)SiO2板中的熱彈性阻尼[8]。從圖中可以看出,Au/SiO2熱彈性阻尼譜中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)峰。比較均質(zhì)板的熱彈性阻尼頻譜曲線可知,雙層板中的第一個(gè)峰主要由SiO2基板作用而產(chǎn)生。同時(shí)由式(1)中臨界頻率ω=π2k/h2C也可知,雙層板中第一個(gè)峰所對應(yīng)的臨界頻率為均質(zhì)SiO2板的臨界頻率,而第二個(gè)峰的臨界頻率為均質(zhì)Au板的臨界頻率。由于Au的Zener模量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于SiO2的Zener模量,雖然Au鍍層板厚度只有細(xì)微的增加時(shí),但是熱彈性阻尼卻會(huì)快速增大。

圖3 Au/SiO2(z2=10 μm)雙層板中金屬層體積比對熱彈性阻尼的影響

圖4 SiO2/Si(z2=10 μm)雙層板中淀積層體積比對熱彈性阻尼的影響

圖4為SiO2/Si中鍍層SiO2的體積比對熱彈性阻尼的影響。當(dāng)Vf=0.25時(shí),Si層中熱彈性阻尼占主導(dǎo)作用;當(dāng)Vf=0.75時(shí),SiO2層中熱彈性阻尼起主導(dǎo)作用。上述兩種情況下,熱彈性阻尼頻譜曲線僅有一個(gè)波峰。僅在Vf=0.5時(shí),熱彈性阻尼頻譜曲線會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)波峰。由此可知,雙層板中的熱彈性并非兩塊均質(zhì)板熱彈性阻尼的簡單疊加。

4.2 與FEM結(jié)果的比較

運(yùn)用所得模型計(jì)算雙層矩形板中熱彈性阻尼并與FEM(ANSYS)結(jié)果進(jìn)行比較。在ANSYS中,運(yùn)用結(jié)構(gòu)-熱力學(xué)簡諧分析去計(jì)算板中的熱彈性阻尼。本文采用了三維20節(jié)點(diǎn)的Solid226單元去劃分每一層板。

圖5為Si3N4/Si中ANSYS所得熱彈性阻尼的數(shù)值解與當(dāng)前模型所得解析解的比較。雙層微板的總厚度z2=10 μm,長寬和寬度為a=b=500 μm。由圖可知,ANSYS數(shù)值模型所得結(jié)果與當(dāng)前解析模型所得結(jié)果具有很好的擬合度。不同體積比條件下,熱彈性阻尼頻譜曲線都僅有一個(gè)波峰;僅當(dāng)Vf=0.25時(shí),雙層微板具有較寬的阻尼頻譜曲線。

圖5 Si3N4/Si中熱彈性阻尼ANSYS結(jié)果與理論值的比較

圖6 Ag/Si中熱彈性阻尼ANSYS結(jié)果與理論值的比較

由式(48)可知,雙層微板諧振器中的熱彈性阻尼僅與板的厚度有關(guān),而與板的長度和寬度無關(guān)。圖6為矩形板在不同長寬比(b/a)時(shí)的熱彈性阻尼。其中雙層板的總厚度固定(z2=10 μm),體積比Vf=0.1。由圖可知,雖然板的長度和寬度都增加了一倍,ASNSY所結(jié)果卻無明顯變化,且與理論模型所得解析解具有很好的擬合度。

5 結(jié)論

本文針對雙層矩形板結(jié)構(gòu)微諧振器,基于Bishop和Kinra理論方法,建立了周邊固定條件下,熱彈性阻尼解析模型。主要結(jié)論如下:①當(dāng)鍍層材料的Zener模量大于基板材料的Zener模量時(shí),最大熱彈性阻尼會(huì)增加;而鍍層材料的Zener模量小于基板材料的Zener模量時(shí),最大熱彈性阻尼會(huì)降低。②雙層板中的熱彈性并非兩塊均質(zhì)板熱彈性阻尼的簡單疊加。雙層板熱彈性阻尼頻譜曲線的波峰特性,由材料的Zener模量和臨界頻率所決定。③對于雙層板諧振器,板的厚度對熱彈性阻尼的影響較大,而板的形狀,長寬的影響可以忽略。