聶 萌 張海波

(東北電力大學機械工程學院，吉林吉林132012)

數(shù)控機床可靠性建模是對機床可靠性評估的前提。在制造業(yè)水平不斷提高的現(xiàn)狀下，機床的可靠性也大大提高，想獲得大量的故障數(shù)據(jù)實屬不易，導致大部分的機床故障數(shù)據(jù)屬于小樣本數(shù)據(jù)，而在小樣本數(shù)據(jù)下運用經(jīng)典統(tǒng)計學法，結(jié)果會出現(xiàn)較大的偏差。本文采用改進的自助擴充法彌補數(shù)據(jù)不足的缺陷，進而提高了建模的精確性，對可靠性建模具有一定的實踐意義。

當前，數(shù)據(jù)建模的方法有很多。申桂香等[1]針對小樣本類型的故障數(shù)據(jù)，先計算出威布爾分布模型，再采用參數(shù)偏差修正法修正威布爾分布模型，雖然修正后的威布爾模型更接近經(jīng)驗分布函數(shù)，但在故障數(shù)據(jù)小于3時無法修正。Anderson-Cook[2]等提出了將系統(tǒng)數(shù)據(jù)、零件數(shù)據(jù)和子系統(tǒng)數(shù)據(jù)與專家判斷結(jié)合的貝葉斯方法，并應(yīng)用于戰(zhàn)略導彈系統(tǒng)的可靠性建模中。任麗娜等[3]基于模型參數(shù)、蒙特卡洛仿真誤差、BGR診斷原理及DIC信息準則和可靠性指標后驗估計的區(qū)間長度，提出了數(shù)控機床貝葉斯可靠性模型的綜合評價方法，為貝葉斯不完全維修模型的模型選擇提供了參考依據(jù)。錢浩[4]提出了將Bootstrap與Bayes計算方法相結(jié)合并運用改進的Bootstrap-Bayes計算方法，通過對比分析驗證了基于Bootstrap-Bayes可靠性建模方法的可行性，并運用Visual Basic6.0軟件進行數(shù)控機床的可靠性評估，使其過程更加精準快捷且更利于數(shù)據(jù)的對比分析。孫慧玲等[5]針對 Bayes Bootstrap方法進行了改進，其原理是在不改變原樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上將樣本數(shù)據(jù)進行了自助擴充，再利用Bayes Bootstrap方法對擴充數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，但此方法只對參數(shù)μ的區(qū)間估計進行了計算，并未對參數(shù)σ進行考量。本文應(yīng)用改進的自助擴充法增加每組故障數(shù)據(jù)的擴充數(shù)量，運用經(jīng)典統(tǒng)計學法進行建模，最后結(jié)合具體的實例數(shù)據(jù)加以分析說明。該方法對于數(shù)控機床的小樣本可靠性建模具有一定的工程應(yīng)用意義。

1 經(jīng)典算法的可靠性模型

(1)數(shù)控機床可靠性數(shù)據(jù)的收集

先將收集到的故障數(shù)據(jù)進行分類處理，計入符合的數(shù)據(jù)，再將數(shù)據(jù)排列與分組。具體步驟不做詳細介紹。

(2)建立威布爾分布模型

指數(shù)分布雖然計算簡單便捷，但在早期故障期間失效率不是恒常數(shù)會影響建模的精確性；正態(tài)分布通常適用于金屬材料的疲勞分析模型；威布爾分布的適用性很廣，不但適用于各種形狀的參數(shù)，而且可以表達多種可靠性的指標。所以本文在用經(jīng)典統(tǒng)計學建模時采用威布爾分布。

兩參數(shù)威布爾分布的失效分布密度為:

兩參數(shù)威布爾分布失效分布函數(shù)為:

兩參數(shù)威布爾分布可靠度函數(shù)為:

兩參數(shù)威布爾分布失效率函數(shù)為:

其中:t為時間；α為尺度參數(shù)；β為形狀參數(shù)。

(3)運用軟件進行可靠性指標評價

通過運用Matlab軟件編程計算平均故障間隔時間(MTBF)、尺度參數(shù)(α)、形狀參數(shù)(β)。

2 自助擴充法

自助擴充法其中心思想是在不改變原樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上擴充樣本數(shù)據(jù)。自助擴充法來源于改進的Bayes Bootstrap方法。改進的Bayes Bootstrap方法通常分為兩種，第一種是對經(jīng)驗函數(shù)提出改進意見，重新構(gòu)造更為合理的經(jīng)驗分布函數(shù)[6]；第二種是對小樣本的Bootstrap抽樣方法進行改進，目的在于調(diào)整抽樣方法，增大樣本容量[7]。本文對Bootstrap抽樣方法方法提出了改進意見，新方法是在Bootstrap抽樣方法的基礎(chǔ)上增加抽樣數(shù)量。孫慧玲曾提出改進的Bootstrap抽樣方法是在每組故障樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上擴充兩個樣本數(shù)據(jù)，并對小樣本的可靠性參數(shù)進行區(qū)間估計，但其方法在計算故障間隔時間中效果不顯著。所以本文將每組樣本數(shù)量n擴充為2n-1個應(yīng)用于計算故障間隔時間，并通過實例分析證明該方法的正確性。

2.1 Bootstrap法的基本思想

(1)樣本數(shù)據(jù) X＝ (x1，…，xn)，xi～ F ( x)，i＝ 1，2，…，n。樣本數(shù)據(jù)組成的經(jīng)驗分布函數(shù)如下:

其中:x1，…，xn是從小到大的順序統(tǒng)計量。

(2)從Fn中抽取N組樣本。方法如下:

①計算機在區(qū)間0～M中生成隨機數(shù)η；

②令 i＝η%n；

③在觀測值中找到對應(yīng)下標為i的樣本xi作為再生樣本x?，則x?為所需的隨機樣本。則自助樣本為其中 j＝1，…，n。

(3)計算:

(4)在給定Fn的條件下，利用Rn的分布近似Tn的分布，可得到N個θ(F)，那么未知參數(shù)的θ的分布、特征值就可用相應(yīng)的統(tǒng)計方法求出[5]。

2.2 改進的Bootstrap抽樣方法

假設(shè)x1，x2，…，xn屬于機床簡單隨機故障樣本數(shù)據(jù)，將 n個故障樣本數(shù)據(jù)分成 K組，組距 m＝1+3.322log n。進而確定數(shù)控機床故障樣本數(shù)據(jù)的分組為:

θ1＝ (x1，…，xm)， θ2＝ (xm+1，…，x2m)， …， θm＝(xn-m+1，…，xn)，把分組數(shù)據(jù)進行擴充。步驟如下:

(1)首先將 θ1＝ ( x1，…，xm)中的數(shù)據(jù)從小到大排列即 θ1＝ ( x1，…，xm)。 對觀測值xi進行數(shù)據(jù)擴充得到如下鄰域:

其中 i＝2，…，n-1，q≥2。

(2)在鄰域Π1中取x0，同理在其他鄰域內(nèi)也能取到一個擴充數(shù)據(jù)，所以每組數(shù)據(jù)可以擴充m-1個數(shù)據(jù)。

(3)重復上述兩個步驟計算每個分組。

(4)將K組擴充后的數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)合并作為再生樣本。運用經(jīng)典統(tǒng)計學法對再生樣本求解各參數(shù)。

3 實例驗證

對7臺某型號的數(shù)控機床進行為期半年的觀測，共得到61個故障數(shù)據(jù)。7臺數(shù)控機床的編號分別為Y1，Y2，…，Y7，如表1所示。將7組數(shù)據(jù)混合從小到大排列用經(jīng)典統(tǒng)計學方法計算MTBF和α與β，并以此為基準，再用自助擴充法和直接用經(jīng)典統(tǒng)計學方法計算7組數(shù)據(jù)與基準比對，從而證明自助擴充法在工程應(yīng)用上的可行性與精準性。

表1 數(shù)控機床故障數(shù)據(jù)

以61個數(shù)據(jù)為大樣本數(shù)據(jù)，利用經(jīng)典統(tǒng)計學法建立兩參數(shù)威布爾分布模型，得到分布模型參數(shù)如下:α＝1 204.5，β＝1.245 8，MTBF?＝1 122.7 h。 再用自助擴充法分別建立Y1，Y2，…，Y7七組數(shù)據(jù)的威布爾分布模型。以Y1為例，采用自助擴充法計算各參數(shù)值，首先用自助擴充法擴充Y1機床的樣本數(shù)據(jù)，得到新生成的故障數(shù)據(jù)即 Z1＝(12.83，63.5，186.67，189.5，215.5，302，537.5， 639.5， 839.25， 908.167， 945.5， 1 264.25， 2 332.5，2 246.17，2 490.67，2 591.5，2 894)。 再采用經(jīng)典統(tǒng)計算法對故障數(shù)據(jù)Z1進行計算得到MTBF＝1 323.9 h，α＝1 135.7，β＝0.770 1，因此可得到機床 Y1的可靠度函數(shù)為:

失效率函數(shù)為:

根據(jù)公式(8)和(9)繪制可靠度函數(shù)和失效率函數(shù)擬合曲線，如圖1和圖2所示。

以計算機床Y1故障數(shù)據(jù)的方法為例，用改進的Bootstrap抽樣方法和經(jīng)典統(tǒng)計學法依次計算Y2～Y7的故障數(shù)據(jù)，其參數(shù)估計值見表2所示。

表2 兩種方法的可靠性模型參數(shù)

將表2中的參數(shù)代入公式(10)中，計算相應(yīng)的MTBF，以MTBF?＝1 122.70 h為基準，計算 ΔMTBF結(jié)果見表3所示?；鶞省⒆灾鷶U充法、經(jīng)典建模法的MTBF曲線圖見圖3。

表3 MTBF的相對誤差

從表3和圖3中可以看出，采用改進的Bootstrap抽樣方法計算結(jié)果的相對誤差明顯小于直接用經(jīng)典統(tǒng)計學法的相對誤差，其中相對誤差最大減小了15.78%，由此證明了改進的自助擴充法建立的可靠性模型誤差較小，能得到較準確的可靠性模型，且驗證了改進的Bootstrap抽樣方法的可行性，并具有一定的工程應(yīng)用意義。

4 結(jié)語

(1)如今數(shù)控機床故障數(shù)據(jù)多數(shù)屬于小樣本數(shù)據(jù)，而本文提出的自助擴充法，是在不改變原本小樣本數(shù)據(jù)的情況下將故障數(shù)據(jù)擴充成大樣本數(shù)據(jù)，進而運用經(jīng)典統(tǒng)計學法進行計算，這樣不但簡化了小樣本應(yīng)用Bayes法建模的復雜性，而且提高了計算結(jié)果的精確性。

(2)本文以實際監(jiān)測機床的故障數(shù)據(jù)為研究對象，分別采用改進的Bootstrap抽樣方法和直接用經(jīng)典統(tǒng)計學法進行計算并對比分析，結(jié)果表明采用改進的Bootstrap抽樣方法計算結(jié)果的相對誤差明顯小于直接用經(jīng)典統(tǒng)計學法的相對誤差，相對誤差最大減小了15.78%，為小樣本故障數(shù)據(jù)在可靠性工程建模中提供了一定的指導意義。

.知識窗.

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