司鳳山，戴道明，孫玉濤

(安徽財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

1 研究背景

為了更好地發(fā)展綠色經(jīng)濟(jì)和滿足消費(fèi)者的低碳偏好，企業(yè)不斷加大低碳生產(chǎn)技術(shù)的研發(fā)力度。但是由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力所限，各企業(yè)低碳技術(shù)研發(fā)水平相差甚遠(yuǎn)。沒有技術(shù)研發(fā)能力的企業(yè)便爭取技術(shù)轉(zhuǎn)讓，以此實(shí)現(xiàn)低碳產(chǎn)品的生產(chǎn)。

對于低碳技術(shù)方面的問題，慕艷芬等[1]分析了碳稅對制造商選擇低碳技術(shù)的影響，但是市場大小會制約低碳技術(shù)選擇的效果。魏守道等[2]研究了碳稅制約下的供應(yīng)鏈企業(yè)競爭或合作研發(fā)低碳技術(shù)的博弈模型，分析了低碳技術(shù)研發(fā)的策略選擇問題。劉名武等[3]在分析低碳技術(shù)特征的基礎(chǔ)上，在考慮碳交易和消費(fèi)者低碳偏好的背景下，構(gòu)建了低碳技術(shù)減排投入與合作的微分博弈模型，給出了促進(jìn)零售商低碳合作的市場條件和實(shí)現(xiàn)雙贏的低碳技術(shù)特征條件。蔡小哩等[4]通過構(gòu)建博弈模型研究供應(yīng)鏈中的低碳技術(shù)與定價問題，對比分析了不同博弈模式下的制造商、零售商和供應(yīng)鏈整體利潤的差異，實(shí)現(xiàn)了供應(yīng)鏈節(jié)點(diǎn)企業(yè)收益的帕累托改進(jìn)。這些研究成果為企業(yè)在政府征收碳稅的背景下促進(jìn)低碳技術(shù)研發(fā)或低碳技術(shù)轉(zhuǎn)讓提供了有價值的參考。

關(guān)于雙寡頭博弈問題，張雅慧等[5]研究了具有溢出效應(yīng)的雙寡頭產(chǎn)量博弈模型，給出了最優(yōu)產(chǎn)量解析式，分析了產(chǎn)量調(diào)整速率對模型穩(wěn)定性的影響。李金溪等[6]通過建立委托—代理的雙寡頭博弈模型，分析了節(jié)能激勵合同對競爭策略和企業(yè)利潤的影響。王琦瑋等[7]構(gòu)建了四維的Bertrand離散價格博弈模型，在考慮技術(shù)吸收效益的基礎(chǔ)上討論了價格、利潤和成本之間的關(guān)系，分析了決策參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并對失穩(wěn)系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性控制。Luca Gori等[8]基于產(chǎn)品差異構(gòu)建了非線性雙寡頭價格博弈模型，研究了二維離散系統(tǒng)的局部和全局的系統(tǒng)特性。Yue Xiao等[9]構(gòu)建了非線性雙寡頭Stackelberg博弈模型，分析了異構(gòu)企業(yè)應(yīng)對產(chǎn)量差異的策略問題，探究了博弈模型復(fù)雜的動力學(xué)行為。學(xué)者普遍對離散的雙寡頭博弈模型的復(fù)雜動力學(xué)演化行為進(jìn)行了分析，探究了決策參數(shù)對博弈系統(tǒng)穩(wěn)定性和復(fù)雜性的影響。這為本文研究連續(xù)的時滯微分博弈模型的動力學(xué)特性奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。

通過文獻(xiàn)梳理可以發(fā)現(xiàn)，在雙寡頭企業(yè)之間考慮低碳技術(shù)轉(zhuǎn)讓的研究還比較少見。文獻(xiàn)[10]考慮了雙寡頭之間的技術(shù)轉(zhuǎn)讓問題，但只采用了運(yùn)籌的方法對比分析了有無技術(shù)轉(zhuǎn)讓機(jī)制下的最優(yōu)策略，研究方法略顯單一。另外，文獻(xiàn)[10]中始終假定兩個寡頭企業(yè)單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本相同，這種假設(shè)略顯不妥：一是假定掌握低碳技術(shù)企業(yè)的生產(chǎn)成本低于無技術(shù)企業(yè)的情形才更合理；二是企業(yè)在獲得低碳技術(shù)轉(zhuǎn)讓后，單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本應(yīng)該隨著技術(shù)轉(zhuǎn)讓程度有所下降，這樣考慮才更符合實(shí)際。

本文針對文獻(xiàn)[10]存在的以上不足，在考慮低碳技術(shù)轉(zhuǎn)讓、延遲決策和生產(chǎn)成本動態(tài)變化的基礎(chǔ)上，構(gòu)建帶時滯的動態(tài)價格博弈模型，采用非線性動力學(xué)理論和系統(tǒng)復(fù)雜性理論分析雙寡頭企業(yè)價格博弈系統(tǒng)的動力學(xué)行為，探究時滯參數(shù)、價格調(diào)整速度和技術(shù)轉(zhuǎn)讓程度對價格博弈系統(tǒng)和寡頭企業(yè)利潤的影響，力爭為企業(yè)決策提供幫助。

2 構(gòu)建博弈模型

市場中存在兩個生產(chǎn)同質(zhì)低碳產(chǎn)品的寡頭企業(yè)，記為企業(yè)1和企業(yè)2，二者展開價格競爭。這兩個企業(yè)都積極追求產(chǎn)品低碳化，努力提高產(chǎn)品的綠色水平,以滿足消費(fèi)者需求。其中，企業(yè)1研發(fā)出了產(chǎn)品低碳化生產(chǎn)技術(shù)，技術(shù)水平為L；研發(fā)投入成本為CL=γL2/2，γ為成本系數(shù)；單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為c1，零售價為p1，市場需求量為q1。企業(yè)2由于沒有研發(fā)出低碳生產(chǎn)技術(shù)，單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本c2較高(c2>c1)，零售價為p2，市場需求量為q2。企業(yè)1和企業(yè)2的產(chǎn)品需求函數(shù)為：

q1=a-α1p1+β1p2.

(1)

q2=a-α2p2+β2p1.

(2)

其中，a為產(chǎn)品的潛在最大需求量,a>0；α為價格敏感系數(shù),αi>0，β為交叉價格敏感系數(shù),βi>0，且αi>βi>0，i=1,2。為了便于計算和分析，令α1=α2=α，β1=β2=β，且α>β>0。

因?yàn)槠髽I(yè)2沒有掌握低碳生產(chǎn)技術(shù)，企業(yè)1可以向企業(yè)2有償轉(zhuǎn)讓相關(guān)技術(shù)。企業(yè)2會根據(jù)技術(shù)轉(zhuǎn)讓程度和產(chǎn)品銷量向企業(yè)1支付轉(zhuǎn)讓費(fèi)，費(fèi)用為q2φθL。其中，θ為技術(shù)轉(zhuǎn)讓的程度，θ=0表示不轉(zhuǎn)讓技術(shù)，θ=1表示全部轉(zhuǎn)讓；φ表示企業(yè)2銷售單位產(chǎn)品應(yīng)該向企業(yè)1繳納的費(fèi)用系數(shù)。此外，由于企業(yè)2獲得了轉(zhuǎn)讓技術(shù)，單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本會降低，成本降低幅度依賴于獲得的技術(shù)轉(zhuǎn)讓程度θ。此時，企業(yè)2單位產(chǎn)品的成本為C2=c2-ηθ，其中η表示轉(zhuǎn)讓單位程度的技術(shù)時，企業(yè)2的成本下降幅度系數(shù)。

企業(yè)1和企業(yè)2的利潤函數(shù)為：

π1(p1,p2)=q1(p1-c1)-CL+q2φθL.

(3)

π2(p1,p2)=q2(p2-C2-φθL).

(4)

其中，π1為企業(yè)1的利潤；π2為企業(yè)2的利潤。另外，企業(yè)往往依據(jù)自身的邊際利潤進(jìn)行價格決策。當(dāng)邊際利潤為正時,企業(yè)提高價格；當(dāng)邊際利潤為負(fù)時,企業(yè)降低價格。企業(yè)1和企業(yè)2的邊際利潤分別為：

(5)

企業(yè)1和企業(yè)2的動態(tài)價格調(diào)整過程分別為：

(6)

其中，k1和k2分別表示企業(yè)1和企業(yè)2的價格調(diào)整速度。因?yàn)楫?dāng)前價格難以準(zhǔn)確及時掌握，所以企業(yè)通常會參照歷史價格進(jìn)行產(chǎn)品定價，也就是把某一歷史時期的價格作為當(dāng)前價格的近似值。假設(shè)企業(yè)1和企業(yè)2都參照相同歷史時期的價格進(jìn)行決策，歷史價格分別為p1(t-τ)和p2(t-τ)。其中，τ≥0表示時間段，t-τ意味著距離當(dāng)前τ之前的歷史時刻。本文將τ稱作時滯參數(shù)。

至此，基于式(6)帶雙時滯的動態(tài)價格博弈模型為：

(7)

3 Hopf分岔的存在性及局部漸近穩(wěn)定性

(8)

模型(8)的特征方程為：

λ2+Ae-λτλ+Be-2λτ=0.

(9)

(I)當(dāng)τ=0時，式(9)可簡化為：

λ2+Aλ+B=0.

(10)

(II)當(dāng)τ>0時，式(9)兩邊同時乘以eλτ為：

λ2eλτ+Aλ+Be-λτ=0.

(11)

令λ=iω(ω>0)為式(11)的一個根，可得：

(12)

當(dāng)滿足條件(H2)：B-ω2≠0時，可求得：

(13)

則有：

ω4+(2B-A2)ω2+B2=0,

(14)

令s=ω2，式(14)可為：

s2+(2B-A2)s+B2=0.

(15)

①若滿足條件2B-A2>0且B2>0時，式(15)沒有正根；②由于B2>0，所以式(15)不存在只有一個正根的情況；③若滿足條件2B-A2<0，B2>0且(2B-A2)2-4B2>0時，式(15)有兩個正根。

(16)

令

(17)

對式(11)兩邊求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)，可得：

(18)

(19)

如果條件(H3)：PRQR+PIQI≠0成立，則滿足產(chǎn)生Hopf分岔的橫截性條件。根據(jù)文獻(xiàn)[11]可得如下結(jié)論。

4 數(shù)值仿真

通過數(shù)值仿真驗(yàn)證理論分析的正確性，并探究時滯參數(shù)τ、價格調(diào)整速度k1和技術(shù)轉(zhuǎn)讓程度θ對價格博弈系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，分析利潤受影響時的變化趨勢。

為了更好地展現(xiàn)系統(tǒng)的動力學(xué)演化行為，參數(shù)取值如下：a=1.2，α=0.8，β=0.5，L=1，φ=0.01，γ=0.2，η=0.2，c1=0.2，c2=0.4，θ=0.5，k1=0.5，k2=0.5。此時，模型(7)為：

(20)

經(jīng)計算，系統(tǒng)(20)的均衡點(diǎn)為E(1.256,1.295)。

(Ⅰ)當(dāng)τ=0時，計算可得A=2.041>0，B=0.939>0，AB=1.917>0，所以滿足條件(H1)，系統(tǒng)(20)在均衡點(diǎn)處是局部漸近穩(wěn)定的。

(Ⅱ)當(dāng)τ>0時，計算可得B-ω2=-0.886≠0，即滿足條件(H2)。另外，2B-A2=-2.286<0，B2=0.882>0且(2B-A2)2-4B2=1.698>0，根據(jù)理論分析可知系統(tǒng)(20)有兩個正根。根據(jù)式(16)和式(17)可以得到τ0=1.163，ω0=1.351。此外，PRQR+PIQI=7.618≠0，即滿足條件(H3)。綜上可知定理1成立。

4.1 時滯參數(shù)τ對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

根據(jù)定理1可以明確，τ取值范圍的不同將引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化。τ對系統(tǒng)(20)穩(wěn)定性的影響如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(20)關(guān)于τ的分岔圖

從圖1可以看出，隨著τ的增大,系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)經(jīng)過分岔進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)，直至進(jìn)入混沌狀態(tài)。系統(tǒng)的分岔臨界點(diǎn)為τ0=1.163，其兩側(cè)的系統(tǒng)狀態(tài)截然不同。當(dāng)τ=1<τ0時的吸引子如圖2(a)所示；當(dāng)τ=1.3>τ0時的吸引子如圖2(b)所示。

圖2 系統(tǒng)(20)的吸引子

當(dāng)τ=1時系統(tǒng)是穩(wěn)定的，企業(yè)的價格經(jīng)過長期博弈后會趨于均衡點(diǎn)E(1.256,1.295)。當(dāng)τ=1.3時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，企業(yè)價格始終處于不穩(wěn)定的混亂狀態(tài)，這不利于價格決策和企業(yè)獲利。因此，企業(yè)參照的歷史價格不是越久遠(yuǎn)越好，而必須在距離學(xué)前時刻一個合理的范圍內(nèi)，否則系統(tǒng)會失去穩(wěn)定。

4.2 價格調(diào)整速度k1對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

企業(yè)為了追求利潤最大化，有時會加快價格的調(diào)整速度,但是過快的價格調(diào)整速度會對系統(tǒng)帶來不利的影響。價格調(diào)整速度k1對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響如圖3所示。

以下分析都是以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提的，所以取τ=0.5<τ0。圖3與圖1類似，當(dāng)k1超越臨界值k10=1.48時，系統(tǒng)失去穩(wěn)定,進(jìn)入混沌狀態(tài)。當(dāng)k1∈[0,0.05)時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，所以價格調(diào)整速度的合理范圍為k1∈[0.05,k10)。

圖3 當(dāng)τ=0.5時，系統(tǒng)(20)關(guān)于k1的分岔圖

圖4 當(dāng)τ=0.5時，θ對企業(yè)利潤的影響

4.3 低碳技術(shù)轉(zhuǎn)讓程度θ對企業(yè)利潤的影響

低碳技術(shù)的轉(zhuǎn)讓必然導(dǎo)致兩企業(yè)利潤的變化，利潤變化趨勢如圖4所示。

從圖4可以看出，π1與θ負(fù)相關(guān)，π2與θ正相關(guān)。雖然企業(yè)1獲得了轉(zhuǎn)讓技術(shù)收益，但是企業(yè)2由于獲得了低碳技術(shù)，利潤明顯增加，而企業(yè)1則恰恰相反。這也是企業(yè)不輕易轉(zhuǎn)讓技術(shù)的原因所在。

4.4 價格調(diào)整速度k1和技術(shù)轉(zhuǎn)讓程度θ對利潤的影響

參數(shù)k1和θ對利潤的影響如圖5所示。

圖5 當(dāng)τ=0.5時，k1和θ對企業(yè)利潤的影響

從圖5可以直觀地看到，θ從0增加到0.05時，企業(yè)1和企業(yè)2的利潤都直線增大，并在θ=0.05時出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，此后企業(yè)1的利潤開始逐漸下降，而企業(yè)2的利潤逐步上升。這說明技術(shù)轉(zhuǎn)讓程度較低時無法影響市場份額，企業(yè)1因獲得技術(shù)轉(zhuǎn)讓費(fèi)而使利潤明顯增加；企業(yè)2由于獲得低碳技術(shù)降低了生產(chǎn)成本，利潤也顯著增加。但是技術(shù)轉(zhuǎn)讓程度較高時會導(dǎo)致兩企業(yè)利潤的變化趨勢截然相反。此外，價格調(diào)整速度k1對利潤幾乎沒有影響。

5 結(jié)語

針對生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品的雙寡頭企業(yè)，本文在考慮低碳技術(shù)轉(zhuǎn)讓的背景下，建立了帶時滯的動態(tài)價格博弈模型，從時滯參數(shù)等于零和大于零兩個方面，給出了Hopf分岔存在的條件，分析了系統(tǒng)在均衡點(diǎn)處的局部漸近穩(wěn)定性。通過數(shù)值仿真探究了時滯參數(shù)和價格調(diào)整速度對價格博弈系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，分析了低碳技術(shù)轉(zhuǎn)讓程度對雙寡頭企業(yè)利潤的影響。研究表明，無論是時滯參數(shù)還是價格調(diào)整速度都必須在合理的范圍內(nèi)，否則會導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。低碳技術(shù)的轉(zhuǎn)讓會導(dǎo)致寡頭企業(yè)存在不同的利潤變化趨勢，技術(shù)接受者獲益明顯。此外，還可以通過設(shè)計合理的協(xié)調(diào)機(jī)制，在技術(shù)轉(zhuǎn)讓的同時實(shí)現(xiàn)雙贏，這是未來研究的方向。