■河南省項(xiàng)城市第一高級中學(xué) 韓維崢

離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì),是描述圓錐曲線形狀的重要參數(shù)。圓錐曲線離心率的確定與應(yīng)用是高考的高頻考點(diǎn)。“求圓錐曲線的離心率的值或取值范圍”是常見題型,認(rèn)真研究可以發(fā)現(xiàn),單獨(dú)考查離心率求法的題目很少,多數(shù)情況下是以離心率為背景,考查平面幾何、平面向量、直線方程、解三角形等知識的綜合運(yùn)用,體現(xiàn)了知識的綜合性和交匯性,這是高考命題的熱點(diǎn)和方向。如何應(yīng)對這種復(fù)雜的變化呢?筆者覺得,還是“萬變不離其宗”,這里的“宗”就是建立恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系或不等關(guān)系,以得到含有離心率e的等式或不等式,使問題得到解決。

一、方法突破

1.定義法。

例1已知橢圓的一個焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為( )。

分析：根據(jù)題中所給的條件“一個焦點(diǎn)為(2,0)”,結(jié)合c2=a2-b2,求得a,c的值,再代入求得離心率。

解：由已知得c=2,因?yàn)閎2=4,所以a2=b2+c2=8,即,所以橢圓C的離心率為故選C。

點(diǎn)評:本題考查橢圓離心率的求值,在求解的過程中,一定要注意條件“一個焦點(diǎn)為(2,0)”的隱含之意是“焦點(diǎn)在x軸上”,牢記離心率公式,結(jié)合橢圓中a,b,c的關(guān)系求得結(jié)果,此題較易。

2.向量法。

例2設(shè)F1,F2是雙曲線(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn)。過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P。若,則C的離心率為( )。

分析：由雙曲線性質(zhì)得到|P F2|=b,|P O|=a,由向量運(yùn)算可知兩邊平方相加建立a,c的關(guān)系得離心率。

解：由題意可知|P F2|=b,|O F2|=c,所

點(diǎn)評:本題以考查雙曲線的離心率為背景,綜合運(yùn)用平面向量的知識和雙曲線的性質(zhì)c2=a2+b2,使問題得以解決,屬于中檔題。

3.幾何法。

例3已知F1,F2是橢圓1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上,△P FF12為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為( )。

分析：過P作x軸的垂線,構(gòu)造直角三角形,在直角三角形中,利用三角函數(shù)建立a,c的關(guān)系,求得離心率。

解：如圖1,過P作x軸的垂線,垂足為M。

點(diǎn)評:本題以考查橢圓的離心率的求值為背景,綜合運(yùn)用平面幾何知識、直線斜率的幾何意義、橢圓的幾何性質(zhì),建立關(guān)于a,c的等量關(guān)系,使問題得以解決,屬于中檔題。

4.代數(shù)法。

分析：由直線與圓的位置關(guān)系知,圓心到直線的距離等于半徑,從而得到a,b的關(guān)系,消去b可得離心率。

解：以線段A1A2為直徑的圓是x2+y2=a2。因?yàn)橹本€b x-a y+2a b=0與圓相切,所以圓心到直線的距離a,整理得a2=3b2,所以a2=3(a2-c2)即選A。

點(diǎn)評:本題以考查橢圓的離心率為背景綜合運(yùn)用直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的性質(zhì)c2=a2-b2,建立關(guān)于a,c的等量關(guān)系,使問題得以解決,屬于中檔題。

二、一題多解

例5已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn)。P為C上一點(diǎn),且P F⊥x軸。過點(diǎn)A的直線l與線段P F交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E。若直線BM經(jīng)過O E的中點(diǎn),則C的離心率為( )。

分析：本題以橢圓內(nèi)點(diǎn)線的交錯關(guān)系為條件,而目標(biāo)是求橢圓的離心率,所以思考方向自然是要得到a,b,c滿足的等量關(guān)系,那么方向不外乎兩個:利用坐標(biāo)關(guān)系或幾何關(guān)系,抓住條件“直線BM經(jīng)過O E的中點(diǎn)”作為突破口,適當(dāng)轉(zhuǎn)化,獲得所需等式。

解法一：如圖2所示,設(shè)直線BM與y軸的交點(diǎn)為N,點(diǎn)N的坐標(biāo)設(shè)為(0,m),根據(jù)題意,N是O E的中點(diǎn),則E(0,2m),從而直線A E的方程為,直線BN的方程為又因?yàn)橹本€A E與直線BN交于點(diǎn)M,且P F⊥x軸,可設(shè)消去m,n,得,所以橢圓C的離心率為

圖1

圖2

解法二：同解法一得直線A E的方程為由題意可知N(0,m),B(a,0)三點(diǎn)共線,則

解法三：在△A O E中,MF∥O E,所以在△B FM中,ON∥MF,所以,即a+c=2(a-c),解得

解法四：由題意設(shè)直線l的方程為y=k(x+a),分別令x=-c與x=0,得|FM|=|k|(a-c),|O E|=k a,設(shè)O E的中點(diǎn)為N,由△O BN∽△F BM,得即,整理得,所以橢圓C的離心率為

點(diǎn)評:本題以考查橢圓的離心率為背景,綜合運(yùn)用平面幾何知識、三點(diǎn)共線、直線方程和橢圓的性質(zhì)進(jìn)行多角度突破,體現(xiàn)了高考的立意和命題思想。離心率問題主要有三種常用思路:(1)直接求得a,c的值,進(jìn)而求得e的值;(2)建立a,b,c的齊次等式,求得b

a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的等式求解;(3)通過特殊值或特殊位置,求出e。本題給出了四種方法,其中解法一、解法二運(yùn)用代數(shù)法建立a,c的關(guān)系,運(yùn)算量比較大,加大了算錯的概率,而解法三、解法四運(yùn)用了幾何法,利用數(shù)形結(jié)合建立a,c的關(guān)系,減少了運(yùn)算量,所以在解決橢圓的離心率求值問題時,要充分考慮幾何性質(zhì),優(yōu)化解題思路。

三、應(yīng)用體驗(yàn)

例6(2018年全國卷Ⅱ)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若P F1⊥P F2,且∠P F2F1=60°,則C的離心率為( )。

分析：設(shè)|P F2|=m,則根據(jù)平面幾何知識可求|F1F2|,|P F1|,再結(jié)合橢圓定義可求離心率。

解：在 △F1P F2中,∠F1P F2=90°,∠P F2F1=60°,設(shè)|P F2|=m,則 2c=|F1F2|=2m,|P F1|=3m。

由橢圓定義可知2a=|P F1|+|P F2|=則離心率

點(diǎn)評:橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面:一是判斷平面內(nèi)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為橢圓;二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積,以及橢圓的弦長和離心率等問題?！敖裹c(diǎn)三角形”是橢圓問題中的?？贾R點(diǎn),在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理、余弦定理及橢圓的定義。

例7(2017年全國卷Ⅱ(理)若雙曲線的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為( )。

分析：利用弦長和點(diǎn)到直線的距離公式可以得到b,c滿足的方程,再消去b得a,c滿足的方程,從而求得離心率。

解：已知雙曲線的漸近線方程為b x±a y=0,圓心(2,0)到漸近線的距離為,則點(diǎn)(2,0)到直線b x-a y=0的距離為,整理可得c2=4a2,所以離心率故選A。

點(diǎn)評:本題以考查雙曲線的離心率為背景,綜合運(yùn)用圓的弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式,所以本題要充分利用好圓的半徑、弦長的一半、圓心到弦的距離,三者之間滿足勾股定理,可得b,c滿足的齊次式,再結(jié)合b2=c2-a2,消去b得a,c滿足的齊次式,然后等式兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,解方程即可得e。

例8(2017年全國卷Ⅱ(文)若a＞1,則雙曲線的離心率的取值范圍是( )。

分析：利用離心率的計(jì)算公式得到e的表達(dá)式,再利用函數(shù)思想求得e的取值范圍。

解：因?yàn)閏2=a2+1,所以

點(diǎn)評:本題考查的是雙曲線離心率的取值范圍,解題關(guān)鍵是建立e,a的關(guān)系,即用a去表示e,再運(yùn)用函數(shù)值域的求法求得結(jié)果難度一般。

高考題千變?nèi)f化、常出常新,命題人更是人才濟(jì)濟(jì)、別出心裁,對我們學(xué)生來說,能夠立足根本、以不變應(yīng)萬變才是正確的備考之路。