嚴蘭蘭，樊繼秋，黃 濤

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基于Metaball的C連續(xù)過渡曲線的構造

嚴蘭蘭，樊繼秋，黃 濤

(東華理工大學理學院，江西 南昌 330013)

為得到能使過渡曲線在端點處達到C(為任意自然數)連續(xù)的多項式勢函數的通用表達式，由連續(xù)條件反推的勢函數需具備的條件，根據條件個數確定勢函數的最低次數，將勢函數表示成Bernstein基函數的線性組合，組合系數待定。根據Bernstein基函數的端點信息確定關于待定系數的方程組，解之得出滿足連續(xù)性要求的勢函數?？紤]到由該勢函數構造的過渡曲線形狀由被過渡曲線唯一確定，又將勢函數次數增加一次，得出能使過渡曲線在端點處達到任意C連續(xù)并且形狀可調的多項式勢函數的通用表達式。借助Bernstein基函數的升階公式給出了兩種勢函數之間的關系，分析了勢函數的性質以及相應過渡曲線的特征，給出了勢函數以及過渡曲線的圖例，驗證了理論分析結果的正確性及所給方法的有效性。

過渡曲線；勢函數；Metaball技術；形狀調整

在計算機輔助幾何設計(computer aided geometric design，CAGD)中，曲線造型是重要的研究主題之一。在曲線造型設計中，過渡曲線的構造具有十分重要的意義。過渡曲線在計算機輔助設計、工業(yè)數控加工、道路設計、機器人設計等領域有著非常廣泛地應用。例如，凸輪輪廓曲線設計[1]、齒輪齒根過渡曲線設計[2]、旋葉式壓縮機的氣缸型線設計[3]、車道線形設計[4]、機器人運動指令設計[5]等，都要用到過渡曲線。

以過渡曲線為研究主題的文獻較為豐富。如：張宏鑫和王國瑾[6]研究了一般的Bézier曲線在形狀調配過程中，如何保持中間過渡曲線的幾何連續(xù)性；高暉等[7]提出了一種新的類三次Bézier曲線，并將其應用于兩圓弧之間半徑比例不受限制的型和型2連續(xù)過渡曲線的構造；劉華勇等[8]給出了一種代數型的Bézier-like曲線在形狀調配過程中，保持中間過渡曲線一階、二階幾何連續(xù)性的方法，以及一種三角型的Bézier-like曲線在形狀調配過程中，保持中間過渡曲線一階、二階參數連續(xù)性的方法[9]；李重等[10]研究了當2段圓弧處于相離情況時，如何構造型和型2連續(xù)過渡曲線；鄭志浩和汪國昭[11]使用三次PH曲線來實現端點曲率圓相包含關系的圓弧之間型2連續(xù)過渡曲線的構造；李凌豐等[12]給出了一種基于勢函數與Metaball技術構造過渡曲線的方法，采用Wyvill等定義的六次多項式勢函數構造光滑連接2條任意曲線的過渡曲線，其在2個端點處具有1連續(xù)性；李軍成等[13-14]利用文獻[15]中所給帶形狀參數的Bézier曲線模型構造了一種帶參數的多項式勢函數，并構造了在2個端點處2連續(xù)的過渡曲線；高暉和壽華好[16]構造了2類勢函數，第一類可使過渡曲線在端點處達到C(為任意自然數)連續(xù)的多項式勢函數，第二類可使過渡曲線在端點處達到1連續(xù)且具有形狀可調性的混合三角勢函數。文獻[6-11]對被連接曲線的種類有限制；文獻[12-14,16]可以實現任意種類曲線之間的過渡，文獻[12]以及基于文獻[16]中第一類勢函數構造的過渡曲線形狀由被連接曲線唯一確定；文獻[13-14]以及基于文獻[16]中第二類勢函數構造的過渡曲線可以在不改變被連接曲線的前提下調整形狀，然而這些形狀可調的過渡曲線在端點處都只能達到1或2連續(xù)。

文獻[17]采用了與文獻[13-14]相同的方法，從文獻[18]中所給帶形狀參數的曲線模型出發(fā)，構造了一類帶參數的有理勢函數，并將其應用于過渡曲線的構造。文獻[17]的方法對被連接曲線的種類沒有限制，也可通過勢函數中所帶的參數調整過渡曲線的形狀，并且過渡曲線在端點處可以達到C(為任意正整數)連續(xù)。雖然集眾多優(yōu)點于一身，但勢函數的有理形式使后續(xù)計算變得復雜。

基于對現有文獻優(yōu)缺點的分析，本文希望保留文獻[17]方法中的優(yōu)點，同時將其中勢函數的函數類型改變?yōu)橐子谟嬎愕亩囗検胶瘮?。文獻[16]中給出的第一類勢函數為多項式函數，由之定義的過渡曲線在2個端點處可以達到C連續(xù)。該文獻將勢函數表達成冪基的線性組合，并給出了組合系數應滿足的方程組。然而，對于任意的正整數，該方程組的求解較為困難，這使得文獻[16]未能給出可以使過渡曲線在端點處達到C連續(xù)的勢函數的通用表達式。鑒于此，本文對文獻[16]中給出的第一類勢函數作出改進，將其表達成Bernstein基函數的線性組合，這種表達方式的改寫使得組合系數的求解變得簡單。對于任意的自然數，首先得出可使過渡曲線在端點處C連續(xù)的最低次多項式勢函數的統一表達。考慮到該勢函數不含參數，可將其次數提升一次，預留出一個自由度，進而給出含一個參數，并且可以使過渡曲線在2個端點處達到任意指定連續(xù)階的勢函數的通用表達式。

1 預備知識

1.1 基于Metaball的過渡曲線

給定平面上2條相交于點的參數曲線()與()，稱其為被過渡曲線，其端點分別記作與，如圖1所示。希望構造一條過渡曲線()，將2個端點與光滑地連接起來，要求過渡曲線的內部形狀取決于2條被過渡曲線。

2條被過渡曲線的交點是不光滑的尖點，構造過渡曲線的目的是使曲線()與()之間連續(xù)平滑地過渡。假設過渡曲線的起止點分別為點和點，要求在靠近曲線()處過渡曲線的形狀盡可能與()相似，在靠近曲線()處過渡曲線的形狀盡可能與()相似。

圖1 基于Metaball的過渡曲線

為滿足上述要求，文獻[12]提出了構造基于Metaball的過渡曲線，即

1.2 Bernstein基函數的相關結論

以及規(guī)范性，即

2 勢函數的構造

2.1 勢函數需滿足的條件

將式(1)整理成

由Leibniz公式

可得

以及

則有

2.2 不含參數的勢函數

由2.1節(jié)的分析可知，為了使式(1)給出的過渡曲線在2個端點處與被過渡曲線之間達到C連續(xù)，必須要求勢函數()滿足式(4)和式(5)給出的所有條件。由于式(4)和式(5)所給條件共有2+2個，當勢函數為2+1次多項式時，其未知系數一共2+2個，未知數個數與方程(條件)個數一致，當方程組系數矩陣的行列式不為零時，恰好有唯一解。

冪基和Bernstein基函數可以互相轉化，因此本文將勢函數設為

結合式(2)，(4)，(6)可得

由此推出

結合式(3)，(5)，(6)可得

由此推出

將式(7)和式(8)所得系數代入式(6)可得

為得到勢函數表達式，文獻[16]需根據指定的連續(xù)階，確定關于表達式中未知系數方程組的系數矩陣，再計算其逆矩陣，進而得出勢函數，若改變連續(xù)階，上述過程需重新進行。將勢函數的表示從冪基轉化為Bernstein基以后，不管連續(xù)階為多少，均可直接寫出勢函數，此為基變換帶來的優(yōu)勢。雖然文獻[17]也可直接寫出任意階連續(xù)目標下的勢函數，但其勢函數為有理式，而本文勢函數為多項式，因此在分析過渡曲線性質涉及到積分、求導等運算的時候，本文計算難度小于文獻[17]。

2.3 含參數的勢函數

將式(1)中的勢函數()換成()，為了使對應的過渡曲線在2個端點處達到C連續(xù)，同樣要求()滿足式(4)和式(5)中所有條件，一共有2+2個。當勢函數為2+1次多項式時，一共有2+2個系數待定，此時恰好有唯一解(見2.2節(jié))，因此所得勢函數不含任何自由參數。

為使勢函數包含一個自由參數，設()為2+2次多項式，并將其用Bernstein基函數表示成

與2.2節(jié)分析方法相同，結合式(2)、(4)、(10)得

由此推出

結合式(3)，(5)，(10)得

由此推出

將式(11)和式(12)所得系數代入式(10)可得

即有

3 勢函數的性質

3.1 勢函數fk(t)的性質

證明.定理1中的(1)，(2)由第2節(jié)的分析易知，端點性和導數性成立。

定理1中的(3)由Bernstein基函數的規(guī)范性知

又由Bernstein基函數的對稱性知

綜合式(16)、(17)可得

定理1中的(4)由式(9)知

又由Bernstein基函數的對稱性知

故由Bernstein基函數的規(guī)范性知

又由式(9)可知

用式(20)減去式(19)得

有界性得證。

證畢。

注1.上述各個性質的獨立證明，表明中點性可由對稱性得到，有界性可由端點性和單調性得到。

即是對圖中直觀結果的理論解釋。

3.2 勢函數gk(t)的性質

(1) 退化性。當=0時，g()=f()。

(2) 端點性。g(0)=1，g(1)=0。

圖2 勢函數fk(t)的圖形

(4) 中點性。當=0時，有g(0.5)=0.5。

證明. 定理2中的(1)由式(9)和式(15)易知。

定理2中的(2)和(3) 由第2節(jié)的分析易知，端點性和導數性成立。

定理2中的(4)和(5) 由退化性以及勢函數f()的中點性和對稱性易知。

定理2中的(6)由于

因此

由式(18)所得結果，以及Bernstein基函數的求導公式，可得

記

()=2–4–1

則

再由Bernstein基函數的非負性和規(guī)范性，得

有界性得證。

證畢。

即是對圖中直觀結果的理論解釋。

圖3 勢函數g0(t)的圖形

圖4 勢函數g1(t)的圖形

圖5 勢函數g2(t)的圖形

圖6 勢函數g3(t)的圖形

圖7 勢函數g4(t)的圖形

圖8 參數的勢函數gk(t)的圖形

圖9 參數的勢函數gk(t)的圖形

圖10 參數的勢函數gk(t)的圖形

圖11 參數的勢函數gk(t)的圖形

4 過渡曲線

4.1 以fk(t)為勢函數的過渡曲線

任給2條被過渡曲線()與()，取式(1)中的()為式(9)所給f()，所得過渡曲線()具有如下特征：

(1) 由f()的端點性可知

表明過渡曲線以()的起點為起點，以()的終點為終點。

(5) 由f()的有界性可知，過渡曲線()為被過渡曲線()與()的凸組合。

圖12 以勢函數構造的過渡曲線(1)

圖13 以勢函數構造的過渡曲線(2)

4.2 以gk(t)為勢函數的過渡曲線

與4.1節(jié)分析方法相同，由勢函數g()的性質可知，任給2條被過渡曲線()與()，取式(1)中的()為式(15)所給g()，所得過渡曲線()具有如下特征：

(1) 過渡曲線以()的起點為起點，以()的終點為終點。

(2) 過渡曲線()在兩端點處C連續(xù)。

前面的討論和圖例都假定被過渡曲線相交于一點，即與文獻[16]一致。實際上，當被過渡曲線沒有交點時，關于過渡曲線的所有結論依然成立。

圖14 以取不同λ值的勢函數g0(t)構造的過渡曲線

圖15 以取不同λ值的勢函數g1(t)構造的過渡曲線

圖16 以取不同λ值的勢函數g2(t)構造的過渡曲線

圖17 以取不同λ值的勢函數g3(t)構造的過渡曲線

圖18 以取不同λ值的勢函數g4(t)構造的過渡曲線

圖19 過渡曲線造型實例

5 結束語

曲線是曲面的基礎，從曲線推廣到曲面，維數增加，計算量增大，關于連續(xù)性分析的難度增強，下一步的研究目標是克服難點，將過渡曲線的構造方法推廣至過渡曲面。

[1] 張惠茹. 基于AutoCAD凸輪輪廓曲線設計[J]. 軟件, 2013, 34(1): 87-88,148.

[2] 董新華, 馬勇, 柳強. 漸開線齒輪齒根過渡曲線最佳線型實現方法[J]. 機械傳動, 2013, 37(5): 47-49.

[3] 宋立權, 趙學科, 李智成, 等. 任意缸體旋葉式壓縮機的葉片型線設計理論研究及應用[J]. 機械工程學報, 2011, 47(15): 143-148.

[4] 蔡華輝, 王國瑾. 三次C-Bézier螺線構造及其在道路設計中的應用[J]. 浙江大學學報: 工學版, 2010, 44(1): 68-74.

[5] 禹鑫燚, 邢雙, 歐林林, 等. 工業(yè)機器人CP運動指令的設計與實現[J]. 浙江工業(yè)大學學報, 2017, 45(5): 568-573.

[6] 張宏鑫, 王國瑾. 保持幾何連續(xù)性的曲線形狀調配[J]. 高校應用數學學報: A輯, 2001, 16(2): 187-194.

[7] 高暉, 壽華好, 繆永偉, 等. 3個控制頂點的類三次Bézier螺線[J]. 中國圖象圖形學報, 2014, 19(11): 1677-1683.

[8] 劉華勇, 王煥寶, 李璐, 等. 幾何連續(xù)的Bézier-like曲線的形狀調配[J], 山東大學學報: 理學版, 2012, 47(3): 51-55.

[9] 劉華勇, 段小娟, 張大明, 等. 基于三角Bézier-like的過渡曲線構造[J], 浙江大學學報: 理學版, 2013, 40(1): 42-46.

[11] 鄭志浩, 汪國昭. 三次PH曲線曲率單調性及過渡曲線構造[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2014, 26(8): 1219-1224.

[12] 李凌豐, 譚建榮, 趙海霞. 基于Metaball的過渡曲線[J]. 中國機械工程, 2005, 16(6): 483-486.

[13] 李軍成, 宋來忠, 劉成志. 帶參數的多項式勢函數與構造基于Metaball的過渡曲線[J]. 中國圖象圖形學報, 2016, 21(7): 893-900.

[14] 李軍成, 宋來忠, 劉成志. 形狀調配中帶參數的過渡曲線與曲面構造[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2016, 28(12): 2088-2096.

[15] 嚴蘭蘭, 梁炯豐, 黃濤. 帶形狀參數的Bézier曲線[J]. 合肥工業(yè)大學學報: 自然科學版, 2009, 32(11): 1783-1788.

[16] 高暉, 壽華好. 勢函數的構造及基于Metaball的過渡曲線[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2015, 27(5): 900-906.

[17] 李軍成, 宋來忠. 利用帶形狀參數的有理勢函數構造基于Metaball的過渡曲線[J]. 浙江大學學報: 理學版, 2017, 44(3): 307-313.

[18] 嚴蘭蘭, 韓旭里. 形狀及光滑度可調的自動連續(xù)組合曲線曲面[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2014, 26(10): 1654-1662.

[19] FARIN G. Curves and surfaces for CAGD [M]. 5th ed. San Francisco: Morgan Kaufmann Publishers, 2002: 66.

Construction ofCContinuous Transition Curve Based on Metaball Technique

YAN Lan-lan, FAN Ji-qiu, HUANG Tao

(College of Science, East China University of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China)

In order to obtain the general expression of polynomial potential function which can make the corresponding transition curve reachC(is an arbitrary natural number) continuity at the endpoints, based on the required conditions of the potential function deduced from the continuity condition, the minimal times of the polynomial potential function is determined according to the number of the required conditions, and the potential function is expressed as a linear combination of the classical Bernstein basis functions which are yet to be determined. According to the function values and derivative values at the endpoints of the Bernstein basis functions, the required conditions of the potential function are converted into an equation set about the undetermined combination coefficients. Solving the equation, we obtain the general expression of the potential function which satisfies the expected continuity condition. Considering that the shape of the transition curve is uniquely determined by the curves needed to be transferred, another new polynomial potential function with one higher degree is constructed. By similar derivation process, the general expression of the new potential function which can make the transition curve reach arbitraryCcontinuity and with shape adjustability is obtained. With the help of the degree elevation formula of the classical Bernstein basis functions, the relationship between the two kinds of potential functions is deduced. The properties of the potential functions and the characteristics of the corresponding transition curves are also analyzed. Legends of the potential functions and the transition curves are put forward and they can verify the correctness of the theoretical analysis results and the validity of the presented method.

transition curve; potential function; Metaball technology; shape adjustment

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2019010059

A

2095-302X(2019)01-0059-11

2018-06-06；

2018-08-06

國家自然科學基金項目(11261003，11761008)；江西省自然科學基金項目(20161BAB211028)；江西省教育廳科技項目(GJJ160558)

嚴蘭蘭(1982-)，女，湖北浠水人，副教授，博士，碩士生導師。主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：yxh821011@aliyun.com

樊繼秋(1985-)，男，江蘇連云港人，講師，碩士。主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：jqfan@ecit.cn