陸煜杰， 陳國龍

(1.淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000;2.宿州學院,安徽 宿州 234000)

0 引 言

模型論是數(shù)理邏輯的主要分支學科之一,是研究形式語言及其解釋(模型)之間關系的理論。它是一個年輕的分支,近年來發(fā)展較快,并開始將模型論方法應用到多個數(shù)學結構中,從而得出各個不同的數(shù)學結構及其理論所特有的性質。如利用緊致性定理去解決高等代數(shù)中有限維線性空間問題和討論其在群環(huán)域中的相關應用,利用完全理論證明代數(shù)中的向量組擴充問題及在有限線性域中完全弱理論與模型弱理論等價問題。在此基礎上將緊致性定理和完全理論運用到格中去證明相關性質。第一部分給出格,緊致性定理和完全理論的相關定義及引理。第二部分運用緊致性定理證明兩個格在滿足一定條件下形成子格的關系和證明冪集格是完備格，運用完全理論證明偏序集是任意并的即為意交的(完備∧-半格)。

1 準備工作

定義1[3]設P是集,是P上的二元關系?？紤]以下性質:

(1)自反性:?a∈P,aa;

(2)反對稱性:?a,b∈P,ab,ba?a=b;

(3)傳遞性:?a,b,c∈P,ab,bc?ac。

定義2[2]設(L,)是偏序集,若L關于有限并與有限交都封閉,則稱(L,)偏序集為格。

定義3[3]設(L,)是格,S?L。若S對于L中的有限并與有限交都封閉,則稱S是L的子格。

定義4[4](緊致性定理)L中理論T有模型的充分必要條件是T的每一有限子集都有模型。

定義5[4]設T是L中的理論。如果對于T的任何模型μ,β都有μ≡β(初等等價),則稱T為完全的。

引理1[3]設L1,L2都是格,f:L1→L2是映射,若f保有限并和有限交,則稱f為格同態(tài)。單滿的格同態(tài)稱為格同構。

引理2[3]有任意并的偏序集稱為完備∨-半格。有任意交的偏序集稱為完備∧-半格。有任意并與任意交的偏序集稱為完備格。

2 主要結果的證明

定理1 假設L1,L2都是格。若f:L1→L2是映射,并且是序同構。證明f(L1)是L2的子格。

證明: 若f(L1)是L2的子格。由定義3可知,f(L1)?L2,f(L1)對于L2中的有限并與有限交都封閉。因為L1,L2都是格,f:L1→L2是映射,并且是序同構。所以f是單滿的格同態(tài)。從而f保有限并和有限交,并且f(L1)?L2。由模型論中的緊致性定理可知,f(L1)保有限并與有限交。則在L2中具有封閉性。這就證明了f(L1)對于L2中的有限并與有限交都封閉。所以f(L1)是L2的子格。

定理2 假設(P,)是偏序集,偏序集(P,)是任意并的,證明偏序集(P,)是任意交的。

證明: 因為(P,)是偏序集,所以(P,)滿足定義1中的性質。由引理2可知,任意交的偏序集為完備∧-半格,任意并的偏序集為完備∨-半格。從而假設S?P,a是S的一個下界。M是S的下界的集合,a=∨M。s∈S且s>a。所以s是S的上界。由定義5可知,a滿足S當且僅當s滿足S。a與s是初等等價的。從而a=∧M。這就證明了偏序集(P,)是任意交的。

定理3 假設L是集合S的有限冪集,證明冪集格是完備格。

證明:L是集合S的有限冪集。從而滿足對于A,B?L(S)滿足ab?A?B。由定義1可知(L,)是偏序集,并且有限并與有限交都是封閉的。即?a,b∈L(S),a∨b與a∧b都存在。所以偏序集(L,)是格。故有限冪集格是完備格。由模型論中的緊致性定理可知,冪集格是完備格。

3 結 語

通過將模型論方法中的緊致性定理和完全理論應用到格中,證明了滿足一定條件下的兩個格是子格關系,任意并的偏序集(完備∨-半格)即為任意交的偏序集(完備∧-半格)和冪集格是完備格。