王一全，王 敏，楊 聞，王興龍

（中國空間技術(shù)研究院 通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京 100094）

0 引言

隨著世界各國空間利用的廣度和深度逐漸拓展，對航天器的研制需求不斷提高。一方面，運載火箭整流罩包絡(luò)和發(fā)射重量的限制，很難滿足超大型衛(wèi)星的研制需要；另一方面，傳統(tǒng)衛(wèi)星從發(fā)射到壽命結(jié)束的一次性工作方式，已難適應(yīng)對航天器的靈活性和發(fā)射效益要求。在這種情況下，空間在軌組裝衛(wèi)星系統(tǒng)成為未來空間系統(tǒng)發(fā)展的一個重要方向。相對于傳統(tǒng)衛(wèi)星平臺而言，在軌組裝衛(wèi)星系統(tǒng)的主要特點是可重構(gòu)，包括整星構(gòu)型的重構(gòu)、功能的重構(gòu)以及業(yè)務(wù)重構(gòu)等?？臻g機械臂是航天器實現(xiàn)在軌重組技術(shù)的關(guān)鍵執(zhí)行部件，用于實現(xiàn)目標部件的捕捉、轉(zhuǎn)移和釋放等功能，同時也可用于空間碎片清理以及空間環(huán)境探測。但是在空間微重力環(huán)境下，空間機械臂在執(zhí)行任務(wù)時會對星本體產(chǎn)生耦合擾動，且受到空間環(huán)境中不確定因素的干擾。國內(nèi)外學(xué)者對空間機械臂模型等進行了大量研究[1-6]，但給出的具體動力學(xué)模型以及相關(guān)實驗結(jié)論較少。

本文以空間三自由度機械臂為研究對象，采用適用于空間微重力環(huán)境的拉格朗日方程，推導(dǎo)機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)方程，仿真得到不同關(guān)節(jié)力矩下各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的動力學(xué)響應(yīng)，分析并驗證動力學(xué)模型的準確性，旨在為空間在軌服務(wù)的機械臂系統(tǒng)設(shè)計提供參考。

1 空間機械臂動力學(xué)建模

1.1 動力學(xué)建?；炯僭O(shè)

建模過程中對于機械臂的處理過程需要用到以下基本假設(shè)：

1）空間機械臂的臂桿視為剛性桿件，不考慮臂桿的柔性變形和振動。

2）空間機械臂的關(guān)節(jié)視為鉸鏈連接，不考慮關(guān)節(jié)間隙損耗等影響，不研究關(guān)節(jié)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只計算關(guān)節(jié)的輸出轉(zhuǎn)角和驅(qū)動力矩；關(guān)節(jié)質(zhì)量作為相應(yīng)臂桿質(zhì)量的一部分進行計算，臂桿之間的關(guān)節(jié)處可視為機械臂末端的一個質(zhì)點。

3）整個機械臂系統(tǒng)（含基座）均視為處在空間微重力的環(huán)境中，故在動力學(xué)建模中不考慮重力梯度力矩和其他環(huán)境力矩的影響。

4）空間目標捕捉過程分為逼近階段、捕獲階段以及穩(wěn)定調(diào)整階段。由于在捕獲階段，機械臂系統(tǒng)會與目標物接觸碰撞，碰撞產(chǎn)生的影響不僅與目標物的參數(shù)特性有關(guān)，也會對整個機械臂產(chǎn)生一個反向作用力，使所研究問題無法討論，且該碰撞過程不在軌跡規(guī)劃任務(wù)需求中，故所討論情況只研究機械臂從初始位置平穩(wěn)到達目標位置的逼近階段，不考慮運動過程中的外部碰撞等干擾。

5）在捕捉過程中，假設(shè)機械臂系統(tǒng)初始的角度和角速度均為0，運動到目標點時刻的速度也為0，此假設(shè)可作為動力學(xué)模型的邊界條件。

1.2 研究構(gòu)型描述

由于不同構(gòu)型機械臂所建模型不同，本文采用類似人手的三自由度機械臂。如圖1所示，該機械臂為具有三自由度的鏈式結(jié)構(gòu)，該三自由度機械臂構(gòu)型3個關(guān)節(jié)分別用3個直流力矩電機驅(qū)動，電機軸與旋轉(zhuǎn)方向已在圖中標出。

圖1 三自由度機械臂構(gòu)型示意Fig.1 Schematic diagram of the 3-DOF manipulator

臂桿1：繞著豎直方向旋轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)角記為θ1，運動范圍為180°，桿長記為l1，質(zhì)心位置記為l1c，質(zhì)量記為m1，轉(zhuǎn)動慣量記為I1；

臂桿2：在紙面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)角記為θ2，運動范圍為180°，桿長記為l2，質(zhì)心位置記為l2c，質(zhì)量記為m2，轉(zhuǎn)動慣量記為I2；

臂桿3：在紙面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)角記為θ3，運動范圍為180°，桿長記為l3，質(zhì)心位置記為l3c，質(zhì)量記為m3，轉(zhuǎn)動慣量記為I3。

機械臂的主要技術(shù)參數(shù)和質(zhì)量參數(shù)分別參見表1和表2。

表1 機械臂主要技術(shù)參數(shù)Table 1 Main technical parameters of the manipulator

表2 機械臂質(zhì)量參數(shù)特性Table 2 Quality characteristics of the manipulator

1.3 拉格朗日方程推導(dǎo)

拉格朗日方程是基于能量平衡的方程，相對于牛頓-歐拉公式，適合于相互約束下的多連桿運動的分析，利用廣義坐標系以功和能來表達系統(tǒng)運動，不做功的力和內(nèi)部約束力將會自動消除，可以直接導(dǎo)出動力學(xué)完整形式的方程式。通常把拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)的動能T和位能P之差，即

T和P可以用任何方便的坐標系來表示。由于本文研究對象為空間剛性機械臂，處于空間微重力環(huán)境下，重力不對系統(tǒng)產(chǎn)生作用，故而可不考慮其系統(tǒng)的位能和勢能P，只考慮動能T，因此根據(jù)式(1)求拉格朗日函數(shù)

通過推導(dǎo)可得最后方程形式

其中Ti為第i桿的動能；q為廣義變量；I為轉(zhuǎn)動慣量。

1.4 機械臂的動力學(xué)建模

已知各個臂桿的質(zhì)心速度和質(zhì)心角速度，帶入到拉格朗日方程中，可得系統(tǒng)的動力學(xué)方程。計算機械臂系統(tǒng)動能為

整理后可得簡化結(jié)果為

臂桿1的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩為

臂桿2的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩為

臂桿3的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩為

將以上3個臂桿的驅(qū)動力矩方程整理在一起，即得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程。該方程可以表達系統(tǒng)各個關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩與各個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的角度、角速度和角加速度間的顯式函數(shù)關(guān)系。

2 動力學(xué)模型仿真

基于1.4節(jié)求出的動力學(xué)方程，可將其在MatLab軟件中進行動力學(xué)仿真，步驟為：1）設(shè)置仿真參數(shù)；2）設(shè)置仿真時間為5 s；3）設(shè)置仿真步長為0.1 s；4）設(shè)置各個初始值為0。

2.1 已知驅(qū)動力矩，求解角度和角速度

2.1.1 只存在臂桿1的驅(qū)動力矩的仿真結(jié)果

給定臂桿1的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，同時令臂桿2和臂桿3的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩為0，所得仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 只存在驅(qū)動力矩1條件下臂桿轉(zhuǎn)動角度和角速度隨時間的變化Fig.2 The changes of angle and angular velocity against the time in the mere presence of driving force 1

在該種情況下，只存在驅(qū)動力矩1，可以看出臂桿1的轉(zhuǎn)動角速度是均勻遞增的，此時臂桿2與臂桿3的轉(zhuǎn)動角度和角速度均不發(fā)生變化，因為臂桿1的轉(zhuǎn)角所在平面與臂桿2和臂桿3的轉(zhuǎn)角所在平面正交，所以轉(zhuǎn)角間不會發(fā)生動力學(xué)耦合，故而不會產(chǎn)生相互影響，與實際相符合。

2.1.2 只存在臂桿2的驅(qū)動力矩的仿真結(jié)果

給定臂桿2的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，同時令臂桿1和臂桿3的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩保持0，所得仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 只存在驅(qū)動力矩2條件下臂桿轉(zhuǎn)動角度和角速度隨時間的變化Fig.3 The changes of angle and angular velocity against the time in the mere presence of driving force 2

在該種情況下，只存在驅(qū)動力矩2，可以看出臂桿1的轉(zhuǎn)動角速度不變，而臂桿2與臂桿3的轉(zhuǎn)動角度和角速度均發(fā)生變化，而關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3的角度和角加速度互相影響；并且從圖3可以看出驅(qū)動力矩2對臂桿3的影響較大，因此臂桿2的運動很大程度上直接影響臂桿3的運動。仿真結(jié)果分析與實際相符合，這也體現(xiàn)了動力學(xué)模型的準確性。

2.1.3 只存在臂桿3的驅(qū)動力矩的仿真結(jié)果

給定臂桿3的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，同時令臂桿1和臂桿2的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩為0，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 只存在驅(qū)動力矩3條件下臂桿轉(zhuǎn)動角度和角速度隨時間的變化Fig.4 The changes of angle and angular velocity against the time in the mere presence of driving force 3

在該種情況下，只存在驅(qū)動力矩3，可以看出臂桿1的轉(zhuǎn)動角度和角速度同樣是不變的，此時臂桿2與臂桿3的轉(zhuǎn)動角度和轉(zhuǎn)角速度均發(fā)生變化，且轉(zhuǎn)角間存在相互影響。從圖4可以看出，驅(qū)動力矩3對臂桿3的影響較大，對臂桿2的運動也產(chǎn)生一定程度的影響，這體現(xiàn)出臂桿2與臂桿3間動力學(xué)耦合運動的結(jié)果。

2.2 已知運動軌跡反解力矩的仿真結(jié)果

1）首先給出目標點位置坐標，進行運動學(xué)反解，求出對應(yīng)于目標點處各個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的目標值。

2）由給定的初值條件和運動學(xué)反解計算得到的終止條件，求出各個關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角插值函數(shù)。

3）將所得的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角插值函數(shù)進行求導(dǎo)得到各個關(guān)節(jié)角速度的插值函數(shù)，再求導(dǎo)即可得到各個關(guān)節(jié)角加速度的插值函數(shù)。

4）將所得到的各個關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度代入動力學(xué)模型方程(6)～(8)中進行仿真計算。

5）給出仿真時間、步長及仿真環(huán)境變量，即可得到各個關(guān)節(jié)的力矩曲線變化圖，按照該曲線控制各個關(guān)節(jié)的力矩即可使機械臂按照所設(shè)計的路徑進行運動到達目標位置。

仿真結(jié)果如圖5所示，可以看出機械臂可按照預(yù)期約束條件平穩(wěn)到達指定目標點。

圖5 根據(jù)已知運動軌跡求解出的各關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩控制曲線Fig.5 The driving torque for each joint extrapolated from specific motion conditions

3 空間點到點路徑規(guī)劃

3.1 直線插補法

通常情況的笛卡兒點到點路徑的直線插補法原理是：在已知初始點和目標點的情況下，根據(jù)插補次數(shù)和取點個數(shù)進行等間距插補。如從起始點P0(x0,y0,z0)到終點Pf(xf,yf,zf)的直線路程中間進行n次插補，中間坐標變化量記為 (Δx,Δy,Δz)，則有：

當已知時間間隔和運行速度時，插補的次數(shù)為

式中：v為運行速度；Ts為時間間隔。因此直線上各個插補點的坐標可表示為

3.2 二分逐點逼近插補法

由于等間距插補所需的插補次數(shù)多，且終止位置附近的控制精度相對低。為了提高路徑運動效率，且使得末端在逼近位置附近能更加平穩(wěn)準確地捕捉目標，可采取前半段路徑快速到位，后半段路徑盡可能平穩(wěn)、小擾動的路徑規(guī)劃方法。故本文提出一種新的插補方法——二分逐點逼近法，用于空間環(huán)境下快速精確地實現(xiàn)任務(wù)的路徑軌跡策略，也可以更好地適應(yīng)空間機械臂的捕捉要求。

已知起始點P0(x0,y0,z0)和終點Pf(xf,yf,zf)，中間路徑點記為Pi(xi,yi,zi)，則有二分逐點逼近插補法的遞推表達式

式中 ξ為捕捉精度。

該方法運動效率高，且省略路徑前半段中不必要的插補點，在靠近目標位置的關(guān)鍵路徑點上更加細化精確，不僅能提高機械臂任務(wù)執(zhí)行的運動效率，且在末端捕捉目標時有更高的精度。該方法同樣適用于捕捉非靜態(tài)目標物，通過逐點二分法逐漸逼近目標點直至滿足捕捉精度要求，即可捕捉該目標物。

3.3 兩種方法的仿真對比

將上述2種方法在MatLab中進行仿真，設(shè)置初始點、終止點以及規(guī)定距離，給出捕捉精度并設(shè)置相同的仿真步長，可分別得到其路徑散點圖。從起始點(0, 0, 0)運動到目標點(10, 10, 10)，路徑插補點計數(shù)為100，仿真時間以到達精度或到達目標時刻為準，步長均為1 s，仿真結(jié)果如圖6、圖7所示。

圖6 等間距直線插補法的MatLab仿真Fig.6 MatLab simulation of equi-distance linear interpolation

圖7 二分逐點逼近直線插補法的MatLab仿真Fig.7 MatLab simulation of point by point approximation for linear interpolation

對比2種軌跡規(guī)劃方法的仿真圖，等間距直線插補法的插補精度為0.17，二分逐點逼近插補法的精度數(shù)量級遠遠小于等間距直線插補法。若以精度0.1為參考，二分逐點逼近法只需要8個插補計數(shù)點精度已可達到0.067，滿足距離目標點精度要求，相比于等間距直線插補法，在運動時間和插補個數(shù)上均有顯著優(yōu)化和縮減。因此不難看出：二分逐點逼近插補法具有運動效率高（即不需要很多插補點即可快速接近目標點），且越接近目標位置控制精度越高等優(yōu)點，適用于高精度捕捉路徑規(guī)劃設(shè)計。

4 結(jié)束語

本文給出了空間三自由度機械臂系統(tǒng)的拉格朗日動力學(xué)方程，利用MatLab軟件對其進行了仿真建模，并給出已知驅(qū)動力矩求各個關(guān)節(jié)運動曲線以及已知運動情況求解各個關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的仿真結(jié)果。此外，根據(jù)仿真模型研究了空間環(huán)境下在軌機械臂系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃問題，分別介紹了等間距直線插補法和二分逐點逼近直線插補法2種逼近策略，并對這2種軌跡規(guī)劃方法進行了仿真分析對比，結(jié)果驗證了本文所提出的二分逐點逼近直線插補法性能更優(yōu)。該方法是一種創(chuàng)新性的路徑插補方法，經(jīng)實踐驗證可用作一些空間任務(wù)中路徑逼近的插補策略，具有工程意義和價值。

以上針對空間三自由度機械臂系統(tǒng)所開展的軌跡規(guī)劃仿真分析工作，為后續(xù)機械臂路徑規(guī)劃研究工作提供了理論和模型基礎(chǔ)。