唐 威，冀小明

(1.重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶 401331；2.西南民族大學預科教育學院，四川 成都 610041)

近幾十年來，分數(shù)階非線性偏微分方程得到了越來越廣泛的關(guān)注，因為它們可以用來精確的描述許多科學研究領(lǐng)域的一些奇特的非線性現(xiàn)象.例如，許多自然現(xiàn)象具有記憶性，事物內(nèi)在的聯(lián)系和變化不僅依賴于時間的瞬時性，還依賴于以往的時間歷程，這些現(xiàn)象均可以用時間分數(shù)階微分模型來刻畫和描述;在反常擴散模型中，反常擴散現(xiàn)象可以用時間或者空間分數(shù)階微分模型來加以刻畫和描述;分數(shù)階水分子向土壤的入滲以及非飽和水在土壤中的運移模型可以用時間或空間分數(shù)階微分模型來刻畫和描述;許多黏彈性流體力學問題也可以用時間分數(shù)階微分模型來加以描述.在全面了解這些模型所賦予的動力學性質(zhì)、動力學行為和動力學現(xiàn)象以及事物內(nèi)在的聯(lián)系和變化規(guī)律等方面后，模型的精確解能更好地解釋和體現(xiàn)這些內(nèi)容，因此，尋找分數(shù)階非線性偏微分方程的精確解和近似解析解在許多科研領(lǐng)域得到了廣泛的應用，如在流體動力學、生物科學、工程科學中的控制問題、信號處理、大氣動力學、地表水力學、土壤物理、多孔介質(zhì)力學、河流水力學、地下水文學和水化學等.

近年來，求解分數(shù)階微分方程出現(xiàn)了許多有效的方法，這些方法包括Adomian分解法[1]、首次積分法[2]、同倫分析法[3]、李群理論方法[4]、不變子空間方法[5-6]、分式變分迭代法[7]、分數(shù)階復變換法[8]、分離變量法[9]等等.雖然用以上的方法可以得到一些分數(shù)階非線性偏微分方程的精確解和近似解析解，但是想要解決更為復雜的分數(shù)階非線性偏微分方程還是遠遠不夠的，為此，芮教授在文獻[10-11]中首先提出了用變量分離法與齊次平衡原理和積分分支法相結(jié)合的方法來精確求解時間分數(shù)階非線性偏微分方程的思想，有效的獲得了一系列時間分數(shù)階非線性偏微分方程的精確解.

經(jīng)典的整數(shù)階Camassa-Holm型方程是一類十分重要而又特別的新型淺水波方程.在這個方程中，能夠找到一種尖孤立子解，從而聲名鵲起，并且該模型具有廣泛的應用背景.眾所周知，淺水波方程在長波、小振幅條件下可得到經(jīng)典的KdV方程，實踐觀察、數(shù)值模擬和理論分析均證明了它屬于完全可積系統(tǒng)，具光滑的孤立波解，它的波形在相互作用中幾乎保持不變，能量也幾乎不損失，于是這類研究成果在信號傳輸中得到了廣泛的應用.1993年，美國阿爾莫斯國家實驗室的Camassa和Holm推導出了另一類淺水波方程的孤立波解.自從Camassa和Holm找到這種連續(xù)但不光滑的新型孤立子后，十多年來已引起了許多數(shù)學家和物理學家的關(guān)注和興趣，他們做了大量的理論研究工作，其中包括利用孤立子理論獲得該方程的各種單孤立子解和多孤立子解，利用可積性理論，證明了該方程具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)，滿足無窮多守恒律等.此外，Constantin等從偏微分方程定性研究的角度討論了該方程的整體弱解、光滑解的存在唯一性和它的漸近穩(wěn)定性質(zhì)等問題.可見Camassa-Holm型方程在數(shù)學和物理學領(lǐng)域都非常重要.為了更好地理解較為復雜的分數(shù)階Camassa-Holm型方程的非線性物理現(xiàn)象的機理，找到該分數(shù)階非線性偏微分方程的精確解就顯得極其重要了.因此許多學者對該方程進行了研究，例如，Guilong Gui學者研究了部分耗散的Camassa-Holm方程的全局平穩(wěn)和爆破解[12];Zhenggrong Liu研究了Camassa-Holm型方程的周期爆破解及其極限形式[13];Youwei Zhang等人使用變分迭代的方法求解出了分數(shù)階Camassa-Holm型方程的解析解[14].相對于整數(shù)階Camassa-Holm方程的精確解研究而言，關(guān)于分數(shù)階Camassa-Holm型方程的精確解的研究工作和文獻還比較少，這是由于求分數(shù)階微分方程的精確解往往比較困難，所以正如文獻[15-16]中所提及的那樣，目前大多數(shù)工作主要集中在解或者正解的存在性研究，與這類研究不同，像文獻[10-11，17]那樣，以下的工作將立足于分數(shù)階微分方程在精確解方面的探索與研究.

基于文獻[10-11]中關(guān)于變量分離法與齊次平衡原理相結(jié)合的思想下，來研究時間分數(shù)階Camassa-Holm型方程的各種精確解.首先來簡要地敘述一下這個時間分數(shù)階非線性模型求解精確解的算法.

1 變量分離法與齊次平衡原理相結(jié)合的算法簡介

對于一般的分數(shù)階非線性偏微分方程：

第一步：根據(jù)許多文獻求解出來的分數(shù)階非線性偏微分方程的精確解的形式來看，大多以Mittag-Leffler函數(shù)和冪函數(shù)為主，而且都是變量分離形式的解，因此不妨假設方程(1)有下列兩種形式的精確解：

其中v＝v(x)為待定函數(shù)，a0，a1，λ為待定系數(shù)，γ為待定常數(shù)，這些待定的函數(shù)和常數(shù)將在后面的計算步驟中加以確定，Eα，1(λtα)為單參數(shù)Mittag-leffier函數(shù)，它的分數(shù)階導數(shù)，即α階導數(shù)為(λtα) ＝ λEα，1(λtα).這兩個解的假設結(jié)構(gòu)式既適合Riemann-Liouville型微分算子下的偏微分方程的精確求解，又適合Caputo型微分算子下的偏微分方程的精確求解.下面以(2)式為例來說明第二步的操作.

第二步：將(2)代入到(1)中得到

根據(jù)齊次平衡原理，在方程(4)中令Eα( λtα)的各次項的系數(shù)和常數(shù)為零，得到

然后解上述非線性常微分方程組，就可以得到v＝v(x)和參數(shù)a0，a1，λ的值.

第三步：將第二步里面的非線性常微分方程組的解v＝v(x)和參數(shù)a0，a1，λ的值代入(2)式，就可以得到方程(1)的不同的精確解，最后用同樣的方法，可以得到方程(1)的各種形如(3)式的精確解.

2 時間分數(shù)階Camassa-Holm型方程的精確解及其動力學性質(zhì)

本節(jié)中將用第二節(jié)介紹的方法求解下列時間分數(shù)階Camassa-Holm型方程[12]

的精確解，其中u＝u(x，t)，t＞0，x∈R.將方程(5)改寫成

如果以上兩個方程中的分數(shù)階微分算子是Riemann-Liouville型微分算子，那么假設方程(6)有如下形式的解：

其中a0，a1為待定系數(shù)并且a1≠0，γ待定常數(shù)且γ＞-1，函數(shù)v＝v(x)是關(guān)于x的待定函數(shù).將(7)式代入分數(shù)階非線性偏微分方程(6)后即得：

在(8)中，讓t的所有冪指數(shù)相等，便得到下列普通方程

解方程(9)可得到

將(10)式代入(8)式，然后方程兩邊同時除以t-2α得到下列方程：

其中m的最高次可以通過齊次平衡法來確定，即平衡方程最低階線性項v與最高階非線性項vvxxx中關(guān)于x的最高次數(shù)，得到m ＝3.同樣，若平衡高階線性項vxx和最高階非線性項vvxxx中關(guān)于x的最高次數(shù)，得到m ＝1.

如將m ＝3代入(12)得到

其中b0，b1，b2，b3，b4是待定系數(shù).將(13)式代入(11)式得：

將m ＝1代入(12)式便得到

其中b0，b1為待定系數(shù).又將(15)式代入(11)式可得：

在方程(16)中，讓x的同次冪的所有系數(shù)都等于零得：

解方程(17)得到

將(18)式代入(15)式可以得到v(x)的具體形式

將(19)式和(10)式代入到(7)中，可以得到方程(6)的一種精確解：

其中a0，a1，b0是任意非零常數(shù)且且顯然，在解(20)式中，空間部分的函數(shù)是一次函數(shù)，本是一個無界的函數(shù)，但時間部分的函數(shù)是一個衰減的函數(shù)，即當t→+∞時，t-α→0，所以整個解具有隨時間增加而衰減的特性，同時也是隨時間漸進穩(wěn)定的.

通過進一步的探索與研究，發(fā)現(xiàn)方程(11)還具有以下形式的解：

顯然當m ＝1時，(21)和(22)變成

其中 c0， c1， p0， p1， q0， q1為待定系數(shù).將(23)式代入(11)式得：

其中

類似地把(24)代入(11)式得：

其中

在以上兩個方程(25)和(26)中，分別令eωx和雙曲函數(shù)的所有系數(shù)都等于零得：

和

分別求解以上兩個方程組，得到方程(25)和(26)恒成立的參數(shù)條件：

將(29)和(30)式分別代入(23)和(24)中便可以得到方程(11)的解：

再將(31)和(32)以及(10)式分別代入到(7)式中，得到方程(6)的兩種精確解：

其中a＝a1c1，a1，p1，q1為任意非零常數(shù).顯然，解(33)和(34)的空間函數(shù)部分也是無界的函數(shù)，但時間部分卻是收斂的函數(shù)，即當t→+∞時，t-α→0，所以以上兩種解都具有隨時間增加而衰減的特性，即當t→+∞時u→0.這表明，這兩個解都是隨時間漸進穩(wěn)定的.為了能夠直觀地展示上述解的動力行為和動力學現(xiàn)象，運用Maple軟件畫出了解(33)和(34)的三維坐標圖形，分別見下圖1-1、圖1-2，圖1-3、圖1-4.在圖1-1和圖1-2中，參數(shù)取值：a1＝2，c1＝1，β＝1，α ＝0.25.在圖1-3和圖1-4中，參數(shù)取值：，a＝1，p＝

111，q1＝ 2，α ＝ 0.25，β ＝ 1.

圖1 解(33)和解(34)的三維肖像圖Fig.1 The three-dimensional profile graphs of solution(33)and solution(34)

其中d0，d1，λ是待定常數(shù)且d0≠0，v(x)是關(guān)于x的待定函數(shù)，定義為單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù).將(35)式代入方程(6)得：

在方程(36)中，讓 Eα( λtα) 和的系數(shù)都等于零可得下列方程組

首先求解(37)式中第一個線性常微分方程，得到以下形式的通解：

其中有l(wèi)1，l2為任意常數(shù)，將(38)式代入方程組(37)的第二個非線性常微分方程中整理得：

解得d0＝d0，d1＝d1，于是將(38)式代入(35)式，便得到方程(6)的另一種形式的解：

顯然，當λ＞0時，解(41)整體是一個無界的解，即u→∞(t→+∞).而當λ＜0時，解(41)隨時間增加而衰減，即u→0 (t→+∞)，即解隨時間漸進穩(wěn)定.以便直觀的展示上述解的動力性質(zhì)，畫出了前面的解(20)以及解(41)的三維坐標圖形，分別見下圖2-1及圖2-2.在圖2-1中，解(20)坐標圖的各參數(shù)取值分別為a0＝2，a1＝ 1，b0＝2，α ＝0.25.在圖2-2中，解(41)坐標圖的參數(shù)取值為λ ＝1，d1＝0.5，l1＝2，l2＝1，β ＝1，α ＝0.75.

圖2 解(20)和解(41)的三維肖像圖Fig.2 The three-dimensional profile graphs of solution(20)and solution(41)

3 結(jié)論

利用變量分離法與齊次平衡原理相結(jié)合的方法，獲得了時間分數(shù)階Camassa-Holm型方程的各類精確解，這些精確解的空間變量部分包含指數(shù)函數(shù)和雙曲函數(shù)，這些函數(shù)都是無界的，但所有的解都具有隨時間增加而衰減的動力學行為，都具有隨時間增加而漸進穩(wěn)定的特性.實踐再次證明變量分離法與齊次平衡原理相結(jié)合的方法能夠有效的獲得了一系列時間分數(shù)階非線性偏微分方程的精確解.