萬(wàn)大林

(六盤(pán)水市廣播電視大學(xué) 貴州 六盤(pán)水 553000)

1 問(wèn)題的背景

動(dòng)量及動(dòng)量守恒是高中物理教材[1]的主要內(nèi)容，也是大學(xué)基礎(chǔ)物理教材[2]完整力學(xué)體系中不可或缺的重要組成部分．彈性碰撞是物理學(xué)研究中建立的一個(gè)極其重要的理想化模型，是大、中學(xué)物理教材中動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律綜合應(yīng)用的典型范例，也是過(guò)去每年高考中的重要考查知識(shí)點(diǎn)．

自2006年本次高中課程改革以來(lái)，動(dòng)量與動(dòng)量守恒編入高中物理教材選修3-5模塊，屬于高考選考模塊(特別說(shuō)明：教育部考試中心根據(jù)改革以來(lái)的實(shí)際情況，2016年10月9日，公布了2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容，重新將高中物理選修3-5模塊納入高考必考模塊)．這樣就使得動(dòng)量及動(dòng)量守恒的內(nèi)容在大、中學(xué)教學(xué)過(guò)程中被弱化，從而也導(dǎo)致彈性碰撞問(wèn)題的實(shí)際處理成為教與學(xué)的疑難點(diǎn)，突出體現(xiàn)在對(duì)一類(lèi)二元二次方程組的解存在較大障礙．

2 對(duì)稱(chēng)完美的方程組

若干年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐中，在教授彈性碰撞之前，我們總堅(jiān)持先上一節(jié)數(shù)學(xué)預(yù)備課，以先突破如以下形式的關(guān)于x和y的二元二次方程組的解，即

(1)

其中，a,b,p,q為常量.

因?yàn)?，這樣有助于很好地突破彈性碰撞教與學(xué)的疑難點(diǎn)．

這類(lèi)方程組有著完美的對(duì)稱(chēng)性，其解法也存在很大的技巧．根據(jù)方程組的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，原方程組可以變形為

(2)

當(dāng)p-x≠0，y-q≠0時(shí)，將式(2)中的第二方程式與第一方程式左右兩邊分別相除，可得

p+x=y+q

(3)

將式(3)代入式(2)中的第一方程式，易得

(4)

當(dāng)p-x=0時(shí)，必有y-q=0．這種情況下原方程組的解為

(5)

3 典型實(shí)例分析

有了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備之后，在教授彈性碰撞的過(guò)程中根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，通常給出一至二個(gè)典型實(shí)例分析．現(xiàn)舉一例予以說(shuō)明．

【題目】如圖1所示，質(zhì)量為m的彈性小球置于質(zhì)量為M的彈性大球之上，兩球恰好相互接觸而無(wú)擠壓，且兩球球心連線始終呈豎直狀態(tài)．讓它們由靜止開(kāi)始下落h后大球?qū)⑴c水平地面發(fā)生碰撞，然后兩球都將因反彈而上升．如果重力加速度為g，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空氣阻力忽略不計(jì)．那么，兩球質(zhì)量在滿足怎樣的約束條件下，兩球都能反彈達(dá)到各自的最大高度？它們反彈上升的最大高度各是多少？

圖1 題圖彈性碰撞

解析：根據(jù)兩球碰撞后都能向上運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明兩球的質(zhì)量關(guān)系滿足m

(6)

顯然，這一方程組與式(1)類(lèi)似．因此，用前述相似的求解方法，即易得出與式(4)相似的解

(7)

(8)

分析式(8)不難得出，兩球的質(zhì)量相差越大，兩球相互碰撞后的速度就都越大．當(dāng)兩球的質(zhì)量關(guān)系滿足m?M時(shí)，兩球相互碰撞后的速度都達(dá)到最大極限．即

(9)

因此，在這種情況下，兩球均能反彈上升到各自最大高度的極限值．分別為

(10)

顯然，這一模型中兩球反彈各自上升的最大高度都是有限值．特別值得一提的是，這一模型的原型源于2002年全國(guó)高考廣東卷第19題，由此也可略見(jiàn)彈性碰撞在人才選拔中的作用和地位．

4 結(jié)束語(yǔ)

中學(xué)教學(xué)是大學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，中學(xué)教學(xué)必須讓學(xué)生牢固掌握最基本的基礎(chǔ)知識(shí)，才能為大學(xué)教學(xué)做好鋪墊．否則，學(xué)生即使升入大學(xué)也很難真正接受大學(xué)教學(xué)提升知識(shí)結(jié)構(gòu)與能力．這方面，物理學(xué)科顯得更為突出．

物理學(xué)科的學(xué)習(xí)與研究，都必須要有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備．特別對(duì)于一線教師，這種數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備必須相對(duì)足夠．

彈性碰撞模型在宏觀現(xiàn)象的研究中有著重要的作用，而且在微觀粒子世界的研究中作用更為卓著．因此，在大、中學(xué)物理教學(xué)中都必須應(yīng)該引起足夠的重視．