徐建航，楊翊仁

Fluid30單元在同軸圓柱殼固有特性計算中的適用性分析

徐建航，楊翊仁

（西南交通大學(xué)，成都 610031）

分析Fluid30單元用于內(nèi)側(cè)含環(huán)形間隙流體同軸圓柱殼固有特性計算的適用性。針對內(nèi)側(cè)含環(huán)形間隙流體的同軸圓柱殼模型，分別基于“Fluid30單元”和“理論流體附加質(zhì)量”對殼體固有特性進行分析。通過變間隙寬度對比計算，探究殼體固有特性隨無量綱半徑比的變化規(guī)律，分析波動方程離散化對計算結(jié)果的影響，判定Fluid30單元的適用范圍。半徑比與固有頻率之間呈非線性關(guān)系，半徑比越小，殼體固有頻率越低，固有頻率隨半徑比變化率越大。波動方程離散化引起的誤差隨半徑比減小而增大，以相對誤差10%作為Fluid30單元適用性判別標準，(1,2)殼式頻率對應(yīng)的臨界半徑比為1.20，(1,3)殼式頻率對應(yīng)的臨界半徑比為1.03，其他殼式頻率對應(yīng)的臨界半徑比小于1.001。不同階頻率的Fluid30單元適用范圍不同，當半徑比小于臨界值時，相關(guān)頻率應(yīng)基于理論流體附加質(zhì)量迭代計算。

同軸圓柱殼；固有特性；Fluid30單元；適用性

吊籃組件是反應(yīng)堆的核心部件，吊籃與壓力容器、重反射層均構(gòu)成含環(huán)形間隙流體的同軸圓柱殼結(jié)構(gòu)。靜液環(huán)境吊籃組件固有特性分析是反應(yīng)堆安全評估中非常重要的組成部分。對于同軸圓柱殼結(jié)構(gòu)，環(huán)形間隙流體引起的附加質(zhì)量是影響結(jié)構(gòu)固有特性的重要因素，流體附加質(zhì)量的準確性會直接影響殼體固有特性的計算精度。

S S Chen[1]、R J Fritz[2]、M K Au-Yang[4]、T T Yeh[5]等學(xué)者針對同軸圓柱殼之間的環(huán)形間隙流體引起的附加質(zhì)量進行了理論研究，導(dǎo)出了理論流體附加質(zhì)量解析表達式。在滿足基本假設(shè)的前提下，理論流體附加質(zhì)量是準確可信的。當前文獻中，用于推導(dǎo)流體附加質(zhì)量的流體模型主要分為無粘不可壓縮流體、有粘不可壓縮流體和無粘可壓縮流體三類，推導(dǎo)過程中引入的殼體變形假設(shè)主要分為梁式變形假設(shè)和殼式變形假設(shè)。其中基于無粘可壓縮流體和有粘可壓縮流體得到的附加質(zhì)量解析表達式中含頻率項，需通過迭代計算求各階頻率值，計算過程較為繁瑣。Ho Chung等[8]采用實驗方法，針對外側(cè)含環(huán)形間隙流體的懸臂圓柱殼模型，探討了間隙寬度對殼體固有特性的影響。董宇[10]等針對外側(cè)含環(huán)形間隙流體的懸臂開口圓柱殼模型，分別基于Fluid30和殼體頻率解析解進行了變間隙寬度對比計算，給出了Fluid30單元在該模型中的適用范圍。由于間隙寬度變化區(qū)間較窄，未完整揭示殼體頻率隨間隙寬度變化規(guī)律。

當前實際工程中，靜液環(huán)境復(fù)雜結(jié)構(gòu)固有特性分析多基于商用有限元軟件完成[11-13]。在應(yīng)用最廣泛的ANSYS中，流體由Fluid30模擬，軟件自動構(gòu)造耦合方程組并求解，計算分析過程較為簡單。Fluid30單元對應(yīng)的流體模型為無粘可壓縮流體，控制方程為波動方程。相較于理論流體附加質(zhì)量，F(xiàn)luid30單元本質(zhì)上是采用離散波動方程計算流體附加質(zhì)量。波動方程的離散化必然會影響附加質(zhì)量的準確性，進而影響結(jié)構(gòu)固有特性的計算精度。當前文獻均未對波動方程離散化引起的誤差和Fluid30單元的適用性等問題進行深入分析。

文中針對內(nèi)側(cè)含環(huán)形間隙流體同軸圓柱殼模型，分別基于Fluid30單元和流體附加質(zhì)量進行了變間隙寬度對比計算。通過嚴格的理論流體附加質(zhì)量選取和模型設(shè)計，保證兩種方法計算值之間的誤差僅由波動方程的離散化引起。根據(jù)對比計算結(jié)果，一方面揭示殼體頻率隨間隙寬度的完整變化規(guī)律；另一方面，分析波動方程離散化對計算結(jié)果的影響，判斷Fluid30單元模擬環(huán)形間隙流體的適用范圍，為Fluid30單元的實際工程應(yīng)用提供參考依據(jù)。

1 理論流體附加質(zhì)量

為保證兩種方法計算值之間的差異僅由波動方程的離散化引起，對于理論流體附加質(zhì)量的選取有以下三點要求。

1）理論流體附加質(zhì)量應(yīng)基于無粘可壓縮流體導(dǎo)出?；诓煌黧w模型得到的流體附加質(zhì)量本身存在差異，特別是當間隙寬度較小時，附加質(zhì)量差異較大[14]。因Fluid30單元對應(yīng)的流體模型為無粘可壓縮流體，故要求理論流體附加質(zhì)量同樣基于無粘可壓縮流體導(dǎo)出。

2）理論流體附加質(zhì)量基本假設(shè)應(yīng)包含殼式變形假設(shè)。短粗圓柱殼模型的低階模態(tài)主要為殼式模態(tài)，基于殼體梁式變形假設(shè)導(dǎo)出的理論流體附加質(zhì)量用于殼式頻率計算必然會引起較大誤差。因此為保證殼式頻率計算值的準確性，理論流體附加質(zhì)量應(yīng)基于殼式變形假設(shè)導(dǎo)出。

3）流體附加質(zhì)量應(yīng)有實驗驗證。

基于上述三點要求，選擇M K Au-Yang[4]推導(dǎo)的理論流體附加質(zhì)量用于后續(xù)對比計算。M K Au-Yang將重反射層、吊籃和壓力容器簡化為有限長浸水同軸圓柱殼模型，分別對應(yīng)A殼、B殼和剛性壁面，如圖1所示?；炯僭O(shè)包括：流體域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ內(nèi)的流體性質(zhì)相同，均為無粘可壓縮流體；A殼和B殼均為彈性殼體，兩端均為簡支邊界。

圖1 堆內(nèi)構(gòu)件簡化模型

無粘可壓縮流體的控制方程為波動方程：

兩端簡支圓柱殼的殼式振型函數(shù)為：

式中：為環(huán)向坐標；為軸向坐標；為圓柱殼長度。

采用分離變量法、假設(shè)振型法和振型疊加法對波動方程進行推導(dǎo)，借助耦合邊界條件定解壓強，進而導(dǎo)出作用于A殼和B殼的流體附加質(zhì)量?；贛 K Au-Yang給出的結(jié)果，通過進一步推導(dǎo)得到A殼為剛體時， B殼內(nèi)側(cè)含環(huán)形間隙流體作用于B殼的流體附加質(zhì)量解析表達式為：

式中：為振型標識，=(,)。

基于Bessel函數(shù)遞推公式求修正Bessel函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值：

式（1）—式（5）中各參數(shù)含義見表1。

表1 參數(shù)含義

圖2 迭代計算流程

2 計算模型和計算工況

2.1 計算模型

吊籃由上部法蘭、中部筒體、出水口管嘴和下部底板組成。吊籃筒體上端由法蘭約束，下端由底板約束，分別與重反射層、壓力容器構(gòu)成同軸圓柱殼結(jié)構(gòu)?；诖耍闹性O(shè)計了內(nèi)側(cè)含環(huán)形間隙流體兩端簡支圓柱殼模型用于對比計算。圓柱殼模型對應(yīng)于吊籃筒體，殼體兩端均簡化為簡支邊界，如圖3所示?；诳刂谱兞康脑瓌t，同軸圓柱殼內(nèi)殼體簡化為剛性壁面，以保證計算值的有效對比性。內(nèi)側(cè)含間隙流體圓柱殼計算模型和有限元模型如圖4和圖5所示。

圖3 圓柱殼模型

2.2 計算工況

針對該模型設(shè)計了12個計算工況，其中1為變量，殼體半徑2、3為常值，無量綱半徑比2/1由1.001增大到4.696，見表2。殼體采用Solsh190單元劃分映射網(wǎng)格，所有計算工況殼體有限元模型均相同?；诶碚摿黧w附加質(zhì)量計算殼體固有特性時，附加質(zhì)量采用式（3）計算，式中的、1對應(yīng)于圖4中的1、2。流體附加質(zhì)量以修正殼體密度的方式附加到殼體上，按照圖2所示流程進行迭代計算。

圖4 計算模型

圖5 有限元模型

表2 計算工況

2.3 模型參數(shù)

殼體尺寸：內(nèi)半徑2=349.4 mm，外半徑3=361.4 mm，高度=1545 mm。結(jié)構(gòu)材料屬性：=1.97×1011Pa，=0.3，s=7850 kg/m3。流體材料屬性：密度為w=1000 kg/m3，=1400 m/s。

3 對比計算

首先，基于Fluid30單元進行變間隙寬度對比計算，采用Unsymmetric算法求解耦合方程組，提取前6階殼式頻率。在此基礎(chǔ)上，對流體域進行變網(wǎng)格密度對比計算，網(wǎng)格密度增加1倍，固有頻率相對改變量小于0.5%時，認為當前計算值準確。

其次，基于理論流體附加質(zhì)量進行變間隙寬度對比計算，以基于Fluid30單元的計算值作為迭代初值，根據(jù)附加質(zhì)量計算值修正殼體密度，并采用Block Lanczos算法求解耦合方程組，同樣提取前6階殼式頻率。前6階頻率對應(yīng)的(,)值分別為：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,2)、(2,3)、(2,4)。

4 結(jié)果分析

文中分別基于Fluid30單元和理論流體附加質(zhì)量進行對比計算，兩種方法采用的殼體模型和流體模型完全相同，流體控制方程均為波動方程。其中，波動方程離散化是導(dǎo)致兩種方法計算結(jié)果存在差異的根本原因。

為探究殼體固有特性隨間隙寬度的變化規(guī)律，以無量綱內(nèi)外殼半徑比為自變量，繪制殼體固有頻率隨半徑比變化曲線，如圖6所示。其中圖6a為完整變化曲線，圖6b為2/1∈(1.0,1.5)的局部放大圖。為分析波動方程離散化對計算結(jié)果的影響，判斷Fluid30單元適用范圍，以基于理論流體附加質(zhì)量的計算值為基準，繪制相對誤差隨半徑比變化曲線，如圖7所示。相對誤差計算公式為：

同時，以相對誤差10%作為Fluid30單元適用性判別標準，相應(yīng)的半徑比稱為“臨界半徑比”。當半徑比大于臨界值時，波動方程離散化引起的誤差較小，F(xiàn)luid30適用于同軸圓柱殼固有特性計算；當半徑比小于臨界值時，波動方程離散化引起的誤差過大，應(yīng)基于理論流體附加質(zhì)量計算殼體固有特性。

由圖6可知，半徑比越小，殼體固有頻率越低，流體附加質(zhì)量越大，兩種方法得到的計算結(jié)果均滿足此規(guī)律；2/1∈(1.0,1.5)時，半徑比的微小變化對殼體固有頻率有顯著影響，半徑比與固有頻率之間呈非線性關(guān)系，半徑比越大，固有頻率增長率越??；2/1∈(1.5,2.5)時，半徑比對殼體固有頻率的影響不明顯，固有頻率隨半徑比增加而緩慢增大；2/1>2.5時，各階頻率近似為常值，半徑比變化對殼體頻率幾乎無影響。

由圖7可知，當2/1>2.5時，由波動方程離散化引起的相對誤差為常值，且均小于10%；當2/1∈(1.5,2.5)，相對誤差隨半徑比減小而緩慢增大；當2/1∈(1.0,1.5)時，波動方程離散化引起的誤差隨半徑比減小而迅速增大，并導(dǎo)致(1,2)和(1,3)殼式頻率相對誤差超過10%。以相對誤差10%作為適用性判別標準，各階頻率對應(yīng)的臨界半徑比不同，(1,2)、(1.3)殼式頻率對應(yīng)的臨界半徑比分別為1.2、1.03，其他四階頻率對應(yīng)的臨界半徑比小于1.001。

圖6 內(nèi)側(cè)含環(huán)形間隙流體圓柱殼計算結(jié)果

圖7 相對誤差隨半徑比變化曲線

因此，對于內(nèi)側(cè)含環(huán)形間隙流體兩端簡支圓柱殼，為保證基于Fluid30單元的固有頻率計算值的準確性：2/1∈(1.20,∞)時，F(xiàn)luid30單元適用于計算前六階頻率；2/1∈(1.03,1.20)時，(1,2)殼式頻率需基于理論流體附加質(zhì)量計算，F(xiàn)luid30單元適用于計算其他五階殼式頻率；2/1∈(1.001,1.03)時，(1,2)和(1,3)殼式頻率需基于理論流體附加質(zhì)量計算，F(xiàn)luid30單元適用于計算其他四階頻率。

5 結(jié)論

1）無量綱半徑比越小，殼體固有頻率越低，且半徑比與固有頻率之間為非線性關(guān)系。

2）半徑比略大于1時，間隙寬度的微小變化對殼體固有頻率有顯著影響，此時間隙寬度調(diào)節(jié)是改變殼體固有頻率的有效手段。

3）基于離散波動方程導(dǎo)出的流體附加質(zhì)量偏小，進而導(dǎo)致基于Fluid30單元的殼體固有頻率計算值偏高。

4）不同階頻率對應(yīng)的臨界半徑比不同，當實際半徑比小于臨界值時，相關(guān)頻率值應(yīng)基于理論流體附加質(zhì)量計算。

5）基于ANSYS進行靜液環(huán)境同軸圓柱殼振動分析時，若計算值相對誤差不滿足技術(shù)要求，一方面需探討結(jié)構(gòu)簡化是否合理，另一方面應(yīng)分析Fluid30單元是否適用于該模型固有特性計算。

[1] CHEN S S. Flow-induced Vibration of Circular Cylinderical Structures[M]. Washington: Hemisphere Pub Corp, 1978.

[2] FRITZ R J. The Effect of Liquids on the Dynamic Motions of Immersed Solids[J]. Journal of Engineering for Industry, 1972, 94(1): 167.

[3] 居榮初, 曾心傳. 彈性結(jié)構(gòu)與液體的耦聯(lián)振動理論[M]. 北京: 地震出版社, 1983.

[4] AUYANG M K. Free Vibration of Fluid-Coupled Coaxial Cylindrical Shells of Different Lengths[J]. Journal of Applied Mechanics, 1976, 43(3): 480-484.

[5] YEH T T, CHEN S S. Dynamics of a Cylindrical Shell System Coupled by Viscous Fluid[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1976, 62(2): 262-270.

[6] 席志德, 陳炳德, 李朋洲, 等. 輸送流體的同心圓筒結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性研究[J]. 工程力學(xué), 2008, 25(11): 218-222.

[7] CHU M L, BROWN S. Experiments on the Dynamic Behavior of Fluid-coupled Concentric Cylinders[J]. Experimental Mechanics, 1981, 21(4): 129-137.

[8] CHUNG H, TURULA P, MULCAHY T M, et al. Analysis of a Cylindrical Shell Vibrating in a Cylindrical Fluid Region[J]. Nuclear Engineering & Design, 1981, 63(1): 109-120.

[9] HORáCEK J, TRNKA J, VESELY J, et al. Vibration Analysis of Cylindrical Shells in Contact with an Annular Fluid Region[J]. Engineering Structures, 1995, 17(10): 714-724.

[10] 董宇, 楊翊仁, 魯麗. 同心圓柱殼之間含靜水的流固耦合振動分析[J]. 核動力工程, 2015(5): 80-82.

[11] 魯麗, 楊翊仁, 金建明. 反應(yīng)堆吊籃在空氣和靜水中的振動特性分析[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報, 2004, 39(1): 82-85.

[12] 譚添才, 高李霞, 喻丹萍,等. 反應(yīng)堆吊籃振動特性邊界條件研究[J]. 核動力工程, 2015(5): 57-60.

[13] 臧峰剛. 反應(yīng)堆吊籃在空氣和水中的模態(tài)分析[C]// 全國反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)力學(xué)會議. 成都: 中國力學(xué)學(xué)會, 2000.

[14] 馬建中, 楊翊仁, 張繼業(yè). 靜水中反應(yīng)堆吊籃結(jié)構(gòu)的振動特性研究[J]. 振動工程學(xué)報, 2000, 13(3): 468-473.

Applicability Analysis of Fluid30 Element for Calculation of Dynamic Characteristics of Coaxial Cylindrical Shell

XU Jian-hang, YANG Yi-ren

(Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

To analyze the applicability of the Fluid30 element for calculation of dynamic characteristics of a coaxial cylindrical shell model with inner annular gap fluid.For the coaxial cylindrical shell model with inner annular gap fluid, the vibration characteristics of the shell were analyzed based on the "Fluid30 element" and the "theoretical fluid additional mass" respectively. Contrast calculations of variable gap width were carried out toexplorethe variation of the vibration characteristics of shell with no-dimensional radius ratio, analyze the influence of the discretization of Wave-Equation on the calculation results, and determine the suitable range of Fluid30 element.There was a nonlinear relationship between the radius ratio and the natural frequency; the smaller the radius ratio, the lower the natural frequency of the shell and the greater the change rate of the natural frequency with the radius ratio; the error caused by the discretization of the wave-equation increased with the decrease of the radius ratio; the relative error 10% was used as the criterion of fluid30 element applicability, the corresponding critical radius ratio of the (1,2) shell frequency was 1.2, the critical value of (1,3) shell frequency was 1.03 and the critical value of other shell frequency was less than 1.001.The application range of Fluid30 element for different order frequencies is different. When the radius ratio is less than the critical value, the correlation frequency should be calculated by iterative method based on the theoretical fluid additional mass.

coaxial cylindrical shell; vibration characteristics; Fluid30 element; applicability

10.7643/ issn.1672-9242.2019.02.021

O357

A

1672-9242(2019)02-0101-06

2018-11-23；

2018-12-13

國家自然科學(xué)基金（11772273）；

徐建航（1992—），男，山東日照人，博士研究生，主要研究方向為流固耦合動力學(xué)。

楊翊仁（1959—），男，江西東鄉(xiāng)人，博士，教授，主要研究方向為流固耦合動力學(xué)。