謝騰，劉建湖，王海坤

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有限水域棒束附連水質(zhì)量計算方法

謝騰，劉建湖，王海坤

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

給棒束型核反應(yīng)堆等類似結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能設(shè)計提供一定理論依據(jù)。首先通過勢流理論計算得出單棒速度勢，再利用泰勒展開和坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)方法計算得出棒束在流體中產(chǎn)生的總勢，繼而導(dǎo)出棒束的附連水質(zhì)量。從公式中獲得了棒束附連水質(zhì)量與棒距邊界距離、棒間距、棒數(shù)及棒各階模態(tài)之間的相互關(guān)系。該公式經(jīng)有限元仿真計算和試驗驗證是合理的，可作為棒束型反應(yīng)堆等類似結(jié)構(gòu)抗沖擊設(shè)計的依據(jù)。

棒束；有限水域；流致振動；附連水質(zhì)量

近年來，棒束型核反應(yīng)堆的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛。在某些工況下，核反應(yīng)堆會受到?jīng)_擊載荷，所以核反應(yīng)堆的抗沖擊性能需滿足一定要求，核燃料棒是核反應(yīng)堆中的關(guān)鍵部件。同時由于其細長的結(jié)構(gòu)特點也最易被破壞，故研究核燃料棒的抗沖擊性能是核心。

核反應(yīng)堆模型可簡化為一個圓柱型外殼，內(nèi)部平行排列許多圓柱棒束，外殼與棒束之間充滿流體。對于以該模型為代表的有限水域棒束附連水質(zhì)量的計算研究始于20世紀(jì)70年代，S S Chen研究了有限水域靜止流體中棒束流致振動模型[1-2]。蔣莉等人在S S Chen的研究基礎(chǔ)上附加了流體軸向流動條件[3]，但是上述研究都只局限于棒為剛體[4]。在沖擊條件下，棒束的各階模態(tài)相互之間的影響不可忽略。文中在上述工作的基礎(chǔ)上，深入探究了棒束各階模態(tài)之間相互影響的規(guī)律，最后推導(dǎo)得出附連水質(zhì)量與棒距邊界距離、棒間距、棒數(shù)及棒各階模態(tài)之間的相互關(guān)系的公式。利用有限元計算和試驗驗證了該公式的正確性，為以后類似結(jié)構(gòu)的設(shè)計提供理論依據(jù)。

1 理論計算

圓柱型外殼內(nèi)平行排列著許多圓柱棒束，外殼與棒束之間充滿靜止、無粘無旋、不可壓縮的流體，如圖1所示，軸垂直于-平面。

圖1 簡化模型

因為核反應(yīng)堆中核燃料棒若出現(xiàn)大變形，則整個結(jié)構(gòu)將會遭到毀滅性損壞，所以這里只考慮小變形問題。記圓柱外殼編號為0，內(nèi)部有根圓柱棒，編號依次為1—，外圓柱殼產(chǎn)生的速度勢可表示為[5-6]：

內(nèi)部圓柱棒產(chǎn)生的速度勢可以表示為：

由二維勢流理論可知，總勢滿足拉普拉斯方程[7]：

由于總勢在外殼和各個圓柱棒邊界上的邊界條件不同，故需將總勢通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化到各個圓柱棒的局部坐標(biāo)上表示，再代入邊界條件求解待定常數(shù)。

由泰勒展開將圓柱棒的階模態(tài)振動產(chǎn)生的速度勢轉(zhuǎn)化到外殼對應(yīng)局部坐標(biāo)下可得：

或

若圓柱棒與外殼同心，則坐標(biāo)變換后可得：

由泰勒展開將外殼產(chǎn)生的速度勢轉(zhuǎn)化到圓柱棒對應(yīng)坐標(biāo)下可得：

若圓柱棒與外殼同心，則坐標(biāo)變換后可得：

由泰勒展開將圓柱棒產(chǎn)生的速度勢轉(zhuǎn)化到圓柱棒對應(yīng)坐標(biāo)下可得：

假設(shè)編號為1的棒與外殼同軸，編號為2—的棒在外殼內(nèi)部任意不同軸位置，則流體中在棒局部坐標(biāo)下表示的總勢為：

棒在向和向的位移分別表示為u、v[8]：

流體在各個棒徑向流固交界面處滿足[9]：

同時由于流固交界面處流體滿足無滲透邊界條件，故：

代入式（10）、（11）后可得：

設(shè)：

當(dāng)=0時，將式（1）、（2）、（5）、（6）代入式（10）、（13）、（14）中可得：

當(dāng)=1時，將等式（1）、（2）、（8）、（9）代入等式（10）、（13）、（14）中得：

式中：=0,1,…,；=1,2,…,∞；=0,1,…,∞；=0,1,…,∞。

當(dāng)≥2時，將等式（1）、（2）、（7）、（9）代入等式（10）、（13）、（14）中得：

當(dāng)沒有與外殼同心的圓柱棒時，則去除方程（22）—（25），求解該系列方程組時，因為考慮到模態(tài)越高，影響越小，故、取前幾階。這里因為方程隨著的增大會很快達到收斂，故速度勢取有限項。流體作用在外殼和圓柱棒上的力在和方向上可分別表示為：

當(dāng)=0時：

當(dāng)=1時：

當(dāng)≥2時：

2 有限元仿真

文中使用workbench中的modal模塊進行有限元計算仿真[10-11]，計算得出直徑為0.02 m的兩端簡支棒在半徑為0.5 m的圓柱型水域中作自由振動時的固有頻率。單根棒距壁面不同距離的情況如圖2所示，固有頻率隨著棒距邊界距離的增大而增大，最終趨于穩(wěn)定，等于單根棒在無限流域中自由振動頻率，即附連水質(zhì)量隨棒距邊界距離增大而減小。兩根棒之間不同距離的情況如圖3—圖6所示，兩棒振動相位和振動方向相反，導(dǎo)致頻率大小變化相反，且隨著棒距增加變化減小趨于穩(wěn)定。棒數(shù)不同的情況如圖7所示，棒數(shù)增加，固有頻率減小，即附連水質(zhì)量增大。通過有限元計算可驗證理論公式的合理性和正確性。

圖2 棒距邊界距離與固有頻率關(guān)系

圖3 x向同相位振動

圖4 x向反相位振動

圖5 y向同相位振動

圖6 y向反相位振動

圖7 棒數(shù)與固有頻率關(guān)系

圖8 水平?jīng)_擊試驗?zāi)Ｐ图皵?shù)據(jù)測量方法

3 水平?jīng)_擊試驗

3.1 試驗?zāi)Ｐ图胺椒?/h3>

水平?jīng)_擊試驗?zāi)Ｐ图皽y量方法如圖8所示。水箱尺寸為500 mm×320 mm×850 mm，水箱有足夠壁厚，使其固有頻率遠大于棒的一、二、三階。試驗棒直徑D為20 mm，長為850 mm，插入水箱后，通過上下兩塊金屬板實現(xiàn)兩端簡支約束，約束中間有效長度為750 mm，頂板孔編號如圖9所示，其中1—11號和19號孔用來控制試驗棒與邊界的距離，12—23號孔用來控制試驗棒間距和試驗棒數(shù)。沖擊激勵通過擺錘施加，沖擊方向為y向，如圖10所示，擺錘高度為100 mm，砧臺行程15 mm。水平?jīng)_擊試驗包含了試驗棒距邊界的距離、棒間距和棒數(shù)對附連水質(zhì)量系數(shù)影響三種情況。

3.2 試驗結(jié)果

試驗得到各種工況下試驗棒的加速度，經(jīng)過處理后得到各種工況下試驗棒的一階固有頻率。試驗棒在空氣中受沖擊時，測得其一階頻率為70.89 Hz，最終測得試驗棒在水中一階固有頻率與棒數(shù)的關(guān)系見表1。固有頻率與棒距離邊界距離的關(guān)系見表2。固有頻率與棒間距的關(guān)系見表3。將固有頻率與棒距離邊界距離的關(guān)系轉(zhuǎn)化為附連水質(zhì)量系數(shù)后如圖11所示。將固有頻率與棒間距的關(guān)系轉(zhuǎn)化為附連水質(zhì)量系數(shù)后如圖12所示。

圖9 頂板孔編號

圖10 沖擊激勵方向

表1 棒數(shù)的影響

表2 固有頻率與棒距離邊界距離的關(guān)系

表3 固有頻率與棒間距的關(guān)系

3.3 討論

從圖11可知，沖擊情況下，附連水質(zhì)量系數(shù)隨著棒距離邊界距離的增加而減小，直至距離大于3倍棒直徑時趨于單棒在無限水域中的附連水質(zhì)量系數(shù)。從圖12可得，當(dāng)兩棒排列與沖擊方向一致時（即兩棒作向同向振動），附連水質(zhì)量系數(shù)隨著棒間距的增大而增大，直至棒間距大于3倍棒直徑時趨于1。當(dāng)兩棒排列與沖擊方向垂直時（即兩棒作向同向振動），附連水質(zhì)量系數(shù)隨著棒間距的增大而減小，直至棒間距大于3倍棒直徑時趨于1。

圖11 一階模態(tài)附連水質(zhì)量系數(shù)隨棒距離邊界距離的關(guān)系

圖12 一階模態(tài)附連水質(zhì)量系數(shù)隨棒間距的關(guān)系

4 結(jié)論

通過勢流理論、泰勒展開和坐標(biāo)變換等數(shù)學(xué)方法計算得出有限水域棒束附連水質(zhì)量理論公式。從公式可以得出，附連水質(zhì)量隨棒距邊界距離增大而減小、隨棒距的增大而減小、隨棒數(shù)增加而增大。兩棒同階同相位振動與反相位振動的相互影響附連水質(zhì)量系數(shù)異號，且可知若兩棒沿向排列，則向同相位振動減小附連水質(zhì)量，向同相位振動增加附連水質(zhì)量。通過有限元軟件計算驗證了理論公式的正確性與合理性，最后通過一組水平?jīng)_擊試驗初步驗證了棒距、棒間距對附連水質(zhì)量的影響規(guī)律。因此，此公式可為相關(guān)模型設(shè)計提供理論參考依據(jù)。后續(xù)工作將考慮流體流動對附連水質(zhì)量的影響，并且附加阻尼的問題也需進一步探討。

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Methods for Evaluating Added Masses of a Group of Circular Cylinders in Confined Fluid

XIE Teng, LIU Jian-hu, WANG Hai-kun

(China Ship Scientific Research Center, Wuxi 214028, China)

To provide certain theoretical basis for shock resistance design of circular cylinders and similar structures.Firstly, the velocity potential of a stick was calculated by the potential flow theory. Secondly, the total velocity potential of sticks was calculated by Taylor expansion and coordinate transformation and to finally get the added mass.The relationship between the added mass and the distance between the cylinder and the boundary, the distance between the cylinders, the number of cylinders and different modes was obtained from the formula.This formula is verified by finite element simulation calculation and experiment. It can be used in the design of circular cylinders and similar shock resistance structures

circular cylinders; confined fluid; flow-induced vibration; added masses

10.7643/ issn.1672-9242.2019.02.022

TL334

A

1672-9242(2019)02-0107-08

2018-11-22；

2018-12-16

謝騰（1991—），男，碩士研究生，主要研究方向為艦船結(jié)構(gòu)設(shè)計。

劉建湖（1963—），男，研究員，主要研究方向為艦船抗爆抗沖擊。