何理,陳天寧,陳琛

(西安交通大學(xué)機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室,710049,西安)

正交異性薄板作為常見工程結(jié)構(gòu),其動力學(xué)特性影響著系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、性能及壽命。然而,由于正交異性,薄板往往存在振動能量分布不均的問題。為了滿足系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的設(shè)計要求,對正交異性薄板振動能量傳遞特性進行準確的預(yù)測分析具有十分重要的工程意義。

Nefske等在1989年預(yù)測簡支梁高頻振動特性時首先提出了能量有限元法(EFEM)[1],這是一種將功率流理論與傳統(tǒng)有限元法(FEM)結(jié)合的混合建模分析方法,將結(jié)構(gòu)中每一微元視作子系統(tǒng),通過能量守恒定律建立結(jié)構(gòu)能量密度控制方程。EFEM以能量密度為控制方程變量,避免了傳統(tǒng)有限元法在分析高頻振動時由網(wǎng)格密集帶來的巨大計算量,因為EFEM基于波動理論,不用考慮結(jié)構(gòu)模態(tài)密度,從而解決了統(tǒng)計能量法在中低頻不適用的問題。EFEM在結(jié)構(gòu)動力學(xué)高頻振動分析方面獨具優(yōu)勢。1992年,Bouthier等利用空間平均的方式將一維梁結(jié)構(gòu)能量密度控制方程擴展到二維薄板結(jié)構(gòu)[2-3];孫麗萍等通過能量反射與透射系數(shù)構(gòu)建起結(jié)構(gòu)耦合的橋梁,用于船舶高頻振動分析[4]。上述研究都是針對各向同性均勻的理想薄板,而大多數(shù)實際工程的薄板結(jié)構(gòu)具有正交異性:在正交垂直方向有不同的彎曲剛度,以適應(yīng)在垂直方向不同的結(jié)構(gòu)強度要求。直到2003年,Park等在Bouthier基礎(chǔ)上推導(dǎo)出正交異性薄板的能量密度控制方程[5],并通過解析法進行了數(shù)值驗證,但是卻沒有進一步推導(dǎo)能量密度控制方程的有限元形式,而且重點都是分析計算振動能量密度,對于振動能量傳遞特性未深入研究。解妙霞在2008年推導(dǎo)了圓柱殼體在軸對稱彎曲振動情況下的能量密度控制方程[6];2009年,朱翔引入結(jié)構(gòu)聲強概念,通過有限元法對裂紋損傷結(jié)構(gòu)的功率流進行研究,并實現(xiàn)了振動能量流動的可視化[7];張猛在2013年提出了隨機參數(shù)能量有限元方法,解決了單個結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機變化時梁的響應(yīng)統(tǒng)計特性[8];2016年,Petrone等利用Nastran、Matlab軟件結(jié)合求解結(jié)構(gòu)聲強場,分析了約束、載荷、阻尼以及正交異性對振動能量分布與傳遞的影響,并且進行了實驗驗證[9]。Wang等利用流線可視化技術(shù),詳細分析了局部阻尼作用下振動能量傳遞路徑及對結(jié)構(gòu)的影響[10]。

本文對正交異性薄板能量密度控制方程進行有限元離散處理,推導(dǎo)出能量有限元方程,并且通過數(shù)值算例對比經(jīng)典模態(tài)法,驗證了方程的正確性。求解能量有限元方程得到結(jié)構(gòu)聲強場,同時以流線可視化方式可直觀呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)振動能量傳遞特性。應(yīng)用該方法,分析了不同局部阻尼分布位置對正交異性薄板振動能量傳遞特性的影響。

1 正交異性薄板的能量有限元方程

1.1 二維薄板功率流理論

對于簡諧激勵作用下的正交異性薄板,其振動微分方程為[11]

(1)

式中:w為薄板橫向位移;F為施加在板上的均布激勵力;ρ為薄板密度;h為板厚;Dxc、Dyc分別為薄板沿x、y方向的復(fù)彎曲剛度;Hc為復(fù)扭轉(zhuǎn)剛度。當板厚為常數(shù)時,Hc可以近似用Dxc、Dyc乘積開根號表示[11],即

(2)

式中:η為黏滯阻尼系數(shù);Dx、Dy為薄板沿x、y方向的彎曲剛度。

基于薄板平面波遠場疊加原理,能夠得到式(1)關(guān)于時間平均的能量密度值。Park通過對其進行空間平均處理,推導(dǎo)出正交異性有限薄板的能量密度控制方程以及平均結(jié)構(gòu)聲強I[5]

(3)

(4)

式中:Pin為外界平均輸入功率;e為平均能量密度;ω為圓頻率;i、j為方向向量;Cgx、Cgy為彎曲波在板中的群速度,表達式為[5]

(5)

1.2 能量密度控制方程的有限元分析模型

通過有限元變分原理,采用Galerkin加權(quán)殘值法對式(3)進行求解[12]。利用形函數(shù)N對平均能量密度e進行插值

e=N·en

(6)

式中en為單元節(jié)點處的能量密度。將能量密度控制方程轉(zhuǎn)化為離散后單元的節(jié)點加權(quán)殘差形式,即

?ΩNTηωedA-?ΩNTPindA

(7)

為了整體有限元方程求解的準確性,各節(jié)點殘差值應(yīng)為0。式(7)中第1項經(jīng)過分部積分法和散度定理等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化,有如下等式

(8)

式中Γ為單元邊界。為了簡化方程,令應(yīng)變矩陣為

BT=(

(9)

聯(lián)立式(6)～(9),單元的節(jié)點殘差可表示為

(10)

(11)

通過有限單元法[13]對式(10)進行組裝,可得薄板能量密度整體有限元方程

(KT+KD)e=P

(12)

式中:KT為整體能量傳遞單元矩陣;KD為整體能量耗散矩陣;P為輸入功率流向量。

由式(12)可知,能量有限元法將能量密度作為基本未知量,不再關(guān)注結(jié)構(gòu)模態(tài)與彎曲波波長,網(wǎng)格劃分不受頻率影響[12],即使高頻激勵也不需要細密的網(wǎng)格。

選擇平面四邊形等單元,其形函數(shù)為

N=[N1N2N3N4]

(13)

式中Nm(m=1,2,3,4)為單元自然坐標系下結(jié)點形函數(shù),結(jié)點坐標為(ξm,ζm),如圖1所示。

圖1 形函數(shù)自然坐標系

結(jié)點對應(yīng)形函數(shù)可表示為

(14)

局部單元的自然坐標系與全局物理坐標系的轉(zhuǎn)化關(guān)系式為

dA=dxdy=|J|dξdζ

(15)

(16)

式中J為坐標映射雅可比矩陣。

將式(15)(16)代入式(11),得

(17)

式中積分可由數(shù)值積分求解,從而可求得式(10),組裝成式(12)即可求得正交異性薄板能量有限元方程。

2 正交異性薄板振動傳遞特性

2.1 正交異性薄板能量有限元方程驗證

為了驗證本文推導(dǎo)的能量有限元方程,采用與文獻[5]相同的方形簡支鋁板為計算實例,其邊長為1 m,厚度為1 mm,在普通各向同性薄板基礎(chǔ)上沿y方向進行加強處理,其y向彎曲剛度Dy為x向彎曲剛度Dx的20倍;在薄板中心處(x0=Lx/2,y0=Ly/2)輸入幅值F0=1 N、頻率f=1 000 Hz的簡諧激勵力;結(jié)構(gòu)黏滯阻尼η=0.05。采用功率級表示能量密度值

(18)

式中e0=1×10-12J/m2,為基準能量密度。

利用正交異性薄板能量有限元方程,求解得到能量密度,結(jié)果如圖2所示。為了驗證能量有限元法,采用文獻[5]中經(jīng)典模態(tài)法對相同條件鋁板的能量密度進行求解,結(jié)果如圖3所示。由圖2、圖3可知,能量有限元法與經(jīng)典解析法的結(jié)果吻合較好。能量有限元法的結(jié)果相當于將經(jīng)典解析法的局部細節(jié)進行了平均處理,更能體現(xiàn)薄板振動的整體特性,對高頻振動分析更有實際意義;有限元法還適用于復(fù)雜求解域,具有工程實際意義。

由圖2可知,薄板中心處為能量峰值,由于結(jié)構(gòu)黏滯阻尼的存在,振動能量隨距離中心能量輸入點不斷降低,并有明顯的正交異性:由于薄板沿y方向加強,沿y方向傳遞時能量損失明顯小于沿x方向傳遞時,能量流動從能量值最高處流向能量值最低處,因為沿x方向能量梯度值大,所以振動能量優(yōu)先沿x方向流動。

圖2 能量有限元法求得的薄板能量密度

圖3 經(jīng)典模態(tài)法求得的薄板能量密度

2.2 局部阻尼分布對振動能量傳遞特性的影響

為了進一步說明振動能量的傳遞特性,引入流線可視化技術(shù)[10],利用平行于能量流速度方向的流線表示結(jié)構(gòu)能量流動方向,表達式為

drI(r,t)=0

(19)

式中:r為能量流粒子的位置;I為結(jié)構(gòu)聲強,與dr平行。向量示意圖如圖4所示,流線與每個節(jié)點的r相互垂直,與dr相切。根據(jù)式(19),描述二維平面結(jié)構(gòu)聲強流線的微分方程式可寫為

(20)

考慮整個薄板所有節(jié)點,多條流線組合即可繪制結(jié)構(gòu)振動能量流線場圖。

圖4 流線上P點向量示意圖

為了研究局部阻尼對正交異性薄板振動能量傳遞的影響,采用算例鋁板,修正其結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)使得η=0.001,在局部阻尼單元處,增加其阻尼系數(shù)使得η=0.5?？紤]3種典型局部阻尼分布位置,研究其對振動能量傳遞的影響[14],局部阻尼分布如圖5所示。圖中網(wǎng)格為求解薄板能量有限元方程時所劃分,大圓表示能量輸入單元,小圓表示局部阻尼單元,數(shù)字1、2、3表示3種不同阻尼分布情況:第1種局部阻尼單元與能量輸入單元呈對角線分布;第2種局部阻尼沿x方向分布;第3種局部阻尼沿y方向分布,其中能量輸入單元的位置保持不變。

圖5 局部阻尼分布示意圖

當局部阻尼與能量輸入單元為第1種分布時,正交異性薄板振動能量傳遞特性如圖6所示,圖中黑色流線表示振動能量流線場,描述薄板振動能量從能量輸入點到能量耗散點的流向軌跡,流線由振動能量輸入點處向周圍擴散,由于阻尼耗能,流線在阻尼點匯聚。云圖為薄板結(jié)構(gòu)聲強向量的幅值,顏色變化對應(yīng)幅值大小變化,顏色越淺能量密度越高,顏色越深能量密度越低,描述了振動能量在薄板的大小以及分布。由于整體結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)較小,振動能量峰值與最低值變化不大。

圖6 阻尼分布于1處的結(jié)構(gòu)聲強流線場圖

由圖6可知:振動能量在輸入單元處能量密度達到峰值,形成能量源,不斷向外擴散振動能量;在局部阻尼單元處能量密度值為局部低谷,由于阻尼作用不斷耗散振動能量,形成能量槽[10],將結(jié)構(gòu)周圍振動能量吸收;由于薄板沿y向做了加強處理,流線場流向優(yōu)先沿x向傳遞,表現(xiàn)出明顯的正交異性。

當局部阻尼單元與能量輸入單元為第2種分布時,正交異性薄板振動能量傳遞特性如圖7所示。類似第1種分布方式,云圖中激勵輸入單元顏色最淺,能量密度為峰值;阻尼單元顏色最深,能量密度為局部低谷;流線圖則清晰表示出振動能量如何從激勵輸入單元流向局部阻尼單元,不同的是能量流向出現(xiàn)明顯差異:在靠近能量源與能量槽一側(cè),能量呈現(xiàn)快速下降,振動能量流線為直線;在遠離能量源與能量槽一側(cè),能量傳遞受到材料正交異性的影響,振動能量流線為弧線,整體類似于磁場。

圖7 阻尼分布于2處的結(jié)構(gòu)聲強流線場圖

當局部阻尼單元與能量輸入單元為第3種分布時,正交異性薄板振動能量傳遞特性如圖8所示。類似前2種分布方式,振動能量從激勵輸入單元流向局部阻尼單元,局部阻尼單元對結(jié)構(gòu)振動能量的耗散范圍從整塊板縮小到板的1/3。正交異性將阻尼對薄板結(jié)構(gòu)振動能量吸收阻隔,從而在遠離能量源與能量槽一側(cè),振動能量隨薄板擴散而不是流向局部阻尼單元。薄板結(jié)構(gòu)聲強幅值出現(xiàn)小幅改變,振動能量峰值有所降低而振動能量最低值有所增加。局部阻尼位置對正交異性薄板振動能量分布以及傳遞路徑有重要影響,通過上述方法可以繪制出任意能量輸入與局部阻尼位置下正交異性薄板的能量分布以及能流傳遞路徑。

圖8 阻尼分布于3處的結(jié)構(gòu)聲強流線場圖

3 結(jié) 論

本文針對正交異性薄板中的高頻振動問題,引入結(jié)構(gòu)聲強概念,對正交異性薄板能量密度控制方程進行有限元離散處理,推導(dǎo)出正交異性薄板能量有限元方程,并且通過數(shù)值算例對比經(jīng)典模態(tài)法,驗證了方程的正確性;然后,求解能量有限元方程得到結(jié)構(gòu)聲強場,同時以流線可視化方式更直觀地呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)振動能量傳遞特性;最后,應(yīng)用該方法分析了不同局部阻尼分布位置對正交異性薄板的振動能量傳遞特性的影響。通過算例分析得出如下結(jié)論:正交異性材料屬性改變了振動能量傳遞路徑,振動能量優(yōu)先沿彎曲剛度較小方向流動;局部阻尼分布位置對振動能量分布以及傳遞路徑有重要影響,決定了振動能量流向以及整體能量分布。